Mathématiques · 2ème Année Bac — Lettres & Sciences Humaines

الاشتقاق و دراسة الدوال الجذرية للثانية باك آداب وعلوم إنسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point $a$ , noté $f'(a)$ , est la limite : $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ .
Fonction dérivée : La fonction qui à chaque $x$ associe $f'(x)$ .
Dérivées usuelles :
- $(k)' = 0$ ; $(ax+b)' = a$ ; $(x^n)' = nx^{n-1}$ ; $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ .
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ ; $(uv)' = u'v + uv'$ ; $(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}$ .
Duale racine carrée : Pour $f(x) = \sqrt{u(x)}$ , on a $f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ .
Étude de fonction : Le signe de $f'(x)$ donne le sens de variation de $f$ . Si $f'(x) > 0$ , $f$ est croissante. Si $f'(x) < 0$ , $f$ est décroissante.

Méthodes à maîtriser

Calculer le nombre dérivé : Utiliser la définition ou les formules de dérivation.
Déterminer l'équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Étudier les variations : Calculer $f'(x)$ , résoudre $f'(x)=0$ , dresser le tableau de signes de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$ .
Recherche des extremums : Si $f'$ s'annule en changeant de signe, $f$ admet un extremum.

Exemples corrigés

Dérivée : Soit $f(x) = x^3 + 2\sqrt{x}$ . Alors $f'(x) = 3x^2 + 2 \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = 3x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}}$ .
Tangente : Soit $f(x) = x^2$ au point $a=1$ . $f(1)=1$ et $f'(x)=2x$ , donc $f'(1)=2$ . L'équation est $y = 2(x-1) + 1$ , soit $y = 2x - 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser l'ensemble de dérivabilité.
Erreur de signe lors de la dérivation d'un quotient.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec la valeur de $f(x)$ .
Ne pas simplifier les expressions après dérivation.

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point $a$, noté $f'(a)$, est la limite : $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$.
Fonction dérivée : La fonction qui à chaque $x$ associe $f'(x)$.
Dérivées usuelles :
- $(k)' = 0$ ; $(ax+b)' = a$ ; $(x^n)' = nx^{n-1}$ ; $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ ; $(uv)' = u'v + uv'$ ; $(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}$.
Duale racine carrée : Pour $f(x) = \sqrt{u(x)}$, on a $f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$.
Étude de fonction : Le signe de $f'(x)$ donne le sens de variation de $f$. Si $f'(x) > 0$, $f$ est croissante. Si $f'(x) < 0$, $f$ est décroissante.

Méthodes à maîtriser

Calculer le nombre dérivé : Utiliser la définition ou les formules de dérivation.
Déterminer l'équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Étudier les variations : Calculer $f'(x)$, résoudre $f'(x)=0$, dresser le tableau de signes de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$.
Recherche des extremums : Si $f'$ s'annule en changeant de signe, $f$ admet un extremum.

Exemples corrigés

Dérivée : Soit $f(x) = x^3 + 2\sqrt{x}$. Alors $f'(x) = 3x^2 + 2 \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = 3x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Tangente : Soit $f(x) = x^2$ au point $a=1$. $f(1)=1$ et $f'(x)=2x$, donc $f'(1)=2$. L'équation est $y = 2(x-1) + 1$, soit $y = 2x - 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser l'ensemble de dérivabilité.
Erreur de signe lors de la dérivation d'un quotient.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec la valeur de $f(x)$.
Ne pas simplifier les expressions après dérivation.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 الاشتقاق و دراسة الدوال الجذرية للثانية باك آداب وعلوم إنسانية

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La dérivée de $f(x) = 5x^3$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre la dérivée et le nombre dérivé ?

Le nombre dérivé $f'(a)$ est une valeur numérique fixe qui représente la pente de la tangente au point d'abscisse $a$ .
La fonction dérivée $f'(x)$ est une expression algébrique qui permet de calculer la pente en n'importe quel point $x$ du domaine.

💡 À retenir : Le nombre dérivé est l'image de $a$ par la fonction dérivée.

Le nombre dérivé $f'(a)$ est une valeur numérique fixe qui représente la pente de la tangente au point d'abscisse $a$.
La fonction dérivée $f'(x)$ est une expression algébrique qui permet de calculer la pente en n'importe quel point $x$ du domaine.

💡 À retenir : Le nombre dérivé est l'image de $a$ par la fonction dérivée.

Kifach n7seb l'equation dyal la tangente f chi no9ta?

Calcule l'image de la valeur $a$ par la fonction : $f(a)$ .
Calcule la dérivée $f'(x)$ puis remplace $x$ par $a$ pour trouver $f'(a)$ .
Applique la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
Développe pour obtenir la forme $y = mx + p$ .

💡 À retenir : La formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ est indispensable.

Calcule l'image de la valeur $a$ par la fonction : $f(a)$.
Calcule la dérivée $f'(x)$ puis remplace $x$ par $a$ pour trouver $f'(a)$.
Applique la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Développe pour obtenir la forme $y = mx + p$.

💡 À retenir : La formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ est indispensable.

Est-ce que la dérivée de sqrt{x} est toujours 1/(2sqrt{x}) ?

Oui, mais attention : cette formule n'est valable que pour $x > 0$ . En $x=0$ , la fonction racine carrée n'est pas dérivable car la limite du taux d'accroissement est infinie.

💡 À retenir : La fonction racine carrée est dérivable sur $]0, +\infty[$ .

Oui, mais attention : cette formule n'est valable que pour $x > 0$. En $x=0$, la fonction racine carrée n'est pas dérivable car la limite du taux d'accroissement est infinie.

💡 À retenir : La fonction racine carrée est dérivable sur $]0, +\infty[$.

Wach darouri ndiro tableau de variation f kol tamrin?

Oui, dès que l'exercice demande d'étudier les variations d'une fonction, le tableau est obligatoire car il synthétise le signe de la dérivée et le sens de variation de la fonction.

💡 À retenir : Le tableau de variations est la preuve visuelle de ton étude.

Comment savoir si la fonction est croissante ou décroissante ?

Calcule la dérivée $f'(x)$ .
Résous l'inéquation $f'(x) > 0$ (croissante) et $f'(x) < 0$ (décroissante).
Si $f'(x) = 0$ , la fonction admet un point critique (souvent un extremum).

💡 À retenir : Le signe de $f'(x)$ dicte le sens de variation de $f$ .

Calcule la dérivée $f'(x)$.
Résous l'inéquation $f'(x) > 0$ (croissante) et $f'(x) < 0$ (décroissante).
Si $f'(x) = 0$, la fonction admet un point critique (souvent un extremum).

💡 À retenir : Le signe de $f'(x)$ dicte le sens de variation de $f$.

Chno hiya l'utilité dyal l'equation de la tangente?

Elle permet d'approcher la courbe par une droite au voisinage d'un point.
Elle aide à tracer la courbe plus précisément lors de la représentation graphique.

💡 À retenir : La tangente est la meilleure approximation linéaire de la courbe en un point.

Est-ce qu'on peut dériver une fonction racine carrée d'une autre fonction ?

Oui, en utilisant la formule $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ . Il faut juste s'assurer que $u(x) > 0$ .

💡 À retenir : Applique la règle de la chaîne : dérivée de l'intérieur divisée par deux fois la racine.

Oui, en utilisant la formule $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$. Il faut juste s'assurer que $u(x) > 0$.

💡 À retenir : Applique la règle de la chaîne : dérivée de l'intérieur divisée par deux fois la racine.

Kifach n3ref wach l'extremum maximum wla minimum?

Si la dérivée passe de (+) à (-), c'est un maximum.
Si la dérivée passe de (-) à (+), c'est un minimum.

💡 À retenir : Regarde le changement de signe de $f'(x)$ .

Si la dérivée passe de (+) à (-), c'est un maximum.
Si la dérivée passe de (-) à (+), c'est un minimum.

💡 À retenir : Regarde le changement de signe de $f'(x)$.

Est-ce qu'une fonction peut être dérivable sans être continue ?

Non, c'est impossible. La dérivabilité implique nécessairement la continuité. Si une fonction n'est pas continue en $a$ , elle ne peut pas être dérivable en $a$ .

💡 À retenir : Continuité est une condition nécessaire à la dérivabilité.

Non, c'est impossible. La dérivabilité implique nécessairement la continuité. Si une fonction n'est pas continue en $a$, elle ne peut pas être dérivable en $a$.

💡 À retenir : Continuité est une condition nécessaire à la dérivabilité.

Quelle est la dérivée de x^2 + 5x - 3 ?

La dérivée de $x^2$ est $2x$ .
La dérivée de $5x$ est $5$ .
La dérivée de $-3$ est $0$ .
Donc $f'(x) = 2x + 5$ .

💡 À retenir : Dérive chaque terme séparément.

La dérivée de $x^2$ est $2x$.
La dérivée de $5x$ est $5$.
La dérivée de $-3$ est $0$.
Donc $f'(x) = 2x + 5$.

💡 À retenir : Dérive chaque terme séparément.

Est-ce que la dérivée d'une constante est toujours zéro ?

Oui, car une constante ne varie pas, donc sa pente (sa vitesse de variation) est nulle.

💡 À retenir : $(k)' = 0$ pour tout nombre réel $k$ .

Oui, car une constante ne varie pas, donc sa pente (sa vitesse de variation) est nulle.

💡 À retenir : $(k)' = 0$ pour tout nombre réel $k$.

Comment on fait si la dérivée est une fraction ?

Identifie le numérateur $u$ et le dénominateur $v$ .
Utilise la formule $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Simplifie le numérateur avec précaution.

💡 À retenir : Ne développe pas le dénominateur au carré, laisse-le tel quel.

Identifie le numérateur $u$ et le dénominateur $v$.
Utilise la formule $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Simplifie le numérateur avec précaution.

💡 À retenir : Ne développe pas le dénominateur au carré, laisse-le tel quel.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = \sqrt{2x+4}$ .

Déterminer le domaine de définition $D_f$ .
Calculer $f'(x)$ pour $x > -2$ .

Exercice 1

Soit $f(x) = \sqrt{2x+4}$.

Déterminer le domaine de définition $D_f$.
Calculer $f'(x)$ pour $x > -2$.

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Exercice 2

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Calculer $f'(x)$ .
Déterminer le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Calculer $f'(x)$.
Déterminer le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.
Dresser le tableau de variations de $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$ pour $x \neq 2$ .

Calculer $f'(x)$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$ pour $x \neq 2$.

Calculer $f'(x)$.
Étudier le signe de $f'(x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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