Mathématiques · 2ème Année Bac — Lettres & Sciences Humaines

نهاية متتالية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une suite numérique $(u_n)$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$ ). La limite d'une suite étudie le comportement de $u_n$ quand $n$ devient très grand ( $n \to +\infty$ ).

Limite finie : $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ signifie que les termes $u_n$ se rapprochent de $L$ .
Limite infinie : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ (ou $-\infty$ ) signifie que les termes deviennent arbitrairement grands.
Suites usuelles :
- $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$
- $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$
- $\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$
Opérations : Les règles de calcul des limites (somme, produit, quotient) s'appliquent comme pour les fonctions.

Méthodes à maîtriser

Calcul direct : Remplacer $n$ par $+\infty$ dans les expressions simples.
Levée d'indétermination : Pour une fraction rationnelle, on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
Utilisation des suites usuelles : Se ramener aux formes $\frac{1}{n^k} \to 0$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calculer $\lim_{n \to +\infty} (3 + \frac{2}{n})$ . Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{2}{n} = 0$ , alors $\lim_{n \to +\infty} (3 + \frac{2}{n}) = 3 + 0 = 3$ .

Exemple 2 : Calculer $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n+1}{n+3}$ . On factorise par $n$ : $\frac{n(2 + 1/n)}{n(1 + 3/n)} = \frac{2 + 1/n}{1 + 3/n}$ . Comme $\lim \frac{1}{n} = 0$ et $\lim \frac{3}{n} = 0$ , la limite est $\frac{2+0}{1+0} = 2$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $n$ avec $x$ : bien que similaire, on n'écrit jamais $n \to 0$ ou $n \to 1$ , seulement $n \to +\infty$ .
Oublier de simplifier par $n$ avant de conclure sur une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ .
Croire que si $\lim u_n = 0$ et $\lim v_n = 0$ , alors $\lim \frac{u_n}{v_n} = 1$ (c'est une forme indéterminée).

L'essentiel du cours

Une suite numérique $(u_n)$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$). La limite d'une suite étudie le comportement de $u_n$ quand $n$ devient très grand ($n \to +\infty$).

Limite finie : $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ signifie que les termes $u_n$ se rapprochent de $L$.
Limite infinie : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ (ou $-\infty$) signifie que les termes deviennent arbitrairement grands.
Suites usuelles :
- $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$
- $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$
- $\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$
Opérations : Les règles de calcul des limites (somme, produit, quotient) s'appliquent comme pour les fonctions.

Méthodes à maîtriser

Calcul direct : Remplacer $n$ par $+\infty$ dans les expressions simples.
Levée d'indétermination : Pour une fraction rationnelle, on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
Utilisation des suites usuelles : Se ramener aux formes $\frac{1}{n^k} \to 0$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calculer $\lim_{n \to +\infty} (3 + \frac{2}{n})$. Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{2}{n} = 0$, alors $\lim_{n \to +\infty} (3 + \frac{2}{n}) = 3 + 0 = 3$.

Exemple 2 : Calculer $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n+1}{n+3}$. On factorise par $n$ : $\frac{n(2 + 1/n)}{n(1 + 3/n)} = \frac{2 + 1/n}{1 + 3/n}$. Comme $\lim \frac{1}{n} = 0$ et $\lim \frac{3}{n} = 0$, la limite est $\frac{2+0}{1+0} = 2$.

Erreurs fréquentes

Confondre $n$ avec $x$ : bien que similaire, on n'écrit jamais $n \to 0$ ou $n \to 1$, seulement $n \to +\infty$.
Oublier de simplifier par $n$ avant de conclure sur une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$.
Croire que si $\lim u_n = 0$ et $\lim v_n = 0$, alors $\lim \frac{u_n}{v_n} = 1$ (c'est une forme indéterminée).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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Quelle est la limite de $\lim_{n \to +\infty} (1 + \frac{1}{n})$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la limite d'une suite est toujours un nombre ?

Non. Une suite peut avoir une limite finie (un nombre réel), une limite infinie ( $+\infty$ ou $-\infty$ ), ou ne pas avoir de limite du tout (si elle oscille, comme $(-1)^n$ ).

💡 À retenir : La limite décrit le comportement à long terme, pas forcément une valeur fixe.

Non. Une suite peut avoir une limite finie (un nombre réel), une limite infinie ($+\infty$ ou $-\infty$), ou ne pas avoir de limite du tout (si elle oscille, comme $(-1)^n$).

💡 À retenir : La limite décrit le comportement à long terme, pas forcément une valeur fixe.

Kifach n3ref wach l'exercice fih forme indéterminée wla la ?

Tu remplaces $n$ par $+\infty$ dans ton expression.
Si tu tombes sur des formes comme $\infty - \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \times \infty$ ou $\frac{0}{0}$ , c'est une forme indéterminée.
Si tu obtiens un nombre réel, $+\infty$ ou $-\infty$ directement, ce n'est pas une forme indéterminée.

💡 À retenir : La forme indéterminée signifie qu'il faut transformer l'expression pour trouver la limite.

Tu remplaces $n$ par $+\infty$ dans ton expression.
Si tu tombes sur des formes comme $\infty - \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$ ou $\frac{0}{0}$, c'est une forme indéterminée.
Si tu obtiens un nombre réel, $+\infty$ ou $-\infty$ directement, ce n'est pas une forme indéterminée.

💡 À retenir : La forme indéterminée signifie qu'il faut transformer l'expression pour trouver la limite.

Est-ce qu'on utilise le nombre dérivé pour les suites ?

Non, le nombre dérivé est réservé à l'étude des fonctions numériques sur un intervalle. Pour les suites, on utilise les propriétés des limites usuelles et les opérations sur les limites.

💡 À retenir : Ne mélange pas les outils des fonctions avec ceux des suites.

Wach n9der nkhdem b les règles dyal l'infini dyal les fonctions f les suites ?

Oui, absolument ! Les règles de calcul des limites (somme, produit, quotient) sont les mêmes pour les suites quand $n \to +\infty$ que pour les fonctions quand $x \to +\infty$ .

💡 À retenir : Les propriétés algébriques des limites sont identiques.

Oui, absolument ! Les règles de calcul des limites (somme, produit, quotient) sont les mêmes pour les suites quand $n \to +\infty$ que pour les fonctions quand $x \to +\infty$.

💡 À retenir : Les propriétés algébriques des limites sont identiques.

Comment calculer la limite de frac{3n^2 + 1}{n^2 - 5} ?

Factorise par le terme de plus haut degré ( $n^2$ ) au numérateur et au dénominateur.
Tu obtiens $\frac{n^2(3 + 1/n^2)}{n^2(1 - 5/n^2)}$ .
Simplifie par $n^2$ pour avoir $\frac{3 + 1/n^2}{1 - 5/n^2}$ .
Comme $\frac{1}{n^2} \to 0$ et $\frac{5}{n^2} \to 0$ , la limite est $\frac{3+0}{1-0} = 3$ .

💡 À retenir : Pour les fractions rationnelles, on garde les termes de plus haut degré.

Factorise par le terme de plus haut degré ($n^2$) au numérateur et au dénominateur.
Tu obtiens $\frac{n^2(3 + 1/n^2)}{n^2(1 - 5/n^2)}$.
Simplifie par $n^2$ pour avoir $\frac{3 + 1/n^2}{1 - 5/n^2}$.
Comme $\frac{1}{n^2} \to 0$ et $\frac{5}{n^2} \to 0$, la limite est $\frac{3+0}{1-0} = 3$.

💡 À retenir : Pour les fractions rationnelles, on garde les termes de plus haut degré.

Chno hiya l'utilité dyal had chapitre f l'examen ?

C'est un chapitre fondamental qui permet de comprendre l'évolution d'une suite. Il est souvent lié à l'étude des suites récurrentes pour déterminer le comportement de la suite sur le long terme.

💡 À retenir : Maîtriser les limites est indispensable pour réussir l'exercice sur les suites.

Est-ce que lim{n to +infty} (-1)^n existe ?

Non, cette suite ne possède pas de limite. Elle prend alternativement les valeurs $1$ et $-1$ quand $n$ augmente.

💡 À retenir : Une suite n'a pas toujours une limite.

Non, cette suite ne possède pas de limite. Elle prend alternativement les valeurs $1$ et $-1$ quand $n$ augmente.

💡 À retenir : Une suite n'a pas toujours une limite.

Si j'ai une suite un = sqrt{n} + 3, quelle est sa limite ?

Comme $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$ et que $3$ est une constante, alors $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n} + 3) = +\infty$ .

💡 À retenir : La racine carrée d'un nombre qui tend vers $+\infty$ tend aussi vers $+\infty$ .

Comme $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$ et que $3$ est une constante, alors $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n} + 3) = +\infty$.

💡 À retenir : La racine carrée d'un nombre qui tend vers $+\infty$ tend aussi vers $+\infty$.

Est-ce que la limite d'une suite arithmétique est toujours infinie ?

Pas forcément. Si la raison $r$ est nulle, la suite est constante et sa limite est sa valeur initiale. Si $r > 0$ , elle tend vers $+\infty$ . Si $r < 0$ , elle tend vers $-\infty$ .

💡 À retenir : La limite dépend du signe de la raison $r$ .

Pas forcément. Si la raison $r$ est nulle, la suite est constante et sa limite est sa valeur initiale. Si $r > 0$, elle tend vers $+\infty$. Si $r < 0$, elle tend vers $-\infty$.

💡 À retenir : La limite dépend du signe de la raison $r$.

Comment faire si j'ai un = frac{1}{n} - 7 ?

Identifie la limite de chaque terme.
$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ .
La limite de la constante $-7$ est $-7$ .
Donc, $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0 - 7 = -7$ .

💡 À retenir : La limite d'une somme est la somme des limites.

Identifie la limite de chaque terme.
$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$.
La limite de la constante $-7$ est $-7$.
Donc, $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0 - 7 = -7$.

💡 À retenir : La limite d'une somme est la somme des limites.

Est-ce que je dois justifier mes calculs de limites ?

Oui, toujours. Tu dois écrire "car $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ " pour justifier chaque étape de ton calcul.

💡 À retenir : Une réponse sans justification ne rapporte pas tous les points.

Oui, toujours. Tu dois écrire "car $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$" pour justifier chaque étape de ton calcul.

💡 À retenir : Une réponse sans justification ne rapporte pas tous les points.

Est-ce que frac{1}{n^3} tend vers 0 plus vite que frac{1}{n} ?

Oui, car pour $n$ très grand, $n^3$ est beaucoup plus grand que $n$ , donc la fraction devient très petite beaucoup plus rapidement.

💡 À retenir : Plus la puissance au dénominateur est grande, plus la suite tend vite vers 0.

Oui, car pour $n$ très grand, $n^3$ est beaucoup plus grand que $n$, donc la fraction devient très petite beaucoup plus rapidement.

💡 À retenir : Plus la puissance au dénominateur est grande, plus la suite tend vite vers 0.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{2n^2 - 3}{n^2 + 5n}$ . Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$ .

Exercice 1

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{2n^2 - 3}{n^2 + 5n}$. Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

$\lim_{n \to +\infty} (5 - \frac{4}{n^2})$
$\lim_{n \to +\infty} \frac{3n + 2}{n + 1}$

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

$\lim_{n \to +\infty} (5 - \frac{4}{n^2})$
$\lim_{n \to +\infty} \frac{3n + 2}{n + 1}$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_n = \frac{n^3 + 2n}{n^2 + 1}$ . Calculer sa limite en $+\infty$ .

Exercice 3

Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_n = \frac{n^3 + 2n}{n^2 + 1}$. Calculer sa limite en $+\infty$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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