Mathématiques · 2 Bac Sciences Physiques

Dérivation

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$ . $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$ .
Interprétation géométrique : Si $f$ est dérivable en $a$ , la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente au point $A(a, f(a))$ d'équation : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Dérivabilité sur un intervalle : $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$ .
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ , $(uv)' = u'v + uv'$ , $(\frac{1}{v})' = -\frac{v'}{v^2}$ , $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ .
Fonction composée : $(f \circ u)' = u' \times (f' \circ u)$ .
Dérivée seconde : $f'' = (f')'$ .

Méthodes à maîtriser

Étudier la dérivabilité en un point : Calculer la limite du taux d'accroissement. Si la limite est infinie, la courbe admet une demi-tangente verticale.
Étudier la dérivabilité à droite/gauche : Utiliser $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ . Si $f'_d(a) \neq f'_g(a)$ , il y a un point anguleux.
Déterminer l'équation de la tangente : Appliquer directement la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Étude des variations : Le signe de $f'(x)$ donne le sens de variation de $f$ .

Exemples corrigés

Dérivée de $f(x) = \sqrt{x^2+1}$ : $f$ est de la forme $\sqrt{u}$ avec $u(x)=x^2+1 > 0$ . $f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .
Tangente : Pour $f(x)=x^2$ en $a=1$ , $f'(1)=2$ et $f(1)=1$ . Équation : $y = 2(x-1)+1 \Rightarrow y = 2x-1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que $v(x) \neq 0$ pour la dérivée d'un quotient.
Confondre le signe de la dérivée avec la valeur de la fonction.
Ne pas vérifier la dérivabilité avant de calculer la dérivée sur un intervalle.

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$. $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$.
Interprétation géométrique : Si $f$ est dérivable en $a$, la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente au point $A(a, f(a))$ d'équation : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Dérivabilité sur un intervalle : $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$, $(uv)' = u'v + uv'$, $(\frac{1}{v})' = -\frac{v'}{v^2}$, $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$.
Fonction composée : $(f \circ u)' = u' \times (f' \circ u)$.
Dérivée seconde : $f'' = (f')'$.

Méthodes à maîtriser

Étudier la dérivabilité en un point : Calculer la limite du taux d'accroissement. Si la limite est infinie, la courbe admet une demi-tangente verticale.
Étudier la dérivabilité à droite/gauche : Utiliser $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$. Si $f'_d(a) \neq f'_g(a)$, il y a un point anguleux.
Déterminer l'équation de la tangente : Appliquer directement la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Étude des variations : Le signe de $f'(x)$ donne le sens de variation de $f$.

Exemples corrigés

Dérivée de $f(x) = \sqrt{x^2+1}$ : $f$ est de la forme $\sqrt{u}$ avec $u(x)=x^2+1 > 0$. $f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Tangente : Pour $f(x)=x^2$ en $a=1$, $f'(1)=2$ et $f(1)=1$. Équation : $y = 2(x-1)+1 \Rightarrow y = 2x-1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que $v(x) \neq 0$ pour la dérivée d'un quotient.
Confondre le signe de la dérivée avec la valeur de la fonction.
Ne pas vérifier la dérivabilité avant de calculer la dérivée sur un intervalle.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Dérivation

1/4

La dérivée de $f(x) = \cos(2x)$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment dériver une fonction avec une racine carrée ?

La formule est $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ .

Vérifie que $u(x) > 0$ .
Calcule $u'(x)$ .
Applique la formule.

💡 À retenir : Ne jamais oublier le $2$ au dénominateur.

La formule est $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Vérifie que $u(x) > 0$.
Calcule $u'(x)$.
Applique la formule.

💡 À retenir : Ne jamais oublier le $2$ au dénominateur.

C'est quoi la différence entre dérivée et nombre dérivé ?

Le nombre dérivé $f'(a)$ est une valeur numérique (un réel) associée à un point précis $a$ . La dérivée $f'(x)$ est une nouvelle fonction qui donne le nombre dérivé pour tout $x$ de l'intervalle.

💡 À retenir : $f'(a)$ est l'image de $a$ par la fonction dérivée $f'$ .

Le nombre dérivé $f'(a)$ est une valeur numérique (un réel) associée à un point précis $a$. La dérivée $f'(x)$ est une nouvelle fonction qui donne le nombre dérivé pour tout $x$ de l'intervalle.

💡 À retenir : $f'(a)$ est l'image de $a$ par la fonction dérivée $f'$.

Kifach n3ref wach fonction derivable f point a?

Calcule $f(a)$ .
Calcule la limite $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .
Si le résultat est un nombre réel fini, alors $f$ est dérivable en $a$ . Si tu trouves $\infty$ , elle n'est pas dérivable.

💡 À retenir : La dérivabilité est liée à l'existence d'une limite finie du taux d'accroissement.

Calcule $f(a)$.
Calcule la limite $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
Si le résultat est un nombre réel fini, alors $f$ est dérivable en $a$. Si tu trouves $\infty$, elle n'est pas dérivable.

💡 À retenir : La dérivabilité est liée à l'existence d'une limite finie du taux d'accroissement.

Est-ce que si f est continue en a, elle est forcément dérivable en a ?

Non, la réciproque est fausse. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x)=|x|$ est continue en $0$ , mais elle n'est pas dérivable en $0$ car les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement sont différentes ( $-1$ et $1$ ).

💡 À retenir : La dérivabilité implique la continuité, mais la continuité n'implique pas la dérivabilité.

Non, la réciproque est fausse. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x)=|x|$ est continue en $0$, mais elle n'est pas dérivable en $0$ car les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement sont différentes ($-1$ et $1$).

💡 À retenir : La dérivabilité implique la continuité, mais la continuité n'implique pas la dérivabilité.

Chno hiya l'equation dyal tangent f point a?

C'est une formule à connaître par cœur : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

Calcule $f(a)$ .
Calcule $f'(x)$ puis $f'(a)$ .
Remplace dans la formule et développe.

💡 À retenir : La tangente est la droite qui "colle" le mieux à la courbe au point $a$ .

C'est une formule à connaître par cœur : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

Calcule $f(a)$.
Calcule $f'(x)$ puis $f'(a)$.
Remplace dans la formule et développe.

💡 À retenir : La tangente est la droite qui "colle" le mieux à la courbe au point $a$.

Kifach n3ref wach kayn point anguleux?

Il y a un point anguleux si la fonction est continue en $a$ , mais que la dérivée à droite $f'_d(a)$ est différente de la dérivée à gauche $f'_g(a)$ . La courbe présente alors une "cassure".

💡 À retenir : $f'_d(a) \neq f'_g(a)$ signifie point anguleux.

Il y a un point anguleux si la fonction est continue en $a$, mais que la dérivée à droite $f'_d(a)$ est différente de la dérivée à gauche $f'_g(a)$. La courbe présente alors une "cassure".

💡 À retenir : $f'_d(a) \neq f'_g(a)$ signifie point anguleux.

Comment dériver une fonction composée comme sin(x^2) ?

On utilise la formule $(f(u(x)))' = u'(x) \cdot f'(u(x))$ .

Identifie $u(x) = x^2$ et $f(u) = \sin(u)$ .
Dérive $u$ : $u'(x) = 2x$ .
Dérive $f$ : $f'(u) = \cos(u)$ .
Multiplie : $2x \cdot \cos(x^2)$ .

💡 À retenir : On dérive "l'intérieur" et on multiplie par la dérivée de "l'extérieur".

On utilise la formule $(f(u(x)))' = u'(x) \cdot f'(u(x))$.

Identifie $u(x) = x^2$ et $f(u) = \sin(u)$.
Dérive $u$ : $u'(x) = 2x$.
Dérive $f$ : $f'(u) = \cos(u)$.
Multiplie : $2x \cdot \cos(x^2)$.

💡 À retenir : On dérive "l'intérieur" et on multiplie par la dérivée de "l'extérieur".

Est-ce que je dois toujours étudier le domaine de dérivabilité avant de calculer f'(x) ?

Oui, c'est indispensable. Une fonction n'est pas dérivable partout où elle est définie (ex: $\sqrt{x}$ est définie en $0$ mais non dérivable en $0$ ).

💡 À retenir : Le domaine de dérivabilité est toujours inclus dans le domaine de définition.

Oui, c'est indispensable. Une fonction n'est pas dérivable partout où elle est définie (ex: $\sqrt{x}$ est définie en $0$ mais non dérivable en $0$).

💡 À retenir : Le domaine de dérivabilité est toujours inclus dans le domaine de définition.

Pourquoi on dit que la dérivée est nulle aux extremums ?

Si $f$ admet un extremum local en $a$ et qu'elle est dérivable en $a$ , alors la tangente est horizontale, donc son coefficient directeur $f'(a)$ est nul.

💡 À retenir : $f'(a)=0$ est une condition nécessaire pour un extremum local (si $f$ est dérivable).

Si $f$ admet un extremum local en $a$ et qu'elle est dérivable en $a$, alors la tangente est horizontale, donc son coefficient directeur $f'(a)$ est nul.

💡 À retenir : $f'(a)=0$ est une condition nécessaire pour un extremum local (si $f$ est dérivable).

Est-ce que la dérivée seconde nous donne des infos sur la courbe ?

Oui, le signe de $f''(x)$ indique la convexité de la courbe. Si $f''(x) > 0$ , la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f''(x) < 0$ , elle est concave.

💡 À retenir : $f''(x)$ étudie la courbure, pas les variations.

Oui, le signe de $f''(x)$ indique la convexité de la courbe. Si $f''(x) > 0$, la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f''(x) < 0$, elle est concave.

💡 À retenir : $f''(x)$ étudie la courbure, pas les variations.

Comment on fait si la limite du taux d'accroissement donne +infty ?

Cela signifie que la fonction n'est pas dérivable en $a$ . Géométriquement, la courbe admet une demi-tangente verticale au point $A(a, f(a))$ .

💡 À retenir : Une limite infinie du taux d'accroissement = tangente verticale.

Cela signifie que la fonction n'est pas dérivable en $a$. Géométriquement, la courbe admet une demi-tangente verticale au point $A(a, f(a))$.

💡 À retenir : Une limite infinie du taux d'accroissement = tangente verticale.

Peut-on utiliser la dérivée pour montrer qu'une fonction est croissante ?

Oui, si $f'(x) \geq 0$ sur un intervalle $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ . Si $f'(x) > 0$ , elle est strictement croissante.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée commande les variations.

Oui, si $f'(x) \geq 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est croissante sur $I$. Si $f'(x) > 0$, elle est strictement croissante.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée commande les variations.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 2$ .

Calculer $f'(x)$ .
Étudier les variations de $f$ .
Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

Calculer $f'(x)$.
Étudier les variations de $f$.
Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Étudier la dérivabilité de $f(x) = \sqrt{|x-1|}$ en $x_0 = 1$ .

Exercice 2

Étudier la dérivabilité de $f(x) = \sqrt{|x-1|}$ en $x_0 = 1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$ .

Déterminer $D_f$ .
Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) > 0$ sur $D_f$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$.

Déterminer $D_f$.
Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) > 0$ sur $D_f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Continuité et limites Suites numériques Fonction logarithme népérien Fonction exponentielle Calcul intégral Équations différentielles Nombres complexes Produit scalaire dans l'espace Géométrie dans l'espace Dénombrement Probabilités