Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences de la Charia

حساب التكامل

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ .

Définition : Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$ , alors l'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est : $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$
Linéarité : $\int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) dx$ .
Relation de Chasles : $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx$ .
Positivité : Si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul direct : Identifier une primitive usuelle (puissances, exponentielle, logarithme).
Utilisation de Chasles : Décomposer une intégrale pour simplifier le calcul.
Linéarité : Séparer les termes d'une somme pour calculer chaque intégrale séparément.

Exemples corrigés

Calcul simple : Calculer $I = \int_{1}^{2} 3x^2 dx$ . Une primitive de $3x^2$ est $x^3$ . Donc $I = [x^3]_{1}^{2} = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7$ .
Avec exponentielle : Calculer $J = \int_{0}^{1} e^x dx$ . Une primitive de $e^x$ est $e^x$ . Donc $J = [e^x]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $\int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx$ .
Confondre la variable d'intégration avec les bornes.
Ne pas vérifier si la fonction est continue sur l'intervalle donné.

L'essentiel du cours

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$.

Définition : Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$, alors l'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est : $$\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$
Linéarité : $\int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) dx$.
Relation de Chasles : $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx$.
Positivité : Si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$, alors $\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0$.

Méthodes à maîtriser

Calcul direct : Identifier une primitive usuelle (puissances, exponentielle, logarithme).
Utilisation de Chasles : Décomposer une intégrale pour simplifier le calcul.
Linéarité : Séparer les termes d'une somme pour calculer chaque intégrale séparément.

Exemples corrigés

Calcul simple : Calculer $I = \int_{1}^{2} 3x^2 dx$. Une primitive de $3x^2$ est $x^3$. Donc $I = [x^3]_{1}^{2} = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7$.
Avec exponentielle : Calculer $J = \int_{0}^{1} e^x dx$. Une primitive de $e^x$ est $e^x$. Donc $J = [e^x]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $\int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx$.
Confondre la variable d'intégration avec les bornes.
Ne pas vérifier si la fonction est continue sur l'intervalle donné.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 حساب التكامل

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Quelle est la primitive de $f(x) = 4x^3$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'intégrale peut être négative ?

Oui, tout à fait. L'intégrale représente une aire algébrique. Si la fonction $f$ est négative sur l'intervalle $[a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f(x) dx$ sera négative.

💡 À retenir : Le signe de l'intégrale dépend du signe de la fonction sur l'intervalle.

Oui, tout à fait. L'intégrale représente une aire algébrique. Si la fonction $f$ est négative sur l'intervalle $[a, b]$, alors $\int_{a}^{b} f(x) dx$ sera négative.

💡 À retenir : Le signe de l'intégrale dépend du signe de la fonction sur l'intervalle.

Kifach n7seb l'intégrale ila kan 3ndi l'exponentielle ?

C'est simple, il suffit de connaître la primitive de $e^x$ qui est $e^x$ elle-même.

Tu cherches la primitive de la fonction.
Tu remplaces $x$ par la borne supérieure.
Tu soustrais le résultat obtenu en remplaçant $x$ par la borne inférieure.

💡 À retenir : La primitive de $e^x$ est $e^x$ .

C'est simple, il suffit de connaître la primitive de $e^x$ qui est $e^x$ elle-même.

Tu cherches la primitive de la fonction.
Tu remplaces $x$ par la borne supérieure.
Tu soustrais le résultat obtenu en remplaçant $x$ par la borne inférieure.

💡 À retenir : La primitive de $e^x$ est $e^x$.

Est-ce que je dois toujours trouver une primitive ?

Oui, dans le cadre du programme de la filière Sciences de la Charia, la méthode principale pour calculer une intégrale est de trouver une primitive de la fonction.

💡 À retenir : Intégrer, c'est l'opération inverse de la dérivation.

Chno hiya relation de Chasles o imta kankhedmouha ?

La relation de Chasles est $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx$ . On l'utilise quand on a une valeur absolue ou quand la fonction change d'expression sur l'intervalle.

💡 À retenir : Elle permet de "casser" l'intégrale en deux parties.

La relation de Chasles est $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx$. On l'utilise quand on a une valeur absolue ou quand la fonction change d'expression sur l'intervalle.

💡 À retenir : Elle permet de "casser" l'intégrale en deux parties.

Est-ce que l'ordre des bornes est important ?

Oui, très important. Si tu inverses les bornes $a$ et $b$ , le résultat change de signe.

💡 À retenir : $\int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx$ .

Oui, très important. Si tu inverses les bornes $a$ et $b$, le résultat change de signe.

💡 À retenir : $\int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx$.

Kifach n7seb l'intégrale ila kan 3ndi ln(x) ?

Pour le programme actuel, si tu dois intégrer une fonction contenant $\ln(x)$ , on te donnera souvent la primitive dans l'énoncé ou la fonction sera de la forme $\frac{1}{x}$ .

Si c'est $\frac{1}{x}$ , la primitive est $\ln(x)$ (pour $x>0$ ).
Si c'est $\ln(x)$ seul, cela demande une intégration par parties (à vérifier par le professeur si au programme).

💡 À retenir : La primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln(x)$ .

Pour le programme actuel, si tu dois intégrer une fonction contenant $\ln(x)$, on te donnera souvent la primitive dans l'énoncé ou la fonction sera de la forme $\frac{1}{x}$.

Si c'est $\frac{1}{x}$, la primitive est $\ln(x)$ (pour $x>0$).
Si c'est $\ln(x)$ seul, cela demande une intégration par parties (à vérifier par le professeur si au programme).

💡 À retenir : La primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln(x)$.

Si la fonction est constante, comment on fait ?

Si $f(x) = k$ , alors $\int_{a}^{b} k dx = k(b - a)$ .

Tu multiplies la constante par la différence des bornes.

💡 À retenir : L'intégrale d'une constante est la constante multipliée par la longueur de l'intervalle.

Si $f(x) = k$, alors $\int_{a}^{b} k dx = k(b - a)$.

Tu multiplies la constante par la différence des bornes.

💡 À retenir : L'intégrale d'une constante est la constante multipliée par la longueur de l'intervalle.

Est-ce que je peux séparer une intégrale d'un produit ?

Non, attention ! $\int (f(x) \times g(x)) dx$ n'est pas égal à $\int f(x) dx \times \int g(x) dx$ . Tu ne peux séparer que les sommes et les multiplications par un nombre réel.

💡 À retenir : La linéarité ne s'applique qu'aux sommes et aux coefficients constants.

Non, attention ! $\int (f(x) \times g(x)) dx$ n'est pas égal à $\int f(x) dx \times \int g(x) dx$. Tu ne peux séparer que les sommes et les multiplications par un nombre réel.

💡 À retenir : La linéarité ne s'applique qu'aux sommes et aux coefficients constants.

Est-ce que le résultat doit être un nombre ?

Oui, le résultat d'une intégrale définie (avec des bornes) est toujours un nombre réel, jamais une fonction.

💡 À retenir : Une intégrale définie donne une valeur numérique.

Pourquoi on utilise les crochets ?

Les crochets servent à noter la primitive que tu as trouvée avant de passer au calcul numérique.

Tu écris la primitive entre crochets.
Tu écris les bornes à droite des crochets.

💡 À retenir : Les crochets marquent l'étape de transition entre la primitive et le calcul final.

Est-ce que je peux choisir n'importe quelle primitive ?

Oui, tu peux prendre n'importe quelle primitive $F(x) + C$ . Cependant, la constante $C$ s'annule toujours lors du calcul $F(b) - F(a)$ , donc on choisit toujours $C=0$ pour simplifier.

💡 À retenir : Prends toujours la primitive la plus simple (sans constante).

Oui, tu peux prendre n'importe quelle primitive $F(x) + C$. Cependant, la constante $C$ s'annule toujours lors du calcul $F(b) - F(a)$, donc on choisit toujours $C=0$ pour simplifier.