Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Le programme se limite aux équations différentielles linéaires du premier ordre de la forme $(E) : y' = ay + b$ et du second ordre à coefficients constants $(E) : ay'' + by' + cy = 0$.
Équations du 1er ordre ($y' = ay + b$) :
La solution générale est $y(x) = k e^{ax} - \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$).
Si $a=0$, $y' = b \implies y(x) = bx + k$.
Équations du 2nd ordre ($ay'' + by' + cy = 0$) :
On résout l'équation caractéristique : $ar^2 + br + c = 0$.
Est-ce que y' = ay est un cas particulier de y' = ay + b ?
Oui, c'est le cas où $b=0$. La formule $y(x) = k e^{ax} - \frac{b}{a}$ devient $y(x) = k e^{ax}$. C'est cohérent.
💡 À retenir : La formule générale couvre tous les cas du 1er ordre.
Est-ce que je dois toujours mettre la constante k dans ma réponse ?
Oui, absolument. La solution générale d'une équation différentielle est une famille de fonctions. Sans la constante $k$ (ou $\alpha, \beta$), tu ne donnes qu'une solution particulière, ce qui est incomplet et te fera perdre des points à l'examen.
💡 À retenir : La solution générale contient toujours une ou plusieurs constantes réelles.
Tout dépend du discriminant $\Delta$ de ton équation caractéristique :
Si $\Delta > 0$, tu as deux racines distinctes, donc tu utilises $\alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x}$.
Si $\Delta = 0$, tu as une racine double, donc tu utilises $(\alpha x + \beta) e^{r_0 x}$.
💡 À retenir : Le signe de $\Delta$ dicte la forme de la solution.
Est-ce que l'ordre des racines r1 et r2 a une importance ?
Non, l'ordre n'a aucune importance. Que tu écrives $\alpha e^{2x} + \beta e^{3x}$ ou $\alpha e^{3x} + \beta e^{2x}$, c'est mathématiquement identique car les constantes $\alpha$ et $\beta$ seront simplement inversées après le calcul avec les conditions initiales.
💡 À retenir : L'ordre des racines ne change pas l'ensemble des solutions.
Wach momkin nkhrej l'equation caracteristique bla ma nkteb l'equation differentielle ?
Oui, mais attention : il faut toujours justifier en écrivant : "L'équation caractéristique associée est : $ar^2 + br + c = 0$". Ne saute pas cette étape, c'est elle qui montre au correcteur que tu sais ce que tu fais.
💡 À retenir : La rédaction est aussi importante que le résultat.
Comment faire si j'ai y'' + y = 0 ?
Ici, $a=1, b=0, c=1$. L'équation caractéristique est $r^2 + 1 = 0$, donc $r^2 = -1$. Les racines sont complexes : $r = 0 \pm 1i$. Donc $p=0$ et $q=1$. La solution est $y(x) = \alpha \cos(x) + \beta \sin(x)$.
💡 À retenir : Pour $\Delta < 0$, la solution fait intervenir des fonctions trigonométriques.
Kifach n7seb les constantes alpha et beta ila 3tawni y(0)=1 et y'(0)=2 ?
Tu écris la solution générale $y(x)$.
Tu calcules sa dérivée $y'(x)$.
Tu remplaces $x$ par 0 dans les deux expressions.
Tu obtiens un système de deux équations à deux inconnues ($\alpha$ et $\beta$) que tu résous.
💡 À retenir : Les conditions initiales servent uniquement à fixer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$.
Est-ce qu'il y a des équations différentielles avec des x^2 dedans ?
Non, dans le programme de Sciences Physiques, nous ne traitons que les équations à coefficients constants. Si tu vois un $x^2$ devant $y''$, ce n'est pas au programme du bac marocain.
💡 À retenir : Seules les équations à coefficients constants sont exigibles.
Si Delta < 0, est-ce que je dois écrire i dans la solution ?
Non, surtout pas ! La solution doit être une fonction réelle. Le $i$ sert uniquement à trouver $q$ pour écrire $\cos(qx)$ et $\sin(qx)$. La solution finale ne doit contenir aucun nombre complexe.
💡 À retenir : La solution d'une équation différentielle réelle est toujours une fonction réelle.
Oui, bien sûr. $\Delta = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$. Comme $\Delta = 0$, tu utilises la formule avec la racine double $r = -b/2a = -4/2 = -2$. La solution est $y(x) = (\alpha x + \beta)e^{-2x}$.
💡 À retenir : La méthode du discriminant est universelle.
Pourquoi on utilise e dans toutes les solutions ?
Parce que la fonction exponentielle est la seule fonction (à un facteur près) qui est proportionnelle à sa propre dérivée, ce qui est la définition même d'une équation différentielle linéaire.
💡 À retenir : L'exponentielle est au cœur des équations différentielles.
Est-ce que je peux laisser la réponse sous forme de système ?
Non, le correcteur attend la fonction $y(x)$ explicite où les constantes $\alpha$ et $\beta$ sont remplacées par leurs valeurs numériques trouvées.
💡 À retenir : Donne toujours la solution finale avec les constantes calculées.
Le programme se limite aux équations différentielles linéaires du premier ordre de la forme (E):y′=ay+b et du second ordre à coefficients constants (E):ay′′+by′+cy=0.
Équations du 1er ordre (y′=ay+b) :
La solution générale est y(x)=keax−ab (si a=0).
Si a=0, y′=b⟹y(x)=bx+k.
Équations du 2nd ordre (ay′′+by′+cy=0) :
On résout l'équation caractéristique : ar2+br+c=0.
Si Δ>0 (deux racines r1,r2) : y(x)=αer1x+βer2x.
Si Δ=0 (racine double r0) : y(x)=(αx+β)er0x.
Si Δ<0 (racines complexes p±iq) : y(x)=epx(αcos(qx)+βsin(qx)).
Méthodes à maîtriser
Identifier les coefficients a,b,c avec soin.
Calculer le discriminant Δ pour le 2nd ordre.
Déterminer les constantes α et β (ou k) à l'aide des conditions initiales (ex: y(0)=y0 et y′(0)=y1′).
Exemples corrigés
Exemple 1 : y′=3y+2. Ici a=3,b=2. Solution : y(x)=ke3x−32.
Oublier la constante k ou α,β dans la solution générale.
Se tromper de signe lors du calcul de Δ ou des racines.
Confondre la forme de la solution selon le signe de Δ.
Quelle est la solution de y′=5y ?
y=ke5x
y=ke−5x
y=5ex+k
y=kex+5
Oui, c'est le cas où b=0. La formule y(x)=keax−ab devient y(x)=keax. C'est cohérent.
💡 À retenir : La formule générale couvre tous les cas du 1er ordre.
Oui, absolument. La solution générale d'une équation différentielle est une famille de fonctions. Sans la constante k (ou α,β), tu ne donnes qu'une solution particulière, ce qui est incomplet et te fera perdre des points à l'examen.
💡 À retenir : La solution générale contient toujours une ou plusieurs constantes réelles.
Tout dépend du discriminant Δ de ton équation caractéristique :
Si Δ>0, tu as deux racines distinctes, donc tu utilises αer1x+βer2x.
Si Δ=0, tu as une racine double, donc tu utilises (αx+β)er0x.
💡 À retenir : Le signe de Δ dicte la forme de la solution.
Non, l'ordre n'a aucune importance. Que tu écrives αe2x+βe3x ou αe3x+βe2x, c'est mathématiquement identique car les constantes α et β seront simplement inversées après le calcul avec les conditions initiales.
💡 À retenir : L'ordre des racines ne change pas l'ensemble des solutions.
Oui, mais attention : il faut toujours justifier en écrivant : "L'équation caractéristique associée est : ar2+br+c=0". Ne saute pas cette étape, c'est elle qui montre au correcteur que tu sais ce que tu fais.
💡 À retenir : La rédaction est aussi importante que le résultat.
Ici, a=1,b=0,c=1. L'équation caractéristique est r2+1=0, donc r2=−1. Les racines sont complexes : r=0±1i. Donc p=0 et q=1. La solution est y(x)=αcos(x)+βsin(x).
💡 À retenir : Pour Δ<0, la solution fait intervenir des fonctions trigonométriques.
Tu écris la solution générale y(x).
Tu calcules sa dérivée y′(x).
Tu remplaces x par 0 dans les deux expressions.
Tu obtiens un système de deux équations à deux inconnues (α et β) que tu résous.
💡 À retenir : Les conditions initiales servent uniquement à fixer les valeurs de α et β.
Non, dans le programme de Sciences Physiques, nous ne traitons que les équations à coefficients constants. Si tu vois un x2 devant y′′, ce n'est pas au programme du bac marocain.
💡 À retenir : Seules les équations à coefficients constants sont exigibles.
Non, surtout pas ! La solution doit être une fonction réelle. Le i sert uniquement à trouver q pour écrire cos(qx) et sin(qx). La solution finale ne doit contenir aucun nombre complexe.
💡 À retenir : La solution d'une équation différentielle réelle est toujours une fonction réelle.
Oui, bien sûr. Δ=42−4(1)(4)=16−16=0. Comme Δ=0, tu utilises la formule avec la racine double r=−b/2a=−4/2=−2. La solution est y(x)=(αx+β)e−2x.
💡 À retenir : La méthode du discriminant est universelle.
Non, le correcteur attend la fonction y(x) explicite où les constantes α et β sont remplacées par leurs valeurs numériques trouvées.
💡 À retenir : Donne toujours la solution finale avec les constantes calculées.
Exercice 1
Résoudre l'équation différentielle (E):y′−2y=4.
Exercice 2
Résoudre l'équation (E):y′′−3y′+2y=0 avec les conditions y(0)=1 et y′(0)=0.