Mathématiques · Prépa concours post-bac — ENA Architecture

Équations différentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une équation différentielle du premier ordre est une relation entre une fonction dérivable $y$ et sa dérivée $y'$ . La forme générale étudiée est : $y' = ay + b$ où $a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}$ . Les solutions de $y' = ay + b$ sont les fonctions $f(x) = ce^{ax} - \frac{b}{a}$ avec $c \in \mathbb{R}$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier $a$ et $b$ : Toujours mettre l'équation sous la forme $y' = ay + b$ .
Trouver la solution générale : Appliquer la formule $f(x) = ce^{ax} - \frac{b}{a}$ .
Déterminer la constante $c$ : Utiliser la condition initiale $y(x_0) = y_0$ en remplaçant $x$ par $x_0$ et $y$ par $y_0$ .

Exemples corrigés

Exemple : Résoudre $y' = 2y + 4$ . Ici $a=2$ et $b=4$ . La solution générale est $y(x) = ce^{2x} - \frac{4}{2} = ce^{2x} - 2$ . Exemple avec condition : $y' = 3y$ avec $y(0) = 5$ . La solution générale est $y(x) = ce^{3x}$ . Pour $x=0$ , $y(0) = c \cdot e^0 = c$ . Donc $c=5$ . La solution est $y(x) = 5e^{3x}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $c$ dans la solution générale.
Se tromper de signe lors du calcul de $-\frac{b}{a}$ .
Confondre $y' = ay$ (solution $ce^{ax}$ ) et $y' = ay + b$ (solution $ce^{ax} - \frac{b}{a}$ ).

L'essentiel du cours

Une équation différentielle du premier ordre est une relation entre une fonction dérivable $y$ et sa dérivée $y'$. La forme générale étudiée est : $y' = ay + b$ où $a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}$. Les solutions de $y' = ay + b$ sont les fonctions $f(x) = ce^{ax} - \frac{b}{a}$ avec $c \in \mathbb{R}$.

Méthodes à maîtriser

Identifier $a$ et $b$ : Toujours mettre l'équation sous la forme $y' = ay + b$.
Trouver la solution générale : Appliquer la formule $f(x) = ce^{ax} - \frac{b}{a}$.
Déterminer la constante $c$ : Utiliser la condition initiale $y(x_0) = y_0$ en remplaçant $x$ par $x_0$ et $y$ par $y_0$.

Exemples corrigés

Exemple : Résoudre $y' = 2y + 4$. Ici $a=2$ et $b=4$. La solution générale est $y(x) = ce^{2x} - \frac{4}{2} = ce^{2x} - 2$. Exemple avec condition : $y' = 3y$ avec $y(0) = 5$. La solution générale est $y(x) = ce^{3x}$. Pour $x=0$, $y(0) = c \cdot e^0 = c$. Donc $c=5$. La solution est $y(x) = 5e^{3x}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $c$ dans la solution générale.
Se tromper de signe lors du calcul de $-\frac{b}{a}$.
Confondre $y' = ay$ (solution $ce^{ax}$) et $y' = ay + b$ (solution $ce^{ax} - \frac{b}{a}$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Équations différentielles

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La solution générale de $y' = 5y$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que toutes les équations différentielles ont une solution ?

Dans le cadre du programme du Baccalauréat, pour les équations linéaires du premier ordre à coefficients constants $y' = ay + b$ , il existe toujours une infinité de solutions définies sur $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : La solution générale dépend toujours d'une constante réelle $c$ .

Dans le cadre du programme du Baccalauréat, pour les équations linéaires du premier ordre à coefficients constants $y' = ay + b$, il existe toujours une infinité de solutions définies sur $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : La solution générale dépend toujours d'une constante réelle $c$.

Kifach n7seb c ila 3tawni y(1) = 2 ?

Katkteb l'expression dyal $y(x)$ li lqiti.
Kat3ewed $x$ b 1.
Kat7el lmo3adala $y(1) = 2$ bach tkhrej $c$ .

💡 À retenir : $c$ kankherjouha dima men l'equation $y(x_0) = y_0$ .

Katkteb l'expression dyal $y(x)$ li lqiti.
Kat3ewed $x$ b 1.
Kat7el lmo3adala $y(1) = 2$ bach tkhrej $c$.

💡 À retenir : $c$ kankherjouha dima men l'equation $y(x_0) = y_0$.

Est-ce que a peut être égal à 0 ?

Oui, si $a=0$ , l'équation devient $y' = b$ . C'est une équation simple où $y$ est une primitive de $b$ . La solution est $y(x) = bx + c$ .

💡 À retenir : La formule $ce^{ax} - \frac{b}{a}$ ne s'applique que si $a \neq 0$ .

Oui, si $a=0$, l'équation devient $y' = b$. C'est une équation simple où $y$ est une primitive de $b$. La solution est $y(x) = bx + c$.

💡 À retenir : La formule $ce^{ax} - \frac{b}{a}$ ne s'applique que si $a \neq 0$.

Chno hiya l'utilité dyal l'equation differentielle f l'architecture ?

Les équations différentielles servent à modéliser des phénomènes physiques comme la résistance des matériaux ou la propagation de la chaleur dans les structures.

💡 À retenir : C'est un outil de base pour calculer la stabilité des formes complexes.

Wach darouri nkteb c in mathbb{R} ?

Oui, c'est indispensable. Sans préciser que $c$ est un réel, ta réponse est incomplète car tu ne définis pas l'ensemble des solutions.

💡 À retenir : Toujours préciser $c \in \mathbb{R}$ à la fin de la résolution.

Oui, c'est indispensable. Sans préciser que $c$ est un réel, ta réponse est incomplète car tu ne définis pas l'ensemble des solutions.

💡 À retenir : Toujours préciser $c \in \mathbb{R}$ à la fin de la résolution.

Kifach n3ref wach l'equation dyali m9ada wla la ?

Khass $y'$ tkoun bouhitha f jiha, w l'expression dyal $y$ f ljiha l'okhra. Ila kan chi 3adad moudroub f $y'$ , qesmo 3lih l'equation kamla.

💡 À retenir : La forme standard est $y' = ay + b$ .

Khass $y'$ tkoun bouhitha f jiha, w l'expression dyal $y$ f ljiha l'okhra. Ila kan chi 3adad moudroub f $y'$, qesmo 3lih l'equation kamla.

💡 À retenir : La forme standard est $y' = ay + b$.

Si y' = -2y + 6, est-ce que a = -2 ou a = 2 ?

$a$ est le coefficient devant $y$ . Ici, $a = -2$ .

💡 À retenir : Fais attention au signe devant le $y$ .

$a$ est le coefficient devant $y$. Ici, $a = -2$.

💡 À retenir : Fais attention au signe devant le $y$.

Est-ce qu'on peut avoir y'' au programme ?

Non, le programme officiel 2025-2026 pour le Baccalauréat se limite aux équations différentielles du premier ordre $y' = ay + b$ . (à vérifier par le professeur)

💡 À retenir : Concentre-toi uniquement sur le premier ordre.

Non, le programme officiel 2025-2026 pour le Baccalauréat se limite aux équations différentielles du premier ordre $y' = ay + b$. (à vérifier par le professeur)

💡 À retenir : Concentre-toi uniquement sur le premier ordre.

Est-ce que la solution est toujours une fonction exponentielle ?

Oui, pour $y' = ay + b$ avec $a \neq 0$ , la solution contient toujours un terme en $e^{ax}$ .

💡 À retenir : L'exponentielle est la fonction clé de ce chapitre.

Oui, pour $y' = ay + b$ avec $a \neq 0$, la solution contient toujours un terme en $e^{ax}$.

💡 À retenir : L'exponentielle est la fonction clé de ce chapitre.

Comment vérifier si ma solution est juste ?

Dérive ta solution $y(x)$ et remplace $y'$ et $y$ dans l'équation de départ. Si tu obtiens une égalité vraie (ex: $0=0$ ), alors c'est juste.

💡 À retenir : La vérification est le meilleur moyen d'éviter les erreurs.

Dérive ta solution $y(x)$ et remplace $y'$ et $y$ dans l'équation de départ. Si tu obtiens une égalité vraie (ex: $0=0$), alors c'est juste.

💡 À retenir : La vérification est le meilleur moyen d'éviter les erreurs.

Est-ce que b peut être une fonction de x ?

Non, dans le programme actuel, $b$ est une constante réelle.

💡 À retenir : On ne traite que les équations à coefficients constants.

Non, dans le programme actuel, $b$ est une constante réelle.

💡 À retenir : On ne traite que les équations à coefficients constants.

Est-ce que la solution change si y(x0) = y0 change ?

Oui, la valeur de la constante $c$ changera, donc la solution particulière sera différente.

💡 À retenir : Chaque condition initiale donne une courbe unique.

Oui, la valeur de la constante $c$ changera, donc la solution particulière sera différente.

💡 À retenir : Chaque condition initiale donne une courbe unique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' = 3y - 6$ .

Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' = 3y - 6$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre l'équation $(E) : y' = -y + 1$ avec la condition initiale $y(0) = 3$ .

Exercice 2

Résoudre l'équation $(E) : y' = -y + 1$ avec la condition initiale $y(0) = 3$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $(E) : 2y' + 4y = 8$ . Déterminer la solution passant par le point $A(0, 1)$ .

Exercice 3

Soit $(E) : 2y' + 4y = 8$. Déterminer la solution passant par le point $A(0, 1)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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