Mathématiques · 2 Bac Sciences Physiques

Fonction exponentielle

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La fonction exponentielle, notée $\exp$ , est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$ . On note $e = \exp(1) \approx 2,718$ .

Propriétés algébriques : Pour tout $x, y \in \mathbb{R}$ , $e^{x+y} = e^x \cdot e^y$ , $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ , et $(e^x)^n = e^{nx}$ .
Sens de variation : La fonction $x \mapsto e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et strictement positive ( $e^x > 0$ ).
Limites fondamentales :
- $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ .
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ (pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ ).
- $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ .

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations/inéquations : Utiliser $e^A = e^B \iff A = B$ et $e^A < e^B \iff A < B$ .
Dérivation de fonctions composées : $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$ .
Levée d'indétermination : Utiliser la factorisation par le terme dominant ou les limites usuelles de croissance comparée.

Exemples corrigés

Équation : $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ . Posons $X = e^x$ . On obtient $X^2 - 3X + 2 = 0$ . Les racines sont $X=1$ ou $X=2$ . Donc $e^x = 1 \implies x=0$ ou $e^x = 2 \implies x=\ln(2)$ .
Dérivée : $f(x) = e^{-x^2}$ . $f'(x) = (-x^2)' \cdot e^{-x^2} = -2x e^{-x^2}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif (ne jamais écrire $e^x = 0$ ).
Confusion entre $e^{x+y}$ et $e^x + e^y$ (qui ne se simplifie pas).
Erreur de signe lors de la dérivation de $e^{u(x)}$ quand $u(x)$ contient un signe moins.

L'essentiel du cours

La fonction exponentielle, notée $\exp$, est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. On note $e = \exp(1) \approx 2,718$.

Propriétés algébriques : Pour tout $x, y \in \mathbb{R}$, $e^{x+y} = e^x \cdot e^y$, $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$, et $(e^x)^n = e^{nx}$.
Sens de variation : La fonction $x \mapsto e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et strictement positive ($e^x > 0$).
Limites fondamentales :
- $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ (pour tout $n \in \mathbb{N}^*$).
- $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$.

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations/inéquations : Utiliser $e^A = e^B \iff A = B$ et $e^A < e^B \iff A < B$.
Dérivation de fonctions composées : $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.
Levée d'indétermination : Utiliser la factorisation par le terme dominant ou les limites usuelles de croissance comparée.

Exemples corrigés

Équation : $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$. Posons $X = e^x$. On obtient $X^2 - 3X + 2 = 0$. Les racines sont $X=1$ ou $X=2$. Donc $e^x = 1 \implies x=0$ ou $e^x = 2 \implies x=\ln(2)$.
Dérivée : $f(x) = e^{-x^2}$. $f'(x) = (-x^2)' \cdot e^{-x^2} = -2x e^{-x^2}$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif (ne jamais écrire $e^x = 0$).
Confusion entre $e^{x+y}$ et $e^x + e^y$ (qui ne se simplifie pas).
Erreur de signe lors de la dérivation de $e^{u(x)}$ quand $u(x)$ contient un signe moins.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Fonction exponentielle

1/4

Quelle est la dérivée de $f(x) = e^{5x}$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que e^x peut être négatif ?

Non, la fonction exponentielle est strictement positive pour tout réel $x$ . Son graphe est toujours situé au-dessus de l'axe des abscisses.

💡 À retenir : $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Non, la fonction exponentielle est strictement positive pour tout réel $x$. Son graphe est toujours situé au-dessus de l'axe des abscisses.

💡 À retenir : $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

kifach n7seb la limite de e^x f -infini ?

Tu dois savoir par cœur que la courbe de la fonction exponentielle possède une asymptote horizontale d'équation $y=0$ au voisinage de $-\infty$ .
Donc, $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ .

💡 À retenir : La limite en $-\infty$ est toujours 0.

Tu dois savoir par cœur que la courbe de la fonction exponentielle possède une asymptote horizontale d'équation $y=0$ au voisinage de $-\infty$.
Donc, $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.

💡 À retenir : La limite en $-\infty$ est toujours 0.

Comment dériver e^{3x+1} ?

On utilise la formule $(e^{u})' = u' \cdot e^u$ .
Ici $u(x) = 3x+1$ , donc $u'(x) = 3$ .
Le résultat est $3e^{3x+1}$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier de multiplier par la dérivée de l'exposant.

On utilise la formule $(e^{u})' = u' \cdot e^u$.
Ici $u(x) = 3x+1$, donc $u'(x) = 3$.
Le résultat est $3e^{3x+1}$.

💡 À retenir : Ne pas oublier de multiplier par la dérivée de l'exposant.

wach e^{x+y} hiya e^x + e^y ?

Non, c'est une erreur classique ! La règle est $e^{x+y} = e^x \times e^y$ . Il n'y a pas de formule simple pour la somme $e^x + e^y$ .

💡 À retenir : L'exponentielle transforme une somme en produit.

Non, c'est une erreur classique ! La règle est $e^{x+y} = e^x \times e^y$. Il n'y a pas de formule simple pour la somme $e^x + e^y$.

💡 À retenir : L'exponentielle transforme une somme en produit.

Comment lever l'indétermination frac{e^x}{x} en +infty ?

C'est une limite usuelle de croissance comparée.
La fonction exponentielle "l'emporte" sur toute puissance de $x$ .
Donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ .

💡 À retenir : L'exponentielle croît beaucoup plus vite que n'importe quel polynôme.

C'est une limite usuelle de croissance comparée.
La fonction exponentielle "l'emporte" sur toute puissance de $x$.
Donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$.

💡 À retenir : L'exponentielle croît beaucoup plus vite que n'importe quel polynôme.

kifach n7el e^x = 5 ?

On applique la fonction logarithme népérien ( $\ln$ ) des deux côtés.
$\ln(e^x) = \ln(5)$ .
Comme $\ln(e^x) = x$ , on obtient $x = \ln(5)$ .

💡 À retenir : $\ln$ et $\exp$ sont des fonctions réciproques.

On applique la fonction logarithme népérien ($\ln$) des deux côtés.
$\ln(e^x) = \ln(5)$.
Comme $\ln(e^x) = x$, on obtient $x = \ln(5)$.

💡 À retenir : $\ln$ et $\exp$ sont des fonctions réciproques.

Est-ce que e^0 = 0 ?

Non, $e^0 = 1$ . C'est une valeur fondamentale à retenir.

💡 À retenir : $e^0 = 1$ et $e^1 = e$ .

Non, $e^0 = 1$. C'est une valeur fondamentale à retenir.

💡 À retenir : $e^0 = 1$ et $e^1 = e$.

Comment étudier le signe de f(x) = x e^x ?

Comme $e^x > 0$ pour tout $x$ , le signe de $f(x)$ dépend uniquement du signe de $x$ .
Si $x > 0$ , $f(x) > 0$ . Si $x < 0$ , $f(x) < 0$ . Si $x = 0$ , $f(x) = 0$ .

💡 À retenir : $e^x$ ne change jamais le signe d'une expression.

Comme $e^x > 0$ pour tout $x$, le signe de $f(x)$ dépend uniquement du signe de $x$.
Si $x > 0$, $f(x) > 0$. Si $x < 0$, $f(x) < 0$. Si $x = 0$, $f(x) = 0$.

💡 À retenir : $e^x$ ne change jamais le signe d'une expression.

Pourquoi lim{x to -infty} x e^x = 0 ?

C'est une limite de croissance comparée.
En $-\infty$ , $e^x$ tend vers 0 très rapidement, ce qui "écrase" la valeur de $x$ .

💡 À retenir : $e^x$ l'emporte sur $x$ au voisinage de $-\infty$ .

C'est une limite de croissance comparée.
En $-\infty$, $e^x$ tend vers 0 très rapidement, ce qui "écrase" la valeur de $x$.

💡 À retenir : $e^x$ l'emporte sur $x$ au voisinage de $-\infty$.

Comment simplifier frac{e^{2x}}{e^x} ?

Utilise la règle $\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$ .
Ici, $e^{2x-x} = e^x$ .

💡 À retenir : On soustrait les exposants lors d'une division.

Utilise la règle $\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$.
Ici, $e^{2x-x} = e^x$.

💡 À retenir : On soustrait les exposants lors d'une division.

Est-ce que (e^x)^2 = e^{x^2} ?

Non, $(e^x)^2 = e^{x \times 2} = e^{2x}$ . C'est différent de $e^{x^2}$ .

💡 À retenir : $(e^a)^b = e^{ab}$ .

Non, $(e^x)^2 = e^{x \times 2} = e^{2x}$. C'est différent de $e^{x^2}$.

💡 À retenir : $(e^a)^b = e^{ab}$.

Comment calculer la dérivée de x e^x ?

Utilise la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$ .
$u=x \implies u'=1$ et $v=e^x \implies v'=e^x$ .
$(x e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$ .

💡 À retenir : Toujours identifier $u$ et $v$ avant de dériver.

Utilise la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$.
$u=x \implies u'=1$ et $v=e^x \implies v'=e^x$.
$(x e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$.

💡 À retenir : Toujours identifier $u$ et $v$ avant de dériver.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} - 4e^x + 3 = 0$ .

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} - 4e^x + 3 = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^2)$ .

Exercice 2

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^2)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = (x-1)e^x$ . Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = (x-1)e^x$. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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