Mathématiques · 2ème Année Bac — Lettres & Sciences Humaines

التعداد مادة الرياضيات للسنة الثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le dénombrement permet de compter le nombre de possibilités dans une situation donnée.

Principe multiplicatif : Si une opération se fait en $n$ étapes, avec $p_1$ choix pour la première, $p_2$ pour la deuxième, ..., le nombre total est $p_1 \times p_2 \times ... \times p_n$ .
Arrangements : Nombre de façons de choisir et d'ordonner $k$ éléments parmi $n$ : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ .
Permutations : Nombre de façons d'ordonner $n$ éléments : $P_n = n!$ .
Combinaisons : Nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$ sans ordre : $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte (ex: podium, code), on utilise les arrangements. Si l'ordre ne compte pas (ex: tirage de main de cartes, choix d'un comité), on utilise les combinaisons.
Tirages :
- Tirages successifs avec remise : $n^k$ .
- Tirages successifs sans remise : $A_n^k$ .
- Tirages simultanés : $C_n^k$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Choisir un président et un secrétaire parmi 10 élèves. L'ordre compte : $A_{10}^2 = 10 \times 9 = 90$ .
Exemple 2 : Choisir 3 élèves parmi 10 pour un groupe. L'ordre ne compte pas : $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$ : Rappelez-vous que $C_n^k$ est toujours plus petit car on divise par l'ordre.
Oublier que $0! = 1$ .
Mal lire l'énoncé : "avec remise" vs "sans remise".

L'essentiel du cours

Le dénombrement permet de compter le nombre de possibilités dans une situation donnée.

Principe multiplicatif : Si une opération se fait en $n$ étapes, avec $p_1$ choix pour la première, $p_2$ pour la deuxième, ..., le nombre total est $p_1 \times p_2 \times ... \times p_n$.
Arrangements : Nombre de façons de choisir et d'ordonner $k$ éléments parmi $n$ : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Permutations : Nombre de façons d'ordonner $n$ éléments : $P_n = n!$.
Combinaisons : Nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$ sans ordre : $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte (ex: podium, code), on utilise les arrangements. Si l'ordre ne compte pas (ex: tirage de main de cartes, choix d'un comité), on utilise les combinaisons.
Tirages :
- Tirages successifs avec remise : $n^k$.
- Tirages successifs sans remise : $A_n^k$.
- Tirages simultanés : $C_n^k$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Choisir un président et un secrétaire parmi 10 élèves. L'ordre compte : $A_{10}^2 = 10 \times 9 = 90$.
Exemple 2 : Choisir 3 élèves parmi 10 pour un groupe. L'ordre ne compte pas : $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$ : Rappelez-vous que $C_n^k$ est toujours plus petit car on divise par l'ordre.
Oublier que $0! = 1$.
Mal lire l'énoncé : "avec remise" vs "sans remise".

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 التعداد مادة الرياضيات للسنة الثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية

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Combien vaut $C_5^2$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'ordre est important dans les combinaisons ?

Non, dans les combinaisons, l'ordre n'a aucune importance. On s'intéresse uniquement à la composition du groupe. Par exemple, choisir Ali et Sara est identique à choisir Sara et Ali.

💡 À retenir : Combinaison = Groupe (pas d'ordre). Arrangement = Liste ou Podium (ordre).

Kifach n3ref wach nst3mel Cn^k wla An^k ?

Pose-toi la question : est-ce que si j'inverse deux éléments, le résultat change ?
Si oui (ex: un code secret, un classement), utilise $A_n^k$ .
Si non (ex: une équipe, un tirage de boules), utilise $C_n^k$ .

💡 À retenir : Si l'ordre importe, c'est un arrangement. Sinon, c'est une combinaison.

Pose-toi la question : est-ce que si j'inverse deux éléments, le résultat change ?
Si oui (ex: un code secret, un classement), utilise $A_n^k$.
Si non (ex: une équipe, un tirage de boules), utilise $C_n^k$.

💡 À retenir : Si l'ordre importe, c'est un arrangement. Sinon, c'est une combinaison.

C'est quoi la différence entre tirage simultané et successif sans remise ?

Mathématiquement, il n'y en a aucune. Tirer 3 boules simultanément revient à tirer 3 boules l'une après l'autre sans les remettre dans l'urne. Dans les deux cas, on utilise $C_n^k$ .

💡 À retenir : Tirage simultané = Tirage successif sans remise = $C_n^k$ .

Mathématiquement, il n'y en a aucune. Tirer 3 boules simultanément revient à tirer 3 boules l'une après l'autre sans les remettre dans l'urne. Dans les deux cas, on utilise $C_n^k$.

💡 À retenir : Tirage simultané = Tirage successif sans remise = $C_n^k$.

Chno hiya l'utilité dyal factorielle n! ?

La factorielle sert à calculer le nombre de façons d'ordonner $n$ objets. Par exemple, pour ranger 3 livres sur une étagère, on a $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ possibilités.

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$ .

La factorielle sert à calculer le nombre de façons d'ordonner $n$ objets. Par exemple, pour ranger 3 livres sur une étagère, on a $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ possibilités.

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$.

Est-ce que Cn^n est toujours égal à 1 ?

Oui, car il n'y a qu'une seule façon de choisir tous les éléments d'un ensemble. Par exemple, choisir 5 élèves parmi 5, c'est prendre tout le monde, donc 1 seule possibilité.

💡 À retenir : $C_n^n = 1$ et $C_n^0 = 1$ .

Oui, car il n'y a qu'une seule façon de choisir tous les éléments d'un ensemble. Par exemple, choisir 5 élèves parmi 5, c'est prendre tout le monde, donc 1 seule possibilité.

💡 À retenir : $C_n^n = 1$ et $C_n^0 = 1$.

Kifach n7seb An^k ila kan n kbir bzaf ?

Utilise la formule simplifiée : $A_n^k = n \times (n-1) \times ... \times (n-k+1)$ . Tu multiplies $k$ nombres en descendant à partir de $n$ .

💡 À retenir : Ne calcule pas les factorielles en entier, simplifie toujours la fraction.

Utilise la formule simplifiée : $A_n^k = n \times (n-1) \times ... \times (n-k+1)$. Tu multiplies $k$ nombres en descendant à partir de $n$.

💡 À retenir : Ne calcule pas les factorielles en entier, simplifie toujours la fraction.

Si on tire avec remise, est-ce qu'on utilise Cn^k ?

Non, jamais. Avec remise, chaque tirage est indépendant. Si tu tires $k$ fois parmi $n$ objets, le nombre total est $n^k$ .

💡 À retenir : Avec remise = Puissance ( $n^k$ ).

Non, jamais. Avec remise, chaque tirage est indépendant. Si tu tires $k$ fois parmi $n$ objets, le nombre total est $n^k$.

💡 À retenir : Avec remise = Puissance ($n^k$).

Est-ce que le résultat d'un dénombrement peut être négatif ?

Absolument pas. Le dénombrement compte des objets, donc le résultat doit toujours être un entier positif ou nul. Si tu trouves un nombre négatif, vérifie tes calculs.

💡 À retenir : Un nombre de possibilités est toujours $\geq 0$ .

Absolument pas. Le dénombrement compte des objets, donc le résultat doit toujours être un entier positif ou nul. Si tu trouves un nombre négatif, vérifie tes calculs.

💡 À retenir : Un nombre de possibilités est toujours $\geq 0$.

C'est quoi un arrangement de n éléments ?

C'est une liste ordonnée de $n$ éléments choisis dans un ensemble. Chaque élément est distinct et l'ordre de disposition change la nature de l'arrangement.

💡 À retenir : Arrangement = Ordre + Sélection.

C'est une liste ordonnée de $n$ éléments choisis dans un ensemble. Chaque élément est distinct et l'ordre de disposition change la nature de l'arrangement.

💡 À retenir : Arrangement = Ordre + Sélection.

Pourquoi on divise par k! dans la formule de Cn^k ?

On divise par $k!$ pour "annuler" l'ordre. Comme $A_n^k$ compte les ordres, et qu'il y a $k!$ façons d'ordonner $k$ objets, on divise pour ne compter chaque groupe qu'une seule fois.

💡 À retenir : $C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}$ .

On divise par $k!$ pour "annuler" l'ordre. Comme $A_n^k$ compte les ordres, et qu'il y a $k!$ façons d'ordonner $k$ objets, on divise pour ne compter chaque groupe qu'une seule fois.

💡 À retenir : $C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}$.

Est-ce qu'on peut avoir k n dans Cn^k ?

Non, c'est impossible. Tu ne peux pas choisir 5 personnes dans un groupe de 3. Dans ce cas, le nombre de possibilités est 0.

💡 À retenir : Toujours $k \leq n$ .

Non, c'est impossible. Tu ne peux pas choisir 5 personnes dans un groupe de 3. Dans ce cas, le nombre de possibilités est 0.

💡 À retenir : Toujours $k \leq n$.

Est-ce que le programme demande de faire des calculs avec des variables n ?

Oui, parfois on demande de résoudre des équations comme $C_n^2 = 10$ . Il faut utiliser la formule factorielle pour simplifier et trouver $n$ .

💡 À retenir : Développe les factorielles pour simplifier les équations.

Oui, parfois on demande de résoudre des équations comme $C_n^2 = 10$. Il faut utiliser la formule factorielle pour simplifier et trouver $n$.

💡 À retenir : Développe les factorielles pour simplifier les équations.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 8 boules : 5 rouges et 3 noires. On tire simultanément 2 boules. Quel est le nombre de tirages possibles ?

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Exercice 2

Un club compte 10 membres. On veut élire un président et un vice-président. Combien de choix y a-t-il ?

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Exercice 3

Dans une classe de 12 élèves, on veut former un comité de 3 élèves. Combien de comités peut-on former ?

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