Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Expérimentales

Les limites d’une fonction

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Limite finie en un point : $\lim_{x \to a} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ quand $x$ se rapproche de $a$ .
Limites usuelles : $\lim_{x \to a} x^n = a^n$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0$ .
Opérations sur les limites : Somme, produit et quotient (attention aux formes indéterminées : $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 \times \infty, +\infty - \infty$ ).
Limites des fonctions polynômes et rationnelles : En $\pm \infty$ , on prend le terme de plus haut degré.
Asymptotes : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ , alors $x=a$ est asymptote verticale. Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$ , alors $y=b$ est asymptote horizontale.

Méthodes à maîtriser

Factorisation : Pour lever une indétermination $\frac{0}{0}$ avec des polynômes.
Quantité conjuguée : Pour lever une indétermination avec des racines carrées.
Encadrement (Théorème des gendarmes) : Si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ et $\lim g = \lim h = L$ , alors $\lim f = L$ .
Utilisation du taux d'accroissement : Pour calculer $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$ .
Exemple 2 : $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+x} - x = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{2}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier les parenthèses lors des calculs.
Confondre la limite en $a$ et la limite en $\infty$ .
Croire que $\infty - \infty = 0$ (c'est une forme indéterminée !).
Ne pas vérifier les conditions d'application des théorèmes.

L'essentiel du cours

Limite finie en un point : $\lim_{x \to a} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ quand $x$ se rapproche de $a$.
Limites usuelles : $\lim_{x \to a} x^n = a^n$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0$.
Opérations sur les limites : Somme, produit et quotient (attention aux formes indéterminées : $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 \times \infty, +\infty - \infty$).
Limites des fonctions polynômes et rationnelles : En $\pm \infty$, on prend le terme de plus haut degré.
Asymptotes : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$, alors $x=a$ est asymptote verticale. Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$, alors $y=b$ est asymptote horizontale.

Méthodes à maîtriser

Factorisation : Pour lever une indétermination $\frac{0}{0}$ avec des polynômes.
Quantité conjuguée : Pour lever une indétermination avec des racines carrées.
Encadrement (Théorème des gendarmes) : Si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ et $\lim g = \lim h = L$, alors $\lim f = L$.
Utilisation du taux d'accroissement : Pour calculer $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$.
Exemple 2 : $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+x} - x = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{2}$.

Erreurs fréquentes

Oublier les parenthèses lors des calculs.
Confondre la limite en $a$ et la limite en $\infty$.
Croire que $\infty - \infty = 0$ (c'est une forme indéterminée !).
Ne pas vérifier les conditions d'application des théorèmes.

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🎯 Les limites d’une fonction

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Quelle est la valeur de $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2+1}{x^2-3}$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l-limite 3ndha forme indéterminée wla la ?

Essaye d'abord de remplacer $x$ par la valeur donnée.
Si tu obtiens un nombre réel, c'est fini.
Si tu obtiens $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, +\infty-\infty$ ou $0 \times \infty$ , alors c'est une forme indéterminée.

💡 À retenir : La forme indéterminée n'est pas un résultat, c'est juste un signal pour dire "il faut transformer l'expression".

Essaye d'abord de remplacer $x$ par la valeur donnée.
Si tu obtiens un nombre réel, c'est fini.
Si tu obtiens $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, +\infty-\infty$ ou $0 \times \infty$, alors c'est une forme indéterminée.

💡 À retenir : La forme indéterminée n'est pas un résultat, c'est juste un signal pour dire "il faut transformer l'expression".

Est-ce que la limite d'une fonction en a est toujours égale à f(a) ?

Non, pas forcément. La limite en $a$ s'intéresse à ce qui se passe autour de $a$ , pas en $a$ . Si la fonction est continue en $a$ , alors $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Mais si la fonction n'est pas définie en $a$ (comme $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ en $x=1$ ), la limite peut exister alors que $f(a)$ n'existe pas.

💡 À retenir : La limite regarde le voisinage, pas le point lui-même.

Non, pas forcément. La limite en $a$ s'intéresse à ce qui se passe autour de $a$, pas en $a$. Si la fonction est continue en $a$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Mais si la fonction n'est pas définie en $a$ (comme $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ en $x=1$), la limite peut exister alors que $f(a)$ n'existe pas.

💡 À retenir : La limite regarde le voisinage, pas le point lui-même.

Chno hiya l-far9 bin l-limite 3la l-yimin w l-yissar ?

C'est utile quand la fonction change de définition ou quand il y a une valeur absolue.

Limite à droite ( $x \to a^+$ ) : tu prends des valeurs de $x$ légèrement plus grandes que $a$ .
Limite à gauche ( $x \to a^-$ ) : tu prends des valeurs légèrement plus petites que $a$ . Si les deux sont égales, la limite existe. Sinon, elle n'existe pas.

💡 À retenir : Si $\lim_{x \to a^+} f(x) \neq \lim_{x \to a^-} f(x)$ , alors la limite en $a$ n'existe pas.

C'est utile quand la fonction change de définition ou quand il y a une valeur absolue.

Limite à droite ($x \to a^+$) : tu prends des valeurs de $x$ légèrement plus grandes que $a$.
Limite à gauche ($x \to a^-$) : tu prends des valeurs légèrement plus petites que $a$. Si les deux sont égales, la limite existe. Sinon, elle n'existe pas.

💡 À retenir : Si $\lim_{x \to a^+} f(x) \neq \lim_{x \to a^-} f(x)$, alors la limite en $a$ n'existe pas.

Comment lever une indétermination avec une racine carrée ?

Utilise la technique de la quantité conjuguée.

Multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée (ex: $\sqrt{A} - B$ devient $\sqrt{A} + B$ ).
Utilise l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ .
Simplifie l'expression pour éliminer le terme qui pose problème.

💡 À retenir : La quantité conjuguée transforme une soustraction en division, ce qui permet souvent de simplifier.

Utilise la technique de la quantité conjuguée.

Multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée (ex: $\sqrt{A} - B$ devient $\sqrt{A} + B$).
Utilise l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Simplifie l'expression pour éliminer le terme qui pose problème.

💡 À retenir : La quantité conjuguée transforme une soustraction en division, ce qui permet souvent de simplifier.

Kifach n7seb l-limite dyal polynôme f-ma-la-nihaya ?

C'est très simple :

Regarde le terme qui a la plus grande puissance (le degré le plus élevé).
La limite de tout le polynôme est la même que la limite de ce seul terme. Exemple : $\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - 5x + 1) = \lim_{x \to +\infty} 3x^2 = +\infty$ .

💡 À retenir : En $\infty$ , seul le "chef" (le terme de plus haut degré) compte.

C'est très simple :

Regarde le terme qui a la plus grande puissance (le degré le plus élevé).
La limite de tout le polynôme est la même que la limite de ce seul terme. Exemple : $\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - 5x + 1) = \lim_{x \to +\infty} 3x^2 = +\infty$.

💡 À retenir : En $\infty$, seul le "chef" (le terme de plus haut degré) compte.

Le théorème des gendarmes, c'est pour quoi faire ?

On l'utilise quand on ne peut pas calculer la limite directement (souvent avec $\sin(x)$ ou $\cos(x)$ ).

Tu encadres ta fonction $f(x)$ entre deux autres fonctions $g(x)$ et $h(x)$ .
Tu montres que $\lim g(x) = L$ et $\lim h(x) = L$ .
Tu conclus que $\lim f(x) = L$ .

💡 À retenir : Si tu es coincé entre deux limites égales, tu es obligé de tendre vers la même valeur.

On l'utilise quand on ne peut pas calculer la limite directement (souvent avec $\sin(x)$ ou $\cos(x)$).

Tu encadres ta fonction $f(x)$ entre deux autres fonctions $g(x)$ et $h(x)$.
Tu montres que $\lim g(x) = L$ et $\lim h(x) = L$.
Tu conclus que $\lim f(x) = L$.

💡 À retenir : Si tu es coincé entre deux limites égales, tu es obligé de tendre vers la même valeur.

Est-ce que frac{1}{0} donne toujours +infty ?

Non, attention !

Si le dénominateur est proche de $0$ par valeurs positives ( $0^+$ ), alors $\frac{1}{0^+} = +\infty$ .
Si le dénominateur est proche de $0$ par valeurs négatives ( $0^-$ ), alors $\frac{1}{0^-} = -\infty$ .
Si le dénominateur est $0$ tout court, la fonction n'est pas définie.

💡 À retenir : Le signe du zéro est crucial pour déterminer le signe de l'infini.

Non, attention !

Si le dénominateur est proche de $0$ par valeurs positives ($0^+$), alors $\frac{1}{0^+} = +\infty$.
Si le dénominateur est proche de $0$ par valeurs négatives ($0^-$), alors $\frac{1}{0^-} = -\infty$.
Si le dénominateur est $0$ tout court, la fonction n'est pas définie.

💡 À retenir : Le signe du zéro est crucial pour déterminer le signe de l'infini.

Comment savoir si une droite est asymptote ?

Asymptote verticale : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ , alors $x=a$ est asymptote.
Asymptote horizontale : Si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b$ , alors $y=b$ est asymptote.

💡 À retenir : La limite infinie donne une droite verticale, la limite finie donne une droite horizontale.

Asymptote verticale : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$, alors $x=a$ est asymptote.
Asymptote horizontale : Si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b$, alors $y=b$ est asymptote.

💡 À retenir : La limite infinie donne une droite verticale, la limite finie donne une droite horizontale.

Est-ce que je peux utiliser la règle de L'Hôpital ?

(à vérifier par le professeur) : Non, cette règle n'est pas au programme de 1ère Bac Sciences Expérimentales au Maroc. Il faut utiliser les méthodes de factorisation, de taux d'accroissement ou de quantité conjuguée.

💡 À retenir : Reste fidèle aux méthodes enseignées en classe pour ne pas être pénalisé.

Chno hiya l-fara3 l-chaljami ?

C'est quand la courbe "s'écrase" ou s'allonge vers une direction infinie sans avoir d'asymptote.

Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$ , c'est une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ , c'est une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.

💡 À retenir : C'est une façon de décrire la direction de la courbe à l'infini.

C'est quand la courbe "s'écrase" ou s'allonge vers une direction infinie sans avoir d'asymptote.

Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$, c'est une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, c'est une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.

💡 À retenir : C'est une façon de décrire la direction de la courbe à l'infini.

Pourquoi on dit "forme indéterminée" ?

Parce que le résultat dépend de la fonction. Par exemple, pour $\frac{\infty}{\infty}$ , selon la fonction, le résultat peut être $0$ , un nombre ou $\infty$ . On ne peut pas conclure directement, il faut "travailler" l'expression pour lever le doute.

💡 À retenir : "Indéterminée" veut dire "on ne peut pas encore savoir".

Parce que le résultat dépend de la fonction. Par exemple, pour $\frac{\infty}{\infty}$, selon la fonction, le résultat peut être $0$, un nombre ou $\infty$. On ne peut pas conclure directement, il faut "travailler" l'expression pour lever le doute.

💡 À retenir : "Indéterminée" veut dire "on ne peut pas encore savoir".

Comment gérer la valeur absolue dans les limites ?

Il faut toujours enlever les barres de valeur absolue en étudiant le signe de l'expression à l'intérieur :

Si l'expression est positive, $|A| = A$ .
Si l'expression est négative, $|A| = -A$ . Ensuite, tu calcules la limite normalement.

💡 À retenir : La valeur absolue se traite toujours en distinguant les cas selon le signe.

Il faut toujours enlever les barres de valeur absolue en étudiant le signe de l'expression à l'intérieur :

Si l'expression est positive, $|A| = A$.
Si l'expression est négative, $|A| = -A$. Ensuite, tu calcules la limite normalement.

💡 À retenir : La valeur absolue se traite toujours en distinguant les cas selon le signe.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$ .

Exercice 1

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+1} - x)$ .

Exercice 2

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+1} - x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$ . (Note : cette limite est admise au programme).

Exercice 3

Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$. (Note : cette limite est admise au programme).

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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