Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences de la Charia

التعداد مادة الرياضيات للسنة الثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le dénombrement permet de compter le nombre de possibilités dans une situation donnée.

Principe multiplicatif : Si une opération se décompose en deux étapes ( $n$ choix pour la première, $m$ pour la seconde), le nombre total est $n \times m$ .
Arrangements : Nombre de façons de choisir et d'ordonner $p$ éléments parmi $n$ : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ .
Permutations : Nombre de façons d'ordonner $n$ éléments : $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$ .
Combinaisons : Nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ (sans ordre) : $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte (ex: podium), utiliser les arrangements. Si l'ordre ne compte pas (ex: équipe), utiliser les combinaisons.
Avec ou sans remise : Si on remet l'objet, on utilise les puissances ( $n^p$ ). Si on ne remet pas, on utilise les arrangements ou combinaisons.
La règle du "ET" et du "OU" : "ET" signifie multiplier, "OU" signifie additionner.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 2 jetons parmi 5 sans remise (ordre important) : $A_5^2 = 5 \times 4 = 20$ .
Exemple 2 : Choisir un comité de 3 personnes parmi 10 : $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Rappelez-vous que $C_n^p$ est toujours plus petit car on divise par $p!$ pour éliminer l'ordre.
Oublier que $0! = 1$ .
Utiliser la mauvaise formule quand il y a des répétitions (à vérifier par le professeur).

L'essentiel du cours

Le dénombrement permet de compter le nombre de possibilités dans une situation donnée.

Principe multiplicatif : Si une opération se décompose en deux étapes ( $n$ choix pour la première, $m$ pour la seconde), le nombre total est $n \times m$.
Arrangements : Nombre de façons de choisir et d'ordonner $p$ éléments parmi $n$ : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.
Permutations : Nombre de façons d'ordonner $n$ éléments : $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$.
Combinaisons : Nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ (sans ordre) : $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte (ex: podium), utiliser les arrangements. Si l'ordre ne compte pas (ex: équipe), utiliser les combinaisons.
Avec ou sans remise : Si on remet l'objet, on utilise les puissances ($n^p$). Si on ne remet pas, on utilise les arrangements ou combinaisons.
La règle du "ET" et du "OU" : "ET" signifie multiplier, "OU" signifie additionner.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 2 jetons parmi 5 sans remise (ordre important) : $A_5^2 = 5 \times 4 = 20$.
Exemple 2 : Choisir un comité de 3 personnes parmi 10 : $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Rappelez-vous que $C_n^p$ est toujours plus petit car on divise par $p!$ pour éliminer l'ordre.
Oublier que $0! = 1$.
Utiliser la mauvaise formule quand il y a des répétitions (à vérifier par le professeur).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 التعداد مادة الرياضيات للسنة الثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية

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Combien vaut $C_4^2$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que n doit être toujours supérieur à p ?

Oui, dans $A_n^p$ et $C_n^p$ , on ne peut pas choisir plus d'objets qu'il n'y en a dans l'urne. Donc $n \geq p$ .

💡 À retenir : Si $p > n$ , le résultat est 0.

Oui, dans $A_n^p$ et $C_n^p$, on ne peut pas choisir plus d'objets qu'il n'y en a dans l'urne. Donc $n \geq p$.

💡 À retenir : Si $p > n$, le résultat est 0.

Wach kayn chi far9 bin "tirage successif avec remise" et "tirage simultané" ?

Oui. Tirage simultané = $C_n^p$ (pas d'ordre). Tirage successif avec remise = $n^p$ (ordre et répétition possibles).

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Oui. Tirage simultané = $C_n^p$ (pas d'ordre). Tirage successif avec remise = $n^p$ (ordre et répétition possibles).

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

C'est quoi la différence entre An^p et Cn^p ?

$A_n^p$ (Arrangement) est utilisé quand l'ordre des éléments choisis est important (ex: un classement).
$C_n^p$ (Combinaison) est utilisé quand l'ordre n'a aucune importance (ex: un groupe d'amis).

💡 À retenir : Si tu peux échanger deux éléments sans changer le résultat, utilise $C_n^p$ .

$A_n^p$ (Arrangement) est utilisé quand l'ordre des éléments choisis est important (ex: un classement).
$C_n^p$ (Combinaison) est utilisé quand l'ordre n'a aucune importance (ex: un groupe d'amis).

💡 À retenir : Si tu peux échanger deux éléments sans changer le résultat, utilise $C_n^p$.

Kifach n3ref wach nst3mel An^p wla Cn^p f l'examen ?

Pose-toi la question : "Est-ce que si j'inverse deux éléments, la situation change ?"
Si oui (ex: président et secrétaire), c'est $A_n^p$ .
Si non (ex: deux membres d'une commission), c'est $C_n^p$ .

💡 À retenir : Ordre important = Arrangement ; Ordre ignoré = Combinaison.

Pose-toi la question : "Est-ce que si j'inverse deux éléments, la situation change ?"
Si oui (ex: président et secrétaire), c'est $A_n^p$.
Si non (ex: deux membres d'une commission), c'est $C_n^p$.

💡 À retenir : Ordre important = Arrangement ; Ordre ignoré = Combinaison.

Est-ce que n! est toujours un nombre entier ?

Oui, $n!$ (factorielle $n$ ) est le produit de tous les entiers de 1 jusqu'à $n$ . Par définition, $0! = 1$ et $1! = 1$ .

💡 À retenir : $n!$ grandit très vite avec $n$ .

Oui, $n!$ (factorielle $n$) est le produit de tous les entiers de 1 jusqu'à $n$. Par définition, $0! = 1$ et $1! = 1$.

💡 À retenir : $n!$ grandit très vite avec $n$.

Wach momkin nst3mel l'arbre de choix f ga3 l'exercices ?

L'arbre est utile pour les petits nombres, mais il devient impossible à dessiner si le nombre de choix est grand. Il sert surtout à visualiser le principe multiplicatif.

💡 À retenir : Utilise les formules pour les grands nombres, l'arbre pour comprendre.

Comment calculer Cn^p sans calculatrice ?

Utilise la formule : $C_n^p = \frac{n \times (n-1) \times \dots \times (n-p+1)}{p \times (p-1) \times \dots \times 1}$ .
Simplifie toujours les fractions avant de multiplier.

💡 À retenir : $C_n^p = C_n^{n-p}$ aide souvent à simplifier les calculs.

Utilise la formule : $C_n^p = \frac{n \times (n-1) \times \dots \times (n-p+1)}{p \times (p-1) \times \dots \times 1}$.
Simplifie toujours les fractions avant de multiplier.

💡 À retenir : $C_n^p = C_n^{n-p}$ aide souvent à simplifier les calculs.

Chno hiya l'utilité dyal Cn^n ?

$C_n^n$ représente le nombre de façons de choisir tous les éléments parmi $n$ . Il n'y a qu'une seule façon de tout prendre, donc $C_n^n = 1$ .

💡 À retenir : $C_n^n = 1$ et $C_n^1 = n$ .

$C_n^n$ représente le nombre de façons de choisir tous les éléments parmi $n$. Il n'y a qu'une seule façon de tout prendre, donc $C_n^n = 1$.

💡 À retenir : $C_n^n = 1$ et $C_n^1 = n$.

Si on tire des boules avec remise, est-ce qu'on utilise toujours Cn^p ?

Non, si on remet la boule, chaque tirage est indépendant. On utilise alors $n^p$ (nombre de choix à la puissance nombre de tirages).

💡 À retenir : Avec remise = puissance ; Sans remise = $A$ ou $C$ .

Non, si on remet la boule, chaque tirage est indépendant. On utilise alors $n^p$ (nombre de choix à la puissance nombre de tirages).

💡 À retenir : Avec remise = puissance ; Sans remise = $A$ ou $C$.

Est-ce que An^p peut être égal à Cn^p ?

Oui, si $p=1$ (on choisit un seul élément) ou si $p=0$ . Dans ces cas, $A_n^1 = C_n^1 = n$ .

💡 À retenir : Pour $p > 1$ , $A_n^p$ est toujours strictement supérieur à $C_n^p$ .

Oui, si $p=1$ (on choisit un seul élément) ou si $p=0$. Dans ces cas, $A_n^1 = C_n^1 = n$.

💡 À retenir : Pour $p > 1$, $A_n^p$ est toujours strictement supérieur à $C_n^p$.

Pourquoi on divise par p! dans la formule de Cn^p ?

On divise par $p!$ pour "annuler" l'ordre. Comme $A_n^p$ compte toutes les permutations des mêmes éléments, on divise pour ne compter chaque groupe qu'une seule fois.

💡 À retenir : La division par $p!$ est la clé du passage de l'ordre au non-ordre.

On divise par $p!$ pour "annuler" l'ordre. Comme $A_n^p$ compte toutes les permutations des mêmes éléments, on divise pour ne compter chaque groupe qu'une seule fois.

💡 À retenir : La division par $p!$ est la clé du passage de l'ordre au non-ordre.

Est-ce que le dénombrement est lié aux probabilités ?

Oui, le dénombrement est l'outil principal pour calculer les probabilités dans le cas d'équiprobabilité : $P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$ .

💡 À retenir : Le dénombrement est le "dénominateur" et le "numérateur" de ta probabilité.

Oui, le dénombrement est l'outil principal pour calculer les probabilités dans le cas d'équiprobabilité : $P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$.

💡 À retenir : Le dénombrement est le "dénominateur" et le "numérateur" de ta probabilité.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 6 boules : 4 rouges et 2 vertes. On tire simultanément 2 boules. Quel est le nombre de tirages possibles ?

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Exercice 2

Un club compte 10 membres. On veut élire un président et un secrétaire. Combien de choix y a-t-il ?

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Exercice 3

Dans une classe de 12 élèves, on veut former un comité de 3 élèves. Parmi ces 12, il y a 5 filles et 7 garçons. Combien de comités contiennent exactement 2 filles et 1 garçon ?

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