Mathématiques · 2ème Année Bac — Lettres & Sciences Humaines

المتتالية الترجعية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une suite récurrente est définie par son premier terme $u_0$ (ou $u_1$ ) et une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ , où $f$ est une fonction numérique.

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ . Le terme général est $u_n = u_0 + n \cdot r$ .
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ . Le terme général est $u_n = u_0 \cdot q^n$ .
Sens de variation : On étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ $u_{n + 1} - u_{n}$ .
- Si $u_{n+1} - u_n > 0$ , la suite est croissante.
- Si $u_{n+1} - u_n < 0$ , la suite est décroissante.

Méthodes à maîtriser

Calculer les premiers termes : Remplacer $n$ par 0, 1, 2... dans la relation.
Démontrer qu'une suite est arithmétique/géométrique : Calculer $u_{n+1} - u_n$ (doit être une constante $r$ ) ou le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (doit être une constante $q$ ).
Étudier le sens de variation : Calculer $u_{n+1} - u_n$ et étudier son signe.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = u_n + 3$ et $u_0 = 2$ . $u_1 = u_0 + 3 = 5$ ; $u_2 = u_1 + 3 = 8$ . C'est une suite arithmétique de raison $r=3$ . Exemple 2 : Soit $(v_n)$ définie par $v_{n+1} = 2v_n$ et $v_0 = 3$ . $v_1 = 2 \times 3 = 6$ ; $v_2 = 2 \times 6 = 12$ . C'est une suite géométrique de raison $q=2$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $u_{n+1}$ et $u_n + 1$ .
Oublier de préciser le premier terme lors de l'utilisation de la formule du terme général.
Croire qu'une suite est toujours soit arithmétique, soit géométrique (il existe des suites qui ne sont ni l'une ni l'autre).

L'essentiel du cours

Une suite récurrente est définie par son premier terme $u_0$ (ou $u_1$) et une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$, où $f$ est une fonction numérique.

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$. Le terme général est $u_n = u_0 + n \cdot r$.
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$. Le terme général est $u_n = u_0 \cdot q^n$.
Sens de variation : On étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$.
- Si $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite est croissante.
- Si $u_{n+1} - u_n < 0$, la suite est décroissante.

Méthodes à maîtriser

Calculer les premiers termes : Remplacer $n$ par 0, 1, 2... dans la relation.
Démontrer qu'une suite est arithmétique/géométrique : Calculer $u_{n+1} - u_n$ (doit être une constante $r$) ou le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (doit être une constante $q$).
Étudier le sens de variation : Calculer $u_{n+1} - u_n$ et étudier son signe.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = u_n + 3$ et $u_0 = 2$. $u_1 = u_0 + 3 = 5$ ; $u_2 = u_1 + 3 = 8$. C'est une suite arithmétique de raison $r=3$. Exemple 2 : Soit $(v_n)$ définie par $v_{n+1} = 2v_n$ et $v_0 = 3$. $v_1 = 2 \times 3 = 6$ ; $v_2 = 2 \times 6 = 12$. C'est une suite géométrique de raison $q=2$.

Erreurs fréquentes

Confondre $u_{n+1}$ et $u_n + 1$.
Oublier de préciser le premier terme lors de l'utilisation de la formule du terme général.
Croire qu'une suite est toujours soit arithmétique, soit géométrique (il existe des suites qui ne sont ni l'une ni l'autre).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Soit $u_{n+1} = u_n + 5$ . Quelle est la raison ?

Soit $u_{n+1} = u_n + 5$. Quelle est la raison ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre une suite arithmétique et géométrique ?

Une suite arithmétique augmente ou diminue par addition : on ajoute toujours le même nombre $r$ (la raison).
Une suite géométrique augmente ou diminue par multiplication : on multiplie toujours par le même nombre $q$ (la raison).

💡 À retenir : Arithmétique = addition (+r) ; Géométrique = multiplication (×q).

Une suite arithmétique augmente ou diminue par addition : on ajoute toujours le même nombre $r$ (la raison).
Une suite géométrique augmente ou diminue par multiplication : on multiplie toujours par le même nombre $q$ (la raison).

💡 À retenir : Arithmétique = addition (+r) ; Géométrique = multiplication (×q).

Kifach n7seb u2 ila kan u{n+1} = 2un + 1 o u0 = 3 ?

Calcule d'abord $u_1$ : $u_1 = 2u_0 + 1 = 2(3) + 1 = 7$ .
Calcule ensuite $u_2$ en utilisant $u_1$ : $u_2 = 2u_1 + 1 = 2(7) + 1 = 15$ .

💡 À retenir : Pour trouver un terme, il faut toujours connaître le précédent.

Calcule d'abord $u_1$ : $u_1 = 2u_0 + 1 = 2(3) + 1 = 7$.
Calcule ensuite $u_2$ en utilisant $u_1$ : $u_2 = 2u_1 + 1 = 2(7) + 1 = 15$.

💡 À retenir : Pour trouver un terme, il faut toujours connaître le précédent.

Comment savoir si une suite est croissante ou décroissante ?

Calcule la différence $D = u_{n+1} - u_n$ .
Si $D > 0$ , la suite est croissante.
Si $D < 0$ , la suite est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la différence donne le sens de variation.

Calcule la différence $D = u_{n+1} - u_n$.
Si $D > 0$, la suite est croissante.
Si $D < 0$, la suite est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la différence donne le sens de variation.

Chno hiya "la raison" d'une suite ?

C'est le nombre fixe qui permet de passer d'un terme au suivant.

Pour une suite arithmétique, c'est le nombre qu'on ajoute.
Pour une suite géométrique, c'est le nombre par lequel on multiplie.

💡 À retenir : La raison est la "règle" de progression de la suite.

Est-ce que je dois toujours commencer par u0 ?

Non, une suite peut commencer par $u_1$ ou un autre indice selon l'énoncé. Il faut toujours regarder la valeur donnée dans l'exercice.

💡 À retenir : Adapte tes calculs à l'indice de départ donné par le professeur.

Non, une suite peut commencer par $u_1$ ou un autre indice selon l'énoncé. Il faut toujours regarder la valeur donnée dans l'exercice.

💡 À retenir : Adapte tes calculs à l'indice de départ donné par le professeur.

Wash darouri n7fed les formules dyal un ?

Oui, c'est indispensable pour gagner du temps à l'examen.

Arithmétique : $u_n = u_0 + n \cdot r$ .
Géométrique : $u_n = u_0 \cdot q^n$ .

💡 À retenir : Ces formules permettent de calculer n'importe quel terme sans calculer tous ceux d'avant.

Oui, c'est indispensable pour gagner du temps à l'examen.

Arithmétique : $u_n = u_0 + n \cdot r$.
Géométrique : $u_n = u_0 \cdot q^n$.

💡 À retenir : Ces formules permettent de calculer n'importe quel terme sans calculer tous ceux d'avant.

Si u{n+1} - un = 5, la suite est-elle géométrique ?

Non, elle est arithmétique de raison $r = 5$ . Une suite géométrique se reconnaît avec un rapport (division) et non une différence.

💡 À retenir : Différence = Arithmétique ; Rapport = Géométrique.

Non, elle est arithmétique de raison $r = 5$. Une suite géométrique se reconnaît avec un rapport (division) et non une différence.

💡 À retenir : Différence = Arithmétique ; Rapport = Géométrique.

Comment démontrer qu'une suite est géométrique ?

Calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ .
Si tu obtiens un nombre réel constant (qui ne dépend pas de $n$ ), alors la suite est géométrique.

💡 À retenir : Si le résultat est un nombre fixe, c'est la raison $q$ .

Calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.
Si tu obtiens un nombre réel constant (qui ne dépend pas de $n$), alors la suite est géométrique.

💡 À retenir : Si le résultat est un nombre fixe, c'est la raison $q$.

Est-ce qu'une suite peut être ni arithmétique ni géométrique ?

Oui, tout à fait. Par exemple, la suite $u_{n+1} = u_n^2 + 1$ n'est ni arithmétique ni géométrique.

💡 À retenir : Ne force pas une suite à être arithmétique ou géométrique si ce n'est pas le cas.

Oui, tout à fait. Par exemple, la suite $u_{n+1} = u_n^2 + 1$ n'est ni arithmétique ni géométrique.

💡 À retenir : Ne force pas une suite à être arithmétique ou géométrique si ce n'est pas le cas.

Comment calculer un en fonction de n ?

Identifie si la suite est arithmétique ou géométrique.
Utilise la formule du cours correspondante.
Remplace $u_0$ et la raison par leurs valeurs.

💡 À retenir : La forme finale doit contenir $n$ et ne plus contenir $u_n$ .

Identifie si la suite est arithmétique ou géométrique.
Utilise la formule du cours correspondante.
Remplace $u_0$ et la raison par leurs valeurs.

💡 À retenir : La forme finale doit contenir $n$ et ne plus contenir $u_n$.

Qu'est-ce qu'une suite récurrente ?

C'est une suite où chaque terme est défini à partir du terme qui le précède ( $u_n$ ).

💡 À retenir : On a besoin du passé pour construire le futur.

C'est une suite où chaque terme est défini à partir du terme qui le précède ($u_n$).

💡 À retenir : On a besoin du passé pour construire le futur.

Si un = 3n + 2, est-ce une suite arithmétique ?

Oui, c'est une suite arithmétique de raison $r = 3$ et de premier terme $u_0 = 2$ .

💡 À retenir : Toute expression de la forme $u_n = an + b$ est une suite arithmétique.

Oui, c'est une suite arithmétique de raison $r = 3$ et de premier terme $u_0 = 2$.

💡 À retenir : Toute expression de la forme $u_n = an + b$ est une suite arithmétique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 4$ .

Calculer $u_1$ et $u_2$ .
Montrer que $(u_n)$ est une suite arithmétique.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .

Exercice 1

Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 4$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
Montrer que $(u_n)$ est une suite arithmétique.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $(v_n)$ une suite définie par $v_0 = 2$ et $v_{n+1} = 3v_n$ .

Calculer $v_1$ et $v_2$ .
Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ .

Exercice 2

Soit $(v_n)$ une suite définie par $v_0 = 2$ et $v_{n+1} = 3v_n$.

Calculer $v_1$ et $v_2$.
Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $(w_n)$ une suite définie par $w_0 = 1$ et $w_{n+1} = w_n + 2n + 1$ .

Calculer $w_1$ et $w_2$ .
La suite $(w_n)$ est-elle arithmétique ? Justifier.

Exercice 3

Soit $(w_n)$ une suite définie par $w_0 = 1$ et $w_{n+1} = w_n + 2n + 1$.

Calculer $w_1$ et $w_2$.
La suite $(w_n)$ est-elle arithmétique ? Justifier.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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