Continuité et limites

Non, pas forcément. Une fonction est continue sur son domaine si elle est continue en chaque point de celui-ci. Par exemple, la fonction partie entière $E(x)$ est définie sur $\mathbb{R}$ mais n'est pas continue aux points entiers (comme $x=1$).

💡 À retenir : La continuité n'est pas automatique, elle doit être vérifiée ou justifiée par les théorèmes sur les opérations de fonctions continues.

Pour savoir si une solution est unique, tu dois vérifier deux conditions :

1. La fonction doit être continue sur l'intervalle donné.
2. La fonction doit être strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) sur cet intervalle. Si ces deux conditions sont réunies, alors la valeur $k$ est atteinte au plus une fois.

💡 À retenir : Continuité + Stricte monotonie = Unicité de la solution.

La méthode classique est d'utiliser l'expression conjuguée. Par exemple, pour $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$, on multiplie le haut et le bas par $(\sqrt{x}+1)$ : $\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x}+1}$. La limite devient $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.

💡 À retenir : Le conjugué transforme une soustraction en produit pour simplifier le terme gênant.

Non, seulement si $f$ est strictement croissante. Si $f$ est strictement décroissante, alors $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$. Si la fonction n'est pas monotone, l'image est un intervalle dont les bornes sont le minimum et le maximum de la fonction sur $[a, b]$.

💡 À retenir : L'ordre des bornes dépend du sens de variation de la fonction.

Oui, le TVI (théorème des valeurs intermédiaires) garantit l'existence d'au moins une solution si $f$ est continue, même si elle n'est pas monotone. Cependant, tu ne pourras pas affirmer que la solution est unique sans la stricte monotonie.

💡 À retenir : Le TVI donne l'existence, la monotonie donne l'unicité.

1. Tu remplaces $x$ par $a$ dans l'expression.
2. Si tu obtiens un nombre réel, c'est la limite.
3. Si tu obtiens une forme indéterminée ($\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$...), tu dois transformer l'expression (factorisation, conjugué, ou limites usuelles).

💡 À retenir : Ne jamais écrire une forme indéterminée comme résultat final.

On le fait lorsque la fonction est définie par morceaux (ex: $f(x)=x+1$ si $x>0$ et $f(x)=x^2$ si $x \leq 0$) ou lorsqu'il y a une valeur absolue. Si la limite à droite est différente de la limite à gauche, alors la limite en ce point n'existe pas.

💡 À retenir : La limite existe si et seulement si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x)$.

Le TVI classique s'applique sur un intervalle fermé $[a, b]$. Pour un intervalle ouvert, on utilise les limites aux bornes : si $\lim_{x \to a^+} f(x) = L_1$ et $\lim_{x \to b^-} f(x) = L_2$, alors $f$ prend toutes les valeurs entre $L_1$ et $L_2$.

💡 À retenir : On remplace les images par les limites aux bornes pour les intervalles ouverts.

Il faut dire qu'elle est composée de fonctions usuelles (polynômes, racines, etc.) continues sur leurs domaines de définition, et utiliser les propriétés : la somme, le produit et le quotient (si le dénominateur ne s'annule pas) de fonctions continues sont des fonctions continues.

💡 À retenir : Cite toujours les fonctions de base (ex: "x est un polynôme, donc continu sur R").

C'est une droite d'équation $x = a$ telle que $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ (ou $+\infty$ ou $-\infty$). Cela signifie que la courbe se rapproche infiniment de cette droite sans jamais la toucher.

💡 À retenir : Une limite infinie en un point fini indique une asymptote verticale.

Le TVI dit : "Si $f$ est continue, alors elle prend toutes les valeurs intermédiaires". La réciproque serait : "Si $f$ prend toutes les valeurs intermédiaires, alors elle est continue". Cette réciproque est fausse. Il existe des fonctions qui vérifient la propriété des valeurs intermédiaires sans être continues (ex: fonctions très oscillantes).

💡 À retenir : La continuité est une condition suffisante, mais pas nécessaire pour la propriété des valeurs intermédiaires.

1. Tu vérifies que $f$ est continue sur $[0, 1]$.
2. Tu calcules $f(0)$ et $f(1)$.
3. Tu vérifies que $f(0) \times f(1) < 0$ (signes opposés).
4. Tu conclus par le TVI qu'il existe au moins un $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c)=0$.

💡 À retenir : Le changement de signe est la preuve directe de l'existence d'une racine.