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Ajustement linéaire et méthode des moindres carrés

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

L'ajustement linéaire consiste à chercher une droite d'équation $y = ax + b$ qui représente au mieux un nuage de points $(x_i, y_i)$ .

Point moyen : $G(\bar{x}, \bar{y})$ avec $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$ et $\bar{y} = \frac{1}{n}\sum y_i$ .
Covariance : $Cov(X,Y) = \frac{1}{n}\sum (x_i \cdot y_i) - \bar{x}\bar{y}$ .
Pente ( $a$ ) : $a = \frac{Cov(X,Y)}{V(X)}$ où $V(X)$ est la variance de $X$ .
Ordonnée à l'origine ( $b$ ) : $b = \bar{y} - a\bar{x}$ .
Coefficient de corrélation ( $r$ ) : $r = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer les moyennes $\bar{x}$ et $\bar{y}$ .
Calculer la variance $V(X)$ et la covariance $Cov(X,Y)$ à l'aide d'un tableau.
Déterminer $a$ puis $b$ .
Vérifier que la droite passe par $G(\bar{x}, \bar{y})$ .

Exemples corrigés

Soit $X=\{1, 2, 3\}$ et $Y=\{2, 4, 5\}$ .

$\bar{x} = 2$ , $\bar{y} = \frac{11}{3} \approx 3,67$ .
$Cov(X,Y) = \frac{(1\cdot2 + 2\cdot4 + 3\cdot5)}{3} - 2 \cdot 3,67 = 8,33 - 7,34 = 0,99$ .
$V(X) = \frac{1^2+2^2+3^2}{3} - 2^2 = 4,67 - 4 = 0,67$ .
$a = 0,99 / 0,67 \approx 1,48$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $Cov(X,Y)$ avec la variance.
Oublier que $r$ est toujours compris entre -1 et 1.
Se tromper dans le calcul de $b$ en utilisant une valeur arrondie de $a$ trop tôt.

L'essentiel du cours

L'ajustement linéaire consiste à chercher une droite d'équation $y = ax + b$ qui représente au mieux un nuage de points $(x_i, y_i)$.

Point moyen : $G(\bar{x}, \bar{y})$ avec $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$ et $\bar{y} = \frac{1}{n}\sum y_i$.
Covariance : $Cov(X,Y) = \frac{1}{n}\sum (x_i \cdot y_i) - \bar{x}\bar{y}$.
Pente ($a$) : $a = \frac{Cov(X,Y)}{V(X)}$ où $V(X)$ est la variance de $X$.
Ordonnée à l'origine ($b$) : $b = \bar{y} - a\bar{x}$.
Coefficient de corrélation ($r$) : $r = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}$.

Méthodes à maîtriser

Calculer les moyennes $\bar{x}$ et $\bar{y}$.
Calculer la variance $V(X)$ et la covariance $Cov(X,Y)$ à l'aide d'un tableau.
Déterminer $a$ puis $b$.
Vérifier que la droite passe par $G(\bar{x}, \bar{y})$.

Exemples corrigés

Soit $X={1, 2, 3}$ et $Y={2, 4, 5}$.

$\bar{x} = 2$, $\bar{y} = \frac{11}{3} \approx 3,67$.
$Cov(X,Y) = \frac{(1\cdot2 + 2\cdot4 + 3\cdot5)}{3} - 2 \cdot 3,67 = 8,33 - 7,34 = 0,99$.
$V(X) = \frac{1^2+2^2+3^2}{3} - 2^2 = 4,67 - 4 = 0,67$.
$a = 0,99 / 0,67 \approx 1,48$.

Erreurs fréquentes

Confondre $Cov(X,Y)$ avec la variance.
Oublier que $r$ est toujours compris entre -1 et 1.
Se tromper dans le calcul de $b$ en utilisant une valeur arrondie de $a$ trop tôt.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Ajustement linéaire et méthode des moindres carrés

1/4

Le point moyen $G(\bar{x}, \bar{y})$ appartient toujours à la droite de régression :

❓ Questions fréquentes

Pourquoi on utilise les "moindres carrés" ?

Parce que les erreurs (résidus) peuvent être positives ou négatives. Si on les additionnait, elles pourraient s'annuler. En les élevant au carré, on s'assure qu'elles sont toutes positives et on pénalise les grands écarts.

💡 À retenir : Cette méthode permet d'obtenir une droite unique et optimale.

Kifach n7seb la pente "a" ila 3tani l'exercice l'tableau?

Calcule d'abord la moyenne de X ( $\bar{x}$ ) et de Y ( $\bar{y}$ ).
Calcule la covariance $Cov(X,Y) = \frac{\sum x_i y_i}{n} - \bar{x}\bar{y}$ .
Calcule la variance de X : $V(X) = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2$ .
Applique la formule $a = \frac{Cov(X,Y)}{V(X)}$ .

💡 À retenir : La pente $a$ dépend uniquement de la dispersion de X et de la relation entre X et Y.

Calcule d'abord la moyenne de X ($\bar{x}$) et de Y ($\bar{y}$).
Calcule la covariance $Cov(X,Y) = \frac{\sum x_i y_i}{n} - \bar{x}\bar{y}$.
Calcule la variance de X : $V(X) = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2$.
Applique la formule $a = \frac{Cov(X,Y)}{V(X)}$.

💡 À retenir : La pente $a$ dépend uniquement de la dispersion de X et de la relation entre X et Y.

Chno hiya l'fayda dial coefficient de corrélation "r"?

Le coefficient $r$ mesure la force et le sens de la relation linéaire entre X et Y.

Si $r$ est proche de 1 : corrélation positive forte.
Si $r$ est proche de -1 : corrélation négative forte.
Si $r$ est proche de 0 : pas de relation linéaire.

💡 À retenir : $r$ ne dépasse jamais l'intervalle $[-1, 1]$ .

Le coefficient $r$ mesure la force et le sens de la relation linéaire entre X et Y.

Si $r$ est proche de 1 : corrélation positive forte.
Si $r$ est proche de -1 : corrélation négative forte.
Si $r$ est proche de 0 : pas de relation linéaire.

💡 À retenir : $r$ ne dépasse jamais l'intervalle $[-1, 1]$.

Wach l'khatt dial l'ajustement khasso ydoz men ga3 les points?

Non, c'est impossible sauf si les points sont déjà alignés. La méthode des moindres carrés cherche la droite qui minimise la somme des carrés des distances verticales entre les points et la droite.

💡 À retenir : La droite passe obligatoirement par le point moyen $G(\bar{x}, \bar{y})$ .

💡 À retenir : La droite passe obligatoirement par le point moyen $G(\bar{x}, \bar{y})$.

Comment interpréter une valeur de r = 0,95 ?

Une valeur de 0,95 indique une corrélation linéaire positive très forte. Cela signifie que lorsque X augmente, Y augmente de manière quasi-parfaite selon une droite.

💡 À retenir : Plus $|r|$ est proche de 1, plus l'ajustement est fiable.

Une valeur de 0,95 indique une corrélation linéaire positive très forte. Cela signifie que lorsque X augmente, Y augmente de manière quasi-parfaite selon une droite.

💡 À retenir : Plus $|r|$ est proche de 1, plus l'ajustement est fiable.

Est-ce que l'ordre de X et Y est important ?

Oui, absolument. Dans le modèle $y = ax + b$ , X est la variable explicative et Y est la variable expliquée. Si tu inverses X et Y, la droite obtenue sera différente.

💡 À retenir : Identifie toujours bien quelle variable influence l'autre dans l'énoncé.

Oui, absolument. Dans le modèle $y = ax + b$, X est la variable explicative et Y est la variable expliquée. Si tu inverses X et Y, la droite obtenue sera différente.

💡 À retenir : Identifie toujours bien quelle variable influence l'autre dans l'énoncé.

Kifach n3ref wach l'ajustement linéaire mzyan ola la?

Il faut regarder la valeur du coefficient de corrélation $r$ . Plus $|r|$ est proche de 1, plus l'ajustement est pertinent. Si $|r| < 0,5$ , l'ajustement linéaire n'est pas recommandé.

💡 À retenir : Un ajustement linéaire n'est pertinent que si le nuage de points a une forme allongée.

Il faut regarder la valeur du coefficient de corrélation $r$. Plus $|r|$ est proche de 1, plus l'ajustement est pertinent. Si $|r| < 0,5$, l'ajustement linéaire n'est pas recommandé.

💡 À retenir : Un ajustement linéaire n'est pertinent que si le nuage de points a une forme allongée.

Que signifie une pente a négative ?

Une pente négative signifie que les variables X et Y évoluent en sens opposé : quand X augmente, Y diminue.

💡 À retenir : Le signe de $a$ est toujours le même que celui de la covariance $Cov(X,Y)$ .

Une pente négative signifie que les variables X et Y évoluent en sens opposé : quand X augmente, Y diminue.

💡 À retenir : Le signe de $a$ est toujours le même que celui de la covariance $Cov(X,Y)$.

Peut-on utiliser la droite pour prédire des valeurs en dehors de la série ?

Oui, c'est le principe de l'extrapolation. Cependant, il faut être prudent : la tendance observée dans le passé n'est pas garantie de se poursuivre à l'avenir.

💡 À retenir : L'extrapolation est utile mais comporte des risques d'erreur.

Comment calculer la variance V(X) rapidement ?

Utilise la formule de König-Huygens : $V(X) = \overline{X^2} - (\bar{x})^2$ . C'est-à-dire la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.

💡 À retenir : C'est souvent plus rapide que de calculer chaque écart $(x_i - \bar{x})^2$ .

Utilise la formule de König-Huygens : $V(X) = \overline{X^2} - (\bar{x})^2$. C'est-à-dire la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.

💡 À retenir : C'est souvent plus rapide que de calculer chaque écart $(x_i - \bar{x})^2$.

Est-ce que r peut être égal à 2 ?

Non, jamais. Le coefficient de corrélation linéaire est mathématiquement borné entre -1 et 1. Si tu trouves 2, c'est qu'il y a une erreur de calcul.

💡 À retenir : Vérifie tes calculs de $Cov(X,Y)$ et des écarts-types si tu obtiens un résultat hors intervalle.

Non, jamais. Le coefficient de corrélation linéaire est mathématiquement borné entre -1 et 1. Si tu trouves 2, c'est qu'il y a une erreur de calcul.

💡 À retenir : Vérifie tes calculs de $Cov(X,Y)$ et des écarts-types si tu obtiens un résultat hors intervalle.

Si r = 0, est-ce que les variables sont indépendantes ?

Pas forcément. $r=0$ signifie qu'il n'y a pas de relation linéaire. Il peut exister une relation non linéaire (par exemple parabolique) entre les variables.

💡 À retenir : $r=0$ signifie absence de corrélation linéaire, pas forcément absence de toute relation.

Pas forcément. $r=0$ signifie qu'il n'y a pas de relation linéaire. Il peut exister une relation non linéaire (par exemple parabolique) entre les variables.

💡 À retenir : $r=0$ signifie absence de corrélation linéaire, pas forcément absence de toute relation.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une entreprise étudie l'évolution de ses dépenses publicitaires ( $X$ en milliers de DH) et son chiffre d'affaires ( $Y$ en milliers de DH) sur 4 mois : $X = \{2, 4, 6, 8\}$ $Y = \{10, 15, 20, 25\}$

Calculer les coordonnées du point moyen $G$ .
Calculer la covariance $Cov(X,Y)$ et la variance $V(X)$ .
Déterminer l'équation de la droite de régression $y = ax + b$ .

Exercice 1

Une entreprise étudie l'évolution de ses dépenses publicitaires ($X$ en milliers de DH) et son chiffre d'affaires ($Y$ en milliers de DH) sur 4 mois : $X = {2, 4, 6, 8}$ $Y = {10, 15, 20, 25}$

Calculer les coordonnées du point moyen $G$.
Calculer la covariance $Cov(X,Y)$ et la variance $V(X)$.
Déterminer l'équation de la droite de régression $y = ax + b$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit une série statistique double $(X,Y)$ avec $n=5$ . On donne : $\bar{x} = 10$ , $\bar{y} = 20$ , $V(X) = 4$ , $Cov(X,Y) = 6$ .

Calculer la pente $a$ et l'ordonnée à l'origine $b$ .
Prévoir la valeur de $Y$ si $X = 12$ .

Exercice 2

Soit une série statistique double $(X,Y)$ avec $n=5$. On donne : $\bar{x} = 10$, $\bar{y} = 20$, $V(X) = 4$, $Cov(X,Y) = 6$.

Calculer la pente $a$ et l'ordonnée à l'origine $b$.
Prévoir la valeur de $Y$ si $X = 12$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Le coefficient de corrélation d'une série est $r = 0,8$ . La variance de $X$ est 9 et celle de $Y$ est 16.

Calculer la covariance $Cov(X,Y)$ .
Sachant que $\bar{x} = 2$ et $\bar{y} = 10$ , déterminer l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ .

Exercice 3

Le coefficient de corrélation d'une série est $r = 0,8$. La variance de $X$ est 9 et celle de $Y$ est 16.

Calculer la covariance $Cov(X,Y)$.
Sachant que $\bar{x} = 2$ et $\bar{y} = 10$, déterminer l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$.

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