Les paramètres de dispersion (Étendue, Variance, Écart-type, Coefficient de variation)

Non, l'étendue est très limitée car elle ne dépend que des deux valeurs extrêmes. Elle est très sensible aux valeurs aberrantes (très grandes ou très petites). Elle ne donne aucune information sur la répartition des valeurs au centre de la série.

💡 À retenir : L'étendue donne une idée rapide mais imprécise de la dispersion.

1. Calcule le centre de chaque classe ($c_i$).
2. Calcule la moyenne $\bar{x} = \frac{\sum n_i c_i}{N}$.
3. Calcule la variance avec les centres : $V = \frac{\sum n_i c_i^2}{N} - \bar{x}^2$.
4. Fais la racine carrée du résultat final.

💡 À retenir : Le centre de classe remplace la valeur $x_i$ dans toutes les formules.

L'écart-type est une mesure absolue (ex: en dirhams). Si tu veux comparer la dispersion des salaires (en DH) et celle des âges (en années), l'écart-type ne sert à rien. Le $CV$ est une mesure relative (sans unité) qui permet de comparer la dispersion de deux séries de natures différentes.

💡 À retenir : Le $CV$ est indispensable pour comparer l'homogénéité de deux séries.

La variance est une étape mathématique nécessaire pour trouver l'écart-type. Elle permet de quantifier mathématiquement l'éloignement moyen des valeurs par rapport à la moyenne. Plus elle est élevée, plus les données sont dispersées.

💡 À retenir : La variance est le socle du calcul de la dispersion.

Non, jamais. La variance est une somme de carrés (ou une moyenne de carrés), et un carré est toujours positif ou nul. Si tu trouves un résultat négatif, c'est qu'il y a une erreur de calcul dans ta formule.

💡 À retenir : $V(X) \geq 0$ toujours.

Tu calcules le coefficient de variation ($CV$).

1. Si $CV$ est faible (ex: < 10%), la série est homogène (les valeurs sont proches de la moyenne).
2. Si $CV$ est élevé, la série est hétérogène (les valeurs sont très dispersées).

💡 À retenir : Plus le $CV$ est petit, plus la série est stable.

Non. Si tu ajoutes une constante $k$ à chaque valeur ($x_i + k$), la moyenne augmente de $k$, mais l'écart entre les valeurs reste le même. Donc, l'écart-type ne change pas.

💡 À retenir : L'écart-type est invariant par translation.

L'écart-type utilise les carrés des écarts, ce qui donne plus de poids aux valeurs éloignées de la moyenne. L'écart absolu moyen utilise la valeur absolue. Dans le programme, on se concentre sur l'écart-type car il est plus utile pour les calculs statistiques avancés.

💡 À retenir : L'écart-type est le paramètre standard en statistique.

Oui, par convention, on multiplie le rapport $\frac{\sigma}{\bar{x}}$ par 100 pour l'exprimer en pourcentage, ce qui facilite la lecture et la comparaison entre différentes séries.

💡 À retenir : $CV$ est une valeur relative exprimée en %.

Non, car le calcul du $CV$ implique une division par la moyenne ($\frac{\sigma}{\bar{x}}$). Si la moyenne est nulle, le calcul est impossible.

💡 À retenir : Le $CV$ n'est défini que si $\bar{x} \neq 0$.

Oui, dans la quasi-totalité des cas pratiques, l'écart-type est nettement plus petit que l'étendue, car il mesure une dispersion "moyenne" et non la distance maximale entre les deux extrêmes.

💡 À retenir : L'étendue est une borne supérieure de la dispersion.

Cela signifie que toutes les valeurs de la série sont identiques. Il n'y a aucune dispersion, la série est constante.

💡 À retenir : $\sigma = 0 \iff$ toutes les valeurs sont égales.