Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Expérimentales

Dénombrement

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le dénombrement consiste à compter le nombre de possibilités (cardinal) d'une expérience aléatoire.

Principe multiplicatif : Si une expérience se déroule en $k$ étapes, avec $n_1, n_2, ..., n_k$ choix, le nombre total est $n_1 \times n_2 \times ... \times n_k$ .
Arrangement : Nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ avec ordre : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ .
Permutation : Nombre de façons d'ordonner $n$ éléments : $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$ .
Combinaison : Nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ sans ordre : $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ .

Méthodes à maîtriser

Tirage simultané : On utilise toujours les combinaisons $C_n^p$ .
Tirage successif sans remise : On utilise les arrangements $A_n^p$ .
Tirage successif avec remise : On utilise $n^p$ .
Ordre important : Utiliser $A_n^p$ ou le principe multiplicatif.
Ordre non important : Utiliser $C_n^p$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 2 boules parmi 5 simultanément : $C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ .
Exemple 2 : Former un nombre de 3 chiffres avec {1, 2, 3, 4} sans répétition : $A_4^3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Rappelez-vous que $C$ est pour "Choix" (l'ordre ne compte pas).
Oublier que $0! = 1$ .
Ne pas vérifier si le tirage est avec ou sans remise.

L'essentiel du cours

Le dénombrement consiste à compter le nombre de possibilités (cardinal) d'une expérience aléatoire.

Principe multiplicatif : Si une expérience se déroule en $k$ étapes, avec $n_1, n_2, ..., n_k$ choix, le nombre total est $n_1 \times n_2 \times ... \times n_k$.
Arrangement : Nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ avec ordre : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.
Permutation : Nombre de façons d'ordonner $n$ éléments : $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$.
Combinaison : Nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ sans ordre : $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.

Méthodes à maîtriser

Tirage simultané : On utilise toujours les combinaisons $C_n^p$.
Tirage successif sans remise : On utilise les arrangements $A_n^p$.
Tirage successif avec remise : On utilise $n^p$.
Ordre important : Utiliser $A_n^p$ ou le principe multiplicatif.
Ordre non important : Utiliser $C_n^p$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 2 boules parmi 5 simultanément : $C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
Exemple 2 : Former un nombre de 3 chiffres avec {1, 2, 3, 4} sans répétition : $A_4^3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Rappelez-vous que $C$ est pour "Choix" (l'ordre ne compte pas).
Oublier que $0! = 1$.
Ne pas vérifier si le tirage est avec ou sans remise.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Dénombrement

1/4

Combien vaut $C_5^3$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach nst3mel Cn^p wla An^p ?

Pose-toi la question : "Est-ce que l'ordre des éléments choisis change le résultat ?"
Si l'ordre est important (ex: podium, code secret), utilise $A_n^p$ .
Si l'ordre n'est pas important (ex: une main de cartes, un groupe d'élèves), utilise $C_n^p$ .

💡 À retenir : L'ordre est la clé : $A$ pour Arrangement (ordre), $C$ pour Combinaison (pas d'ordre).

Pose-toi la question : "Est-ce que l'ordre des éléments choisis change le résultat ?"
Si l'ordre est important (ex: podium, code secret), utilise $A_n^p$.
Si l'ordre n'est pas important (ex: une main de cartes, un groupe d'élèves), utilise $C_n^p$.

💡 À retenir : L'ordre est la clé : $A$ pour Arrangement (ordre), $C$ pour Combinaison (pas d'ordre).

Wach Cn^n dima kat3ti 1 ?

Oui, absolument. $C_n^n$ signifie choisir tous les éléments parmi $n$ . Il n'y a qu'une seule façon de tout prendre.

💡 À retenir : $C_n^n = 1$ et $C_n^0 = 1$ .

Oui, absolument. $C_n^n$ signifie choisir tous les éléments parmi $n$. Il n'y a qu'une seule façon de tout prendre.

💡 À retenir : $C_n^n = 1$ et $C_n^0 = 1$.

Chno hiya lfar9 bin tirage successif avec remise et sans remise ?

Avec remise : Tu remets la boule dans l'urne, donc le nombre total de boules reste le même à chaque tirage ( $n^p$ ).
Sans remise : Tu gardes la boule, donc le nombre de boules diminue à chaque tirage ( $A_n^p$ ).

💡 À retenir : "Avec remise" = puissance, "Sans remise" = arrangement.

Avec remise : Tu remets la boule dans l'urne, donc le nombre total de boules reste le même à chaque tirage ($n^p$).
Sans remise : Tu gardes la boule, donc le nombre de boules diminue à chaque tirage ($A_n^p$).

💡 À retenir : "Avec remise" = puissance, "Sans remise" = arrangement.

Kifach n7seb Cn^p ila kan n kbir bzaf ?

Utilise la calculatrice avec la touche $nCr$ . Si tu dois le faire à la main, simplifie la fraction avant de multiplier.

💡 À retenir : $C_n^p = C_n^{n-p}$ permet de simplifier les calculs (ex: $C_{10}^8 = C_{10}^2$ ).

Utilise la calculatrice avec la touche $nCr$. Si tu dois le faire à la main, simplifie la fraction avant de multiplier.

💡 À retenir : $C_n^p = C_n^{n-p}$ permet de simplifier les calculs (ex: $C_{10}^8 = C_{10}^2$).

Wach l'ordre kayhem f tirage simultané ?

Non, dans un tirage simultané, on prend les boules en même temps, donc l'ordre n'a aucune importance. On utilise toujours $C_n^p$ .

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Non, dans un tirage simultané, on prend les boules en même temps, donc l'ordre n'a aucune importance. On utilise toujours $C_n^p$.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Est-ce que An^p est toujours plus grand que Cn^p ?

Oui, pour $p > 1$ , car $A_n^p = C_n^p \times p!$ . Comme $p! > 1$ , $A_n^p$ est forcément plus grand.

💡 À retenir : L'arrangement compte plus de cas car il considère toutes les permutations possibles.

Oui, pour $p > 1$, car $A_n^p = C_n^p \times p!$. Comme $p! > 1$, $A_n^p$ est forcément plus grand.

💡 À retenir : L'arrangement compte plus de cas car il considère toutes les permutations possibles.

Comment calculer le nombre de mots possibles avec les lettres d'un mot ?

Compte le nombre total de lettres ( $n$ ).
Si toutes les lettres sont différentes, c'est $n!$ .
Si des lettres se répètent, divise par la factorielle du nombre de répétitions de chaque lettre.

💡 À retenir : Permutation avec répétition : $\frac{n!}{n_1! \times n_2! ...}$ .

Compte le nombre total de lettres ($n$).
Si toutes les lettres sont différentes, c'est $n!$.
Si des lettres se répètent, divise par la factorielle du nombre de répétitions de chaque lettre.

💡 À retenir : Permutation avec répétition : $\frac{n!}{n_1! \times n_2! ...}$.

Chno hiya 0! ?

Par convention mathématique, $0! = 1$ . C'est indispensable pour que les formules de $C_n^p$ fonctionnent.

💡 À retenir : Ne jamais dire que $0! = 0$ .

Par convention mathématique, $0! = 1$. C'est indispensable pour que les formules de $C_n^p$ fonctionnent.

💡 À retenir : Ne jamais dire que $0! = 0$.

Est-ce que je peux utiliser An^p pour un tirage simultané ?

Non, c'est une erreur grave. Le tirage simultané ignore l'ordre, alors que $A_n^p$ l'impose.

💡 À retenir : Tirage simultané = $C_n^p$ uniquement.

Non, c'est une erreur grave. Le tirage simultané ignore l'ordre, alors que $A_n^p$ l'impose.

💡 À retenir : Tirage simultané = $C_n^p$ uniquement.

Comment savoir si on doit multiplier ou additionner ?

Multiplier : Si les étapes sont successives (ET).
Additionner : Si les cas sont disjoints (OU).

💡 À retenir : "Et" = multiplication, "Ou" = addition.

Est-ce que n doit être toujours supérieur à p ?

Oui, dans $C_n^p$ et $A_n^p$ , on ne peut pas choisir plus d'objets qu'il n'y en a dans l'urne.

💡 À retenir : $n \geq p$ .

Oui, dans $C_n^p$ et $A_n^p$, on ne peut pas choisir plus d'objets qu'il n'y en a dans l'urne.

💡 À retenir : $n \geq p$.

Est-ce que le résultat d'un dénombrement peut être négatif ?

Jamais. Un nombre de possibilités est toujours un entier naturel positif ou nul.

💡 À retenir : Si tu trouves un nombre négatif, vérifie tes calculs.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 8 boules : 5 rouges et 3 bleues. On tire 3 boules simultanément.

Quel est le nombre de tirages possibles ?
Quel est le nombre de tirages contenant exactement 2 boules rouges ?

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Exercice 2

On dispose de 6 chiffres : {1, 2, 3, 4, 5, 6}. On veut former un nombre de 4 chiffres.

Combien de nombres peut-on former sans répétition ?
Combien de nombres peut-on former avec répétition ?

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Exercice 3

Un club compte 10 membres. On veut élire un président, un secrétaire et un trésorier.

Combien de bureaux différents peut-on former ?
Si le président doit être une femme (sachant qu'il y a 4 femmes), combien de choix pour le bureau ?

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