Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Expérimentales

Étude de fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Domaine de définition $D_f$ : L'ensemble des $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.
Parité : Si $f(-x) = f(x)$ , $f$ est paire (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées). Si $f(-x) = -f(x)$ , $f$ est impaire (symétrie par rapport à l'origine).
Variations : $f$ est croissante si $f'(x) \geq 0$ , décroissante si $f'(x) \leq 0$ .
Concavité : Si $f''(x) > 0$ , la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f''(x) < 0$ , elle est concave (tournée vers le bas).
Asymptotes : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ , alors $x=a$ est asymptote verticale. Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$ , alors $y=b$ est asymptote horizontale.

Méthodes à maîtriser

Étude complète : Déterminer $D_f$ , calculer les limites aux bornes, calculer $f'(x)$ , dresser le tableau de variations, chercher les points d'inflexion avec $f''(x)$ .
Recherche d'asymptotes obliques : Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ ( $a \neq 0$ ) et $\lim_{x \to \infty} (f(x) - ax) = b$ , alors $y=ax+b$ est asymptote oblique.
Tracé de la courbe : Placer les points particuliers, les tangentes horizontales, les asymptotes, puis tracer la courbe en respectant les variations.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x) = x^2 - 4x + 3$ . $f'(x) = 2x - 4$ . $f'(x)=0 \implies x=2$ . $f(2)=-1$ . La courbe admet un minimum en $(2, -1)$ .
Exemple 2 : $f(x) = \frac{1}{x}$ . $f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$ . La fonction est strictement décroissante sur $]0, +\infty[$ et $]-\infty, 0[$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de définition avant de calculer les limites.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec le signe de $f(x)$ .
Ne pas vérifier si le point d'inflexion change réellement la concavité (il faut que $f''$ s'annule et change de signe).

L'essentiel du cours

Domaine de définition $D_f$ : L'ensemble des $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.
Parité : Si $f(-x) = f(x)$, $f$ est paire (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées). Si $f(-x) = -f(x)$, $f$ est impaire (symétrie par rapport à l'origine).
Variations : $f$ est croissante si $f'(x) \geq 0$, décroissante si $f'(x) \leq 0$.
Concavité : Si $f''(x) > 0$, la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f''(x) < 0$, elle est concave (tournée vers le bas).
Asymptotes : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$, alors $x=a$ est asymptote verticale. Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$, alors $y=b$ est asymptote horizontale.

Méthodes à maîtriser

Étude complète : Déterminer $D_f$, calculer les limites aux bornes, calculer $f'(x)$, dresser le tableau de variations, chercher les points d'inflexion avec $f''(x)$.
Recherche d'asymptotes obliques : Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ ($a \neq 0$) et $\lim_{x \to \infty} (f(x) - ax) = b$, alors $y=ax+b$ est asymptote oblique.
Tracé de la courbe : Placer les points particuliers, les tangentes horizontales, les asymptotes, puis tracer la courbe en respectant les variations.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x) = x^2 - 4x + 3$. $f'(x) = 2x - 4$. $f'(x)=0 \implies x=2$. $f(2)=-1$. La courbe admet un minimum en $(2, -1)$.
Exemple 2 : $f(x) = \frac{1}{x}$. $f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$. La fonction est strictement décroissante sur $]0, +\infty[$ et $]-\infty, 0[$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de définition avant de calculer les limites.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec le signe de $f(x)$.
Ne pas vérifier si le point d'inflexion change réellement la concavité (il faut que $f''$ s'annule et change de signe).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Étude de fonctions

1/4

Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors la fonction est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est paire ou impaire ?

Vérifie d'abord que le domaine de définition est symétrique par rapport à 0 (si $x \in D_f$ , alors $-x \in D_f$ ).
Calcule $f(-x)$ .
Si $f(-x) = f(x)$ , elle est paire.
Si $f(-x) = -f(x)$ , elle est impaire.

💡 À retenir : La parité permet de réduire l'étude à $[0, +\infty[$ et de compléter par symétrie.

Vérifie d'abord que le domaine de définition est symétrique par rapport à 0 (si $x \in D_f$, alors $-x \in D_f$).
Calcule $f(-x)$.
Si $f(-x) = f(x)$, elle est paire.
Si $f(-x) = -f(x)$, elle est impaire.

💡 À retenir : La parité permet de réduire l'étude à $[0, +\infty[$ et de compléter par symétrie.

Kifach n3ref wach l'courbe 3ndha asymptote oblique ?

Hseb $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ . Ila lqitiha katssawi wahed l'3adad $a$ (ghir mon3adim).
Hseb $\lim_{x \to \infty} (f(x) - ax)$ . Ila lqitiha katssawi $b$ .
Idan, l'mostaqim $y = ax + b$ howa asymptote oblique.

💡 À retenir : L'asymptote oblique est une droite vers laquelle la courbe se rapproche à l'infini.

Hseb $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$. Ila lqitiha katssawi wahed l'3adad $a$ (ghir mon3adim).
Hseb $\lim_{x \to \infty} (f(x) - ax)$. Ila lqitiha katssawi $b$.
Idan, l'mostaqim $y = ax + b$ howa asymptote oblique.

💡 À retenir : L'asymptote oblique est une droite vers laquelle la courbe se rapproche à l'infini.

C'est quoi la différence entre un extremum local et global ?

Un extremum local est la valeur la plus grande ou petite dans un petit voisinage d'un point.
Un extremum global est la valeur la plus grande ou petite sur tout le domaine de définition.

💡 À retenir : Tout extremum global est local, mais l'inverse n'est pas toujours vrai.

Chno hiya l'fayda dyal l'chtiqaq tani f''(x) ?

$f''(x)$ katsa3dna n3rfou l'tqau3r (concavité) dyal l'courbe.
Ila kan $f''(x) > 0$ , l'courbe "t3ma" (convexe).
Ila kan $f''(x) < 0$ , l'courbe "m7daba" (concave).
Ila tbadl l'ichara dyal $f''(x)$ f wahed noqta, dik sa3a kansmiwha noqtat in3itaf.

💡 À retenir : $f''(x)$ est l'outil principal pour étudier la courbure de la fonction.

$f''(x)$ katsa3dna n3rfou l'tqau3r (concavité) dyal l'courbe.
Ila kan $f''(x) > 0$, l'courbe "t3ma" (convexe).
Ila kan $f''(x) < 0$, l'courbe "m7daba" (concave).
Ila tbadl l'ichara dyal $f''(x)$ f wahed noqta, dik sa3a kansmiwha noqtat in3itaf.

💡 À retenir : $f''(x)$ est l'outil principal pour étudier la courbure de la fonction.

Comment trouver les points d'intersection avec l'axe des abscisses ?

Résoudre l'équation $f(x) = 0$ .
Les solutions $x_1, x_2...$ sont les abscisses des points d'intersection $(x_i, 0)$ .

💡 À retenir : L'axe des abscisses a pour équation $y=0$ .

Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
Les solutions $x_1, x_2...$ sont les abscisses des points d'intersection $(x_i, 0)$.

💡 À retenir : L'axe des abscisses a pour équation $y=0$.

Kifach nrssem l'courbe ila kan 3ndi asymptote verticale ?

Rsem l'moustaqim l'3amoudi $x=a$ .
Chouf l'limite f $a^+$ o $a^-$ (wach $+\infty$ aw $-\infty$ ).
Qrb l'courbe men l'moustaqim bla matqisou.

💡 À retenir : L'asymptote verticale est une barrière que la courbe ne traverse jamais.

Rsem l'moustaqim l'3amoudi $x=a$.
Chouf l'limite f $a^+$ o $a^-$ (wach $+\infty$ aw $-\infty$).
Qrb l'courbe men l'moustaqim bla matqisou.

💡 À retenir : L'asymptote verticale est une barrière que la courbe ne traverse jamais.

Est-ce que toute fonction dérivable admet un point d'inflexion ?

Non. Par exemple, la fonction $f(x) = x^2$ a pour dérivée seconde $f''(x) = 2$ , qui ne s'annule jamais. Elle n'a donc pas de point d'inflexion.

💡 À retenir : Il faut que $f''(x)$ s'annule ET change de signe pour avoir un point d'inflexion.

Non. Par exemple, la fonction $f(x) = x^2$ a pour dérivée seconde $f''(x) = 2$, qui ne s'annule jamais. Elle n'a donc pas de point d'inflexion.

💡 À retenir : Il faut que $f''(x)$ s'annule ET change de signe pour avoir un point d'inflexion.

Pourquoi on calcule les limites aux bornes du domaine ?

Parce que les limites aux bornes nous informent sur le comportement de la courbe à l'infini ou près des valeurs interdites (asymptotes).

💡 À retenir : Les bornes du domaine sont les endroits où la fonction "s'arrête" ou "explose".

Comment savoir si la courbe est au-dessus ou en dessous de l'asymptote ?

Étudie le signe de la différence $d(x) = f(x) - (ax+b)$ .
Si $d(x) > 0$ , la courbe est au-dessus.
Si $d(x) < 0$ , la courbe est en dessous.

💡 À retenir : Le signe de la différence donne la position relative.

Étudie le signe de la différence $d(x) = f(x) - (ax+b)$.
Si $d(x) > 0$, la courbe est au-dessus.
Si $d(x) < 0$, la courbe est en dessous.

💡 À retenir : Le signe de la différence donne la position relative.

Wach momkin l'courbe tqis l'asymptote ?

Oui, l'asymptote est une direction à l'infini. La courbe peut couper l'asymptote en un point fini, mais elle doit s'en rapprocher à l'infini.

💡 À retenir : L'asymptote n'est pas une barrière infranchissable, sauf pour les asymptotes verticales.

Quelle est la relation entre la dérivée et le tableau de variations ?

Le signe de la dérivée $f'(x)$ détermine le sens de variation : positif = croissant, négatif = décroissant.

💡 À retenir : $f'(x) = 0$ donne les points critiques (tangentes horizontales).

Le signe de la dérivée $f'(x)$ détermine le sens de variation : positif = croissant, négatif = décroissant.

💡 À retenir : $f'(x) = 0$ donne les points critiques (tangentes horizontales).

Comment justifier qu'une fonction est continue et dérivable ?

Utilise les théorèmes généraux : les fonctions polynômes, rationnelles, sinus, cosinus sont continues et dérivables sur leur domaine.
La somme, le produit et le quotient de telles fonctions sont aussi dérivables sur leur domaine.

💡 À retenir : Toujours citer le domaine de dérivabilité avant de calculer $f'(x)$ .

Utilise les théorèmes généraux : les fonctions polynômes, rationnelles, sinus, cosinus sont continues et dérivables sur leur domaine.
La somme, le produit et le quotient de telles fonctions sont aussi dérivables sur leur domaine.