Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Les limites d’une fonction

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Limite finie en un point : $\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $l$ quand $x$ se rapproche de $x_0$ .
Opérations : Les règles usuelles sur la somme, le produit et le quotient (si le dénominateur $\neq 0$ ).
Formes indéterminées (FI) : $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \times \infty$ , $+\infty - \infty$ .
Limites des fonctions polynômes et rationnelles : En $\pm \infty$ , on prend le terme de plus haut degré.
Asymptotes : Si $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$ , alors $x=x_0$ est une asymptote verticale. Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = l$ , alors $y=l$ est une asymptote horizontale.

Méthodes à maîtriser

Factorisation : Pour lever une FI de type $\frac{\infty}{\infty}$ dans une fraction rationnelle.
Quantité conjuguée : Pour lever une FI avec des racines carrées (ex: $\sqrt{A} - \sqrt{B}$ ).
Utilisation de la définition : Pour les limites à gauche et à droite en cas de valeur absolue ou de fonction définie par morceaux.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$ .
Exemple 2 : $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+1}{x^2-5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser la condition du dénominateur non nul avant de simplifier.
Confondre la limite en $\infty$ et la limite en un point $x_0$ .
Mal gérer les signes lors de la factorisation par $x^2$ sous une racine carrée ( $\sqrt{x^2} = |x|$ ).

L'essentiel du cours

Limite finie en un point : $\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $l$ quand $x$ se rapproche de $x_0$.
Opérations : Les règles usuelles sur la somme, le produit et le quotient (si le dénominateur $\neq 0$).
Formes indéterminées (FI) : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $+\infty - \infty$.
Limites des fonctions polynômes et rationnelles : En $\pm \infty$, on prend le terme de plus haut degré.
Asymptotes : Si $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$, alors $x=x_0$ est une asymptote verticale. Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = l$, alors $y=l$ est une asymptote horizontale.

Méthodes à maîtriser

Factorisation : Pour lever une FI de type $\frac{\infty}{\infty}$ dans une fraction rationnelle.
Quantité conjuguée : Pour lever une FI avec des racines carrées (ex: $\sqrt{A} - \sqrt{B}$).
Utilisation de la définition : Pour les limites à gauche et à droite en cas de valeur absolue ou de fonction définie par morceaux.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$.
Exemple 2 : $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+1}{x^2-5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser la condition du dénominateur non nul avant de simplifier.
Confondre la limite en $\infty$ et la limite en un point $x_0$.
Mal gérer les signes lors de la factorisation par $x^2$ sous une racine carrée ($\sqrt{x^2} = |x|$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Les limites d’une fonction

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$\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 3x + 1)$ est égale à :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach 3ndi chkel ghayr mohaddad?

Tu remplaces $x$ par la valeur donnée.
Si tu tombes sur $0/0$ , $\infty/\infty$ , $0 \times \infty$ ou $+\infty - \infty$ , c'est une forme indéterminée.
Si tu trouves un nombre réel, c'est fini.

💡 À retenir : Une forme indéterminée n'est pas un résultat, c'est un signal pour changer de méthode de calcul.

Tu remplaces $x$ par la valeur donnée.
Si tu tombes sur $0/0$, $\infty/\infty$, $0 \times \infty$ ou $+\infty - \infty$, c'est une forme indéterminée.
Si tu trouves un nombre réel, c'est fini.

💡 À retenir : Une forme indéterminée n'est pas un résultat, c'est un signal pour changer de méthode de calcul.

Chno hiya l-far9 bin l-limite 3la limin w l-limite 3la lissar?

La limite à droite ( $x \to x_0^+$ ) signifie que $x$ est légèrement supérieur à $x_0$ .
La limite à gauche ( $x \to x_0^-$ ) signifie que $x$ est légèrement inférieur à $x_0$ .
Si les deux sont égales, la limite existe. Sinon, elle n'existe pas.

💡 À retenir : On utilise les limites latérales surtout pour les fonctions avec valeur absolue ou racines.

La limite à droite ($x \to x_0^+$) signifie que $x$ est légèrement supérieur à $x_0$.
La limite à gauche ($x \to x_0^-$) signifie que $x$ est légèrement inférieur à $x_0$.
Si les deux sont égales, la limite existe. Sinon, elle n'existe pas.

💡 À retenir : On utilise les limites latérales surtout pour les fonctions avec valeur absolue ou racines.

Comment lever l'indétermination frac{infty}{infty} pour un polynôme ?

Tu factorises le numérateur par son terme de plus haut degré.
Tu fais de même pour le dénominateur.
Tu simplifies par la puissance de $x$ commune.

💡 À retenir : En $+\infty$ ou $-\infty$ , seul le terme de plus haut degré compte.

Tu factorises le numérateur par son terme de plus haut degré.
Tu fais de même pour le dénominateur.
Tu simplifies par la puissance de $x$ commune.

💡 À retenir : En $+\infty$ ou $-\infty$, seul le terme de plus haut degré compte.

Kifach nkhdem b l-morafe9 (quantité conjuguée) ?

Si tu as $\sqrt{A} - B$ , tu multiplies et divises par $\sqrt{A} + B$ .
Tu utilises l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ .
Cela permet de faire disparaître la racine au numérateur.

💡 À retenir : Le but est de transformer une soustraction en une fraction pour simplifier.

Si tu as $\sqrt{A} - B$, tu multiplies et divises par $\sqrt{A} + B$.
Tu utilises l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Cela permet de faire disparaître la racine au numérateur.

💡 À retenir : Le but est de transformer une soustraction en une fraction pour simplifier.

Est-ce que lim{x to +infty} frac{1}{x} = 0 ?

Oui, c'est une règle de base. Plus $x$ devient grand, plus $1/x$ devient proche de zéro.

💡 À retenir : $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{k}{x^n} = 0$ pour tout $n > 0$ .

Oui, c'est une règle de base. Plus $x$ devient grand, plus $1/x$ devient proche de zéro.

💡 À retenir : $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{k}{x^n} = 0$ pour tout $n > 0$.

Comment trouver une asymptote verticale ?

Cherche les points où la fonction n'est pas définie (ex: dénominateur nul).
Calcule la limite quand $x$ tend vers cette valeur.
Si tu trouves $+\infty$ ou $-\infty$ , alors la droite d'équation $x = x_0$ est une asymptote verticale.

💡 À retenir : Asymptote verticale = limite infinie en un point fini.

Cherche les points où la fonction n'est pas définie (ex: dénominateur nul).
Calcule la limite quand $x$ tend vers cette valeur.
Si tu trouves $+\infty$ ou $-\infty$, alors la droite d'équation $x = x_0$ est une asymptote verticale.

💡 À retenir : Asymptote verticale = limite infinie en un point fini.

Qu'est-ce qu'une branche parabolique ?

C'est quand la courbe "s'aplatit" vers une direction (axe des abscisses ou des ordonnées) quand $x$ tend vers l'infini, sans pour autant se rapprocher d'une droite.

💡 À retenir : Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ , la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.

C'est quand la courbe "s'aplatit" vers une direction (axe des abscisses ou des ordonnées) quand $x$ tend vers l'infini, sans pour autant se rapprocher d'une droite.

💡 À retenir : Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.

Est-ce que je peux utiliser la règle de L'Hôpital ?

Non, cette règle n'est pas au programme de 1ère Bac au Maroc. Il faut utiliser les factorisations ou les taux d'accroissement.

💡 À retenir : Reste fidèle aux méthodes enseignées en classe.

Comment calculer la limite d'une fonction avec valeur absolue ?

Écris la valeur absolue sans le symbole $| \cdot |$ en étudiant le signe de ce qu'il y a dedans.
Si $x > x_0$ , $|x-x_0| = x-x_0$ .
Si $x < x_0$ , $|x-x_0| = -(x-x_0)$ .

💡 À retenir : La valeur absolue change de signe selon l'intervalle.

Écris la valeur absolue sans le symbole $| \cdot |$ en étudiant le signe de ce qu'il y a dedans.
Si $x > x_0$, $|x-x_0| = x-x_0$.
Si $x < x_0$, $|x-x_0| = -(x-x_0)$.

💡 À retenir : La valeur absolue change de signe selon l'intervalle.

Est-ce que lim{x to 0} frac{sin x}{x} = 1 est au programme ?

(à vérifier par le professeur) : Non, cette limite est au programme de 2ème Bac. En 1ère Bac, on se limite aux fonctions rationnelles et racines.

💡 À retenir : Ne pas utiliser de formules hors programme.

Pourquoi on dit que infty - infty est indéterminé ?

Parce que selon la vitesse de croissance des fonctions, le résultat peut être n'importe quoi (un nombre, $+\infty$ ou $-\infty$ ).

💡 À retenir : Il faut transformer l'expression pour lever le doute.

Parce que selon la vitesse de croissance des fonctions, le résultat peut être n'importe quoi (un nombre, $+\infty$ ou $-\infty$).

💡 À retenir : Il faut transformer l'expression pour lever le doute.

Comment savoir si une limite est +infty ou -infty ?

Regarde le signe du numérateur et du dénominateur au voisinage du point.
Utilise la règle des signes ( $+ / + = +$ , $+ / - = -$ , etc.).

💡 À retenir : Le signe est crucial pour l'interprétation graphique.

Regarde le signe du numérateur et du dénominateur au voisinage du point.
Utilise la règle des signes ($+ / + = +$, $+ / - = -$, etc.).

💡 À retenir : Le signe est crucial pour l'interprétation graphique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 2x - 3}$ .

Exercice 1

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 2x - 3}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x)$ .

Exercice 2

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x)$.

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Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{2x-1}{x-1}$ . Étudier la limite de $f$ en $1^+$ et $1^-$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{2x-1}{x-1}$. Étudier la limite de $f$ en $1^+$ et $1^-$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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