Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences de la Charia

المتتالية الترجعية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une suite récurrente est définie par son premier terme $u_0$ (ou $u_1$ ) et une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_0 + n \cdot r$ .
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ . Terme général : $u_n = u_0 \cdot q^n$ .
Raisonnement par récurrence : Pour montrer qu'une propriété $P(n)$ $P (n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ $n \geq n_{0}$ :
1. Initialisation : Vérifier $P(n_0)$ .
2. Hérédité : Supposer $P(n)$ vraie, montrer $P(n+1)$ .
3. Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ .

Méthodes à maîtriser

Démontrer par récurrence une inégalité ou une égalité.
Calculer les premiers termes d'une suite pour conjecturer son comportement.
Déterminer la nature d'une suite (arithmétique ou géométrique) en calculant $u_{n+1} - u_n$ ou $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $u_{n+1} = u_n + 3$ avec $u_0 = 2$ . C'est une suite arithmétique de raison $r=3$ . Donc $u_n = 2 + 3n$ . Exemple 2 : Montrer par récurrence que $u_n \geq 0$ pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$ avec $u_0=1$ .

$u_0 = 1 \geq 0$ (Vrai).
Supposons $u_n \geq 0$ , alors $u_n+2 \geq 2 > 0$ , donc $\sqrt{u_n+2} \geq 0$ . $P(n+1)$ est vraie.

Erreurs fréquentes

Oublier l'étape d'initialisation dans le raisonnement par récurrence.
Confondre la formule du terme général d'une suite arithmétique et géométrique.
Croire qu'une suite est arithmétique juste parce que $u_1 - u_0 = u_2 - u_1$ sans le démontrer pour tout $n$ .

L'essentiel du cours

Une suite récurrente est définie par son premier terme $u_0$ (ou $u_1$) et une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$.

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_0 + n \cdot r$.
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$. Terme général : $u_n = u_0 \cdot q^n$.
Raisonnement par récurrence : Pour montrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ :
1. Initialisation : Vérifier $P(n_0)$.
2. Hérédité : Supposer $P(n)$ vraie, montrer $P(n+1)$.
3. Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$.

Méthodes à maîtriser

Démontrer par récurrence une inégalité ou une égalité.
Calculer les premiers termes d'une suite pour conjecturer son comportement.
Déterminer la nature d'une suite (arithmétique ou géométrique) en calculant $u_{n+1} - u_n$ ou $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $u_{n+1} = u_n + 3$ avec $u_0 = 2$. C'est une suite arithmétique de raison $r=3$. Donc $u_n = 2 + 3n$. Exemple 2 : Montrer par récurrence que $u_n \geq 0$ pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$ avec $u_0=1$.

$u_0 = 1 \geq 0$ (Vrai).
Supposons $u_n \geq 0$, alors $u_n+2 \geq 2 > 0$, donc $\sqrt{u_n+2} \geq 0$. $P(n+1)$ est vraie.

Erreurs fréquentes

Oublier l'étape d'initialisation dans le raisonnement par récurrence.
Confondre la formule du terme général d'une suite arithmétique et géométrique.
Croire qu'une suite est arithmétique juste parce que $u_1 - u_0 = u_2 - u_1$ sans le démontrer pour tout $n$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Si $u_{n+1} = u_n - 5$ et $u_0 = 10$ , alors $u_2$ vaut :

Si $u_{n+1} = u_n - 5$ et $u_0 = 10$, alors $u_2$ vaut :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre une suite arithmétique et géométrique ?

Une suite est arithmétique si on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ (la raison). $u_{n+1} = u_n + r$ .
Une suite est géométrique si on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même nombre $q$ (la raison). $u_{n+1} = q \times u_n$ .

💡 À retenir : Addition = Arithmétique ; Multiplication = Géométrique.

Une suite est arithmétique si on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ (la raison). $u_{n+1} = u_n + r$.
Une suite est géométrique si on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même nombre $q$ (la raison). $u_{n+1} = q \times u_n$.

💡 À retenir : Addition = Arithmétique ; Multiplication = Géométrique.

kifach n7seb un ila kan 3ndi u{n+1} = 2un + 1 ?

Pour ce type de suite (arithmético-géométrique), tu ne peux pas utiliser une formule directe comme pour les suites simples.

Calcule les premiers termes ( $u_1, u_2, u_3$ ) pour voir si une logique apparaît.
Souvent, on te demandera de montrer qu'une suite auxiliaire $v_n = u_n - \alpha$ est géométrique.
Une fois $v_n$ trouvée, tu écris $u_n = v_n + \alpha$ .

💡 À retenir : Utilise toujours la suite auxiliaire donnée dans l'énoncé.

Pour ce type de suite (arithmético-géométrique), tu ne peux pas utiliser une formule directe comme pour les suites simples.

Calcule les premiers termes ($u_1, u_2, u_3$) pour voir si une logique apparaît.
Souvent, on te demandera de montrer qu'une suite auxiliaire $v_n = u_n - \alpha$ est géométrique.
Une fois $v_n$ trouvée, tu écris $u_n = v_n + \alpha$.

💡 À retenir : Utilise toujours la suite auxiliaire donnée dans l'énoncé.

Est-ce qu'on doit toujours commencer la récurrence par n=0 ?

Non, cela dépend de l'énoncé. Si la suite est définie à partir de $u_1$ , tu commences par $n=1$ . Si l'énoncé dit "pour tout $n \geq 5$ ", tu commences par $n=5$ .

💡 À retenir : L'initialisation se fait toujours au premier rang indiqué dans la question.

Non, cela dépend de l'énoncé. Si la suite est définie à partir de $u_1$, tu commences par $n=1$. Si l'énoncé dit "pour tout $n \geq 5$", tu commences par $n=5$.

💡 À retenir : L'initialisation se fait toujours au premier rang indiqué dans la question.

chhal khassni ndir f l'hérédité bach tkon s7i7a ?

L'hérédité est l'étape la plus importante :

Écris clairement : "Supposons que $P(n)$ est vraie".
Écris ce que tu veux démontrer : "Montrons que $P(n+1)$ est vraie".
Utilise l'hypothèse de récurrence pour transformer $u_n$ en $u_{n+1}$ .

💡 À retenir : Ne saute jamais l'étape de la supposition.

L'hérédité est l'étape la plus importante :

Écris clairement : "Supposons que $P(n)$ est vraie".
Écris ce que tu veux démontrer : "Montrons que $P(n+1)$ est vraie".
Utilise l'hypothèse de récurrence pour transformer $u_n$ en $u_{n+1}$.

💡 À retenir : Ne saute jamais l'étape de la supposition.

Comment savoir si une suite est croissante ou décroissante ?

Il faut étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ :

Si $u_{n+1} - u_n > 0$ , alors la suite est croissante.
Si $u_{n+1} - u_n < 0$ , alors la suite est décroissante.

💡 À retenir : La différence positive signifie que le terme suivant est plus grand.

Il faut étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ :

Si $u_{n+1} - u_n > 0$, alors la suite est croissante.
Si $u_{n+1} - u_n < 0$, alors la suite est décroissante.

💡 À retenir : La différence positive signifie que le terme suivant est plus grand.

wach n9der nkhdem b l'calculatrice f l'examen ?

Oui, la calculatrice est autorisée pour les calculs numériques (additions, multiplications, racines). Cependant, elle ne remplace pas la rédaction. Tu dois écrire toutes les étapes de ton raisonnement.

💡 À retenir : La calculatrice aide, mais c'est ta rédaction qui donne les points.

ana mli kankteb l'conclusion d'récurrence kankhaf nnsa chi haja, chno ndir ?

La conclusion doit être courte et précise. Écris simplement : "D'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ ".

💡 À retenir : La phrase type est ton assurance contre les erreurs de rédaction.

La conclusion doit être courte et précise. Écris simplement : "D'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$".

💡 À retenir : La phrase type est ton assurance contre les erreurs de rédaction.

Est-ce que un peut être négatif si u0 est positif ?

Oui, tout dépend de la relation de récurrence. Par exemple, si $u_{n+1} = -2u_n$ , les signes vont alterner. Si $u_{n+1} = u_n - 5$ , la suite va devenir négative.

💡 À retenir : Vérifie toujours le signe avec les premiers termes.

Oui, tout dépend de la relation de récurrence. Par exemple, si $u_{n+1} = -2u_n$, les signes vont alterner. Si $u_{n+1} = u_n - 5$, la suite va devenir négative.

💡 À retenir : Vérifie toujours le signe avec les premiers termes.

kifach n3ref wach l'suite géométrique ou la non ?

Calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ .

Si tu trouves un nombre constant (qui ne dépend pas de $n$ ), alors la suite est géométrique.
Si le résultat dépend de $n$ , elle n'est pas géométrique.

💡 À retenir : Le rapport doit être un nombre fixe.

Calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.

Si tu trouves un nombre constant (qui ne dépend pas de $n$), alors la suite est géométrique.
Si le résultat dépend de $n$, elle n'est pas géométrique.

💡 À retenir : Le rapport doit être un nombre fixe.

C'est quoi un terme général ?

Le terme général est une formule qui permet de calculer $u_n$ directement en fonction de $n$ , sans avoir besoin de calculer tous les termes précédents.

💡 À retenir : $u_n = f(n)$ .

Le terme général est une formule qui permet de calculer $u_n$ directement en fonction de $n$, sans avoir besoin de calculer tous les termes précédents.

💡 À retenir : $u_n = f(n)$.

wach l'récurrence katkhdem ghir f l'égalité ?

Non, le raisonnement par récurrence est très puissant. Il sert à démontrer des égalités, des inégalités, ou même des propriétés de divisibilité.

💡 À retenir : Dès que tu vois "pour tout $n$ ", pense à la récurrence.

Non, le raisonnement par récurrence est très puissant. Il sert à démontrer des égalités, des inégalités, ou même des propriétés de divisibilité.

💡 À retenir : Dès que tu vois "pour tout $n$", pense à la récurrence.

kifach n7seb l'raison d'une suite arithmétique ila 3tani ghir u1 et u2 ?

C'est très simple : pour une suite arithmétique, $r = u_{n+1} - u_n$ . Donc ici, $r = u_2 - u_1$ .

💡 À retenir : La raison est la différence entre deux termes consécutifs.

C'est très simple : pour une suite arithmétique, $r = u_{n+1} - u_n$. Donc ici, $r = u_2 - u_1$.

💡 À retenir : La raison est la différence entre deux termes consécutifs.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(v_n)$ une suite définie par $v_0 = 2$ et $v_{n+1} = 3v_n$ .

Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison.
Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ .

Exercice 1

Soit $(v_n)$ une suite définie par $v_0 = 2$ et $v_{n+1} = 3v_n$.

Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison.
Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Calculer $u_1$ et $u_2$ .
Montrer par récurrence que $u_n = 2n + 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Exercice 2

Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
Montrer par récurrence que $u_n = 2n + 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $(w_n)$ définie par $w_0 = 0$ et $w_{n+1} = w_n + n + 1$ . Montrer par récurrence que $w_n = \frac{n(n+1)}{2}$ .

Exercice 3

Soit $(w_n)$ définie par $w_0 = 0$ et $w_{n+1} = w_n + n + 1$. Montrer par récurrence que $w_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

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