Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Expérimentales

Probabilités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Univers ( $\Omega$ ) : L'ensemble des résultats possibles.
Probabilité $P$ : Une application qui associe à chaque événement $A$ un nombre $P(A) \in [0, 1]$ tel que $P(\Omega) = 1$ .
Propriétés :
- $P(\emptyset) = 0$
- $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Équiprobabilité : Si chaque issue a la même chance, $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ .

Méthodes à maîtriser

Utiliser le dénombrement (arrangements, combinaisons) pour calculer $\text{card}(A)$ et $\text{card}(\Omega)$ .
Vérifier si l'ordre compte (tirage successif avec remise, sans remise, ou simultané).
Utiliser le diagramme de Venn ou les arbres de probabilités pour les événements complexes.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirage de 2 boules parmi 5 (3 rouges, 2 bleues) simultanément. $\text{card}(\Omega) = C_5^2 = 10$ . Probabilité d'avoir 2 rouges : $P(A) = \frac{C_3^2}{10} = \frac{3}{10}$ .
Exemple 2 : Événement contraire. $P(\text{au moins une rouge}) = 1 - P(\text{aucune rouge}) = 1 - P(\text{2 bleues}) = 1 - \frac{C_2^2}{10} = 0,9$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que la somme des probabilités doit être égale à 1.
Confondre tirage simultané ( $C_n^k$ ) et tirage successif sans remise ( $A_n^k$ ).
Oublier de diviser par le cardinal de l'univers.

L'essentiel du cours

Univers ($\Omega$) : L'ensemble des résultats possibles.
Probabilité $P$ : Une application qui associe à chaque événement $A$ un nombre $P(A) \in [0, 1]$ tel que $P(\Omega) = 1$.
Propriétés :
- $P(\emptyset) = 0$
- $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Équiprobabilité : Si chaque issue a la même chance, $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.

Méthodes à maîtriser

Utiliser le dénombrement (arrangements, combinaisons) pour calculer $\text{card}(A)$ et $\text{card}(\Omega)$.
Vérifier si l'ordre compte (tirage successif avec remise, sans remise, ou simultané).
Utiliser le diagramme de Venn ou les arbres de probabilités pour les événements complexes.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirage de 2 boules parmi 5 (3 rouges, 2 bleues) simultanément. $\text{card}(\Omega) = C_5^2 = 10$. Probabilité d'avoir 2 rouges : $P(A) = \frac{C_3^2}{10} = \frac{3}{10}$.
Exemple 2 : Événement contraire. $P(\text{au moins une rouge}) = 1 - P(\text{aucune rouge}) = 1 - P(\text{2 bleues}) = 1 - \frac{C_2^2}{10} = 0,9$.

Erreurs fréquentes

Oublier que la somme des probabilités doit être égale à 1.
Confondre tirage simultané ($C_n^k$) et tirage successif sans remise ($A_n^k$).
Oublier de diviser par le cardinal de l'univers.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Probabilités

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Dans un tirage simultané de 3 boules parmi 10, quel est le cardinal de l'univers ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre tirage simultané et successif sans remise ?

Tirage simultané : L'ordre n'a pas d'importance, on utilise les combinaisons $C_n^k$ .
Tirage successif sans remise : L'ordre compte, on utilise les arrangements $A_n^k$ .

💡 À retenir : Le résultat numérique est souvent le même pour le calcul de probabilité, mais la logique de comptage diffère.

Tirage simultané : L'ordre n'a pas d'importance, on utilise les combinaisons $C_n^k$.
Tirage successif sans remise : L'ordre compte, on utilise les arrangements $A_n^k$.

💡 À retenir : Le résultat numérique est souvent le même pour le calcul de probabilité, mais la logique de comptage diffère.

Kifach n3ref wach nst3mel Cn^k wla An^k ?

Si l'énoncé dit "simultanément" ou "sans ordre", utilise $C_n^k$ .
Si l'énoncé dit "successivement avec ordre" ou "tirage avec remise", utilise $n^k$ ou $A_n^k$ .

💡 À retenir : $C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}$ .

Si l'énoncé dit "simultanément" ou "sans ordre", utilise $C_n^k$.
Si l'énoncé dit "successivement avec ordre" ou "tirage avec remise", utilise $n^k$ ou $A_n^k$.

💡 À retenir : $C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}$.

Chno hiya l'hadat l'modad (événement contraire) w imta kanst3mloha ?

C'est l'événement $\bar{A}$ qui contient tous les cas où $A$ ne se réalise pas.
On l'utilise quand l'énoncé contient "au moins un".

💡 À retenir : $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ simplifie énormément les calculs.

C'est l'événement $\bar{A}$ qui contient tous les cas où $A$ ne se réalise pas.
On l'utilise quand l'énoncé contient "au moins un".

💡 À retenir : $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ simplifie énormément les calculs.

Wach momkin l'i7timal ykon kbar mn 1 ?

Non, la probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, tu as fait une erreur de calcul.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$ .

Non, la probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, tu as fait une erreur de calcul.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$.

Kifach n7seb l'i7timal dyal "au moins une boule rouge" ?

Calcule la probabilité de l'événement contraire : "aucune boule rouge" (donc toutes les boules sont d'une autre couleur).
Soustrais ce résultat de 1.

💡 À retenir : $P(\text{au moins une}) = 1 - P(\text{aucune})$ .

Calcule la probabilité de l'événement contraire : "aucune boule rouge" (donc toutes les boules sont d'une autre couleur).
Soustrais ce résultat de 1.

💡 À retenir : $P(\text{au moins une}) = 1 - P(\text{aucune})$.

Est-ce que l'ordre des boules compte dans le tirage simultané ?

Non, dans un tirage simultané, on considère que toutes les boules sont prises en même temps, donc l'ordre n'a aucune importance.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison ( $C_n^k$ ).

Non, dans un tirage simultané, on considère que toutes les boules sont prises en même temps, donc l'ordre n'a aucune importance.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison ($C_n^k$).

Si j'ai deux événements incompatibles, comment calculer leur réunion ?

Si $A \cap B = \emptyset$ , alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

💡 À retenir : Incompatible signifie que l'intersection est nulle.

Si $A \cap B = \emptyset$, alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

💡 À retenir : Incompatible signifie que l'intersection est nulle.

Comment savoir si on est dans une situation d'équiprobabilité ?

C'est le cas quand tous les objets (boules, cartes) sont indiscernables au toucher et qu'il n'y a pas de biais.

💡 À retenir : Dans la majorité des exercices de bac, on suppose l'équiprobabilité.

C'est quoi la différence entre P(A cap B) et P(A cup B) ?

$A \cap B$ : L'événement où $A$ ET $B$ se réalisent en même temps.
$A \cup B$ : L'événement où $A$ OU $B$ se réalise.

💡 À retenir : Intersection = "et" ; Réunion = "ou".

$A \cap B$ : L'événement où $A$ ET $B$ se réalisent en même temps.
$A \cup B$ : L'événement où $A$ OU $B$ se réalise.

💡 À retenir : Intersection = "et" ; Réunion = "ou".

Est-ce que je dois toujours simplifier les fractions ?

Oui, il est fortement conseillé de simplifier les fractions au maximum pour faciliter la lecture et la correction.

💡 À retenir : Une fraction simplifiée est toujours mieux notée.

Si on tire avec remise, est-ce que le nombre de boules change ?

Non, le nombre total de boules reste constant à chaque tirage car on remet la boule tirée dans l'urne.

💡 À retenir : Avec remise = tirages indépendants.

Comment justifier le choix de Cn^k dans la copie ?

Écris simplement : "Le tirage étant simultané, le nombre de cas possibles est donné par le nombre de combinaisons de $k$ éléments parmi $n$ ".

💡 À retenir : La justification montre que tu as compris la méthode.

Écris simplement : "Le tirage étant simultané, le nombre de cas possibles est donné par le nombre de combinaisons de $k$ éléments parmi $n$".

💡 À retenir : La justification montre que tu as compris la méthode.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 6 boules : 4 blanches et 2 noires. On tire simultanément 2 boules.

Calculer le nombre de cas possibles.
Calculer la probabilité de tirer 2 boules blanches.
Calculer la probabilité de tirer au moins une boule noire.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire 2 boules successivement sans remise.

Calculer la probabilité que les deux boules soient de même couleur.
Calculer la probabilité que la première soit rouge et la deuxième verte.

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Exercice 3

Un sac contient 10 jetons : 5 marqués "1", 3 marqués "2", 2 marqués "3". On tire 3 jetons simultanément. Calculer la probabilité que la somme des nombres soit égale à 4.

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