Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

La rotation dans le plan

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle $\alpha$ est une transformation du plan qui, à tout point $M$ , associe le point $M'$ tel que :

$\Omega M = \Omega M'$
$(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \alpha \pmod{2\pi}$

Propriétés :

La rotation est une isométrie (elle conserve les distances).
Elle conserve les angles orientés et le parallélisme.
Si $\alpha = 0 \pmod{2\pi}$ , c'est l'identité.
Si $\alpha = \pi \pmod{2\pi}$ , c'est la symétrie centrale de centre $\Omega$ .

Méthodes à maîtriser

Construire l'image d'un point : Utiliser le compas pour la distance et le rapporteur pour l'angle orienté.
Démontrer qu'un triangle est isocèle : Si $r(A) = B$ , alors $\Omega A = \Omega B$ , donc le triangle $\Omega AB$ est isocèle en $\Omega$ .
Composée de deux rotations : Si les angles $\alpha + \beta \neq 0 \pmod{2\pi}$ , la composée est une rotation.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ . Trouver $M'$ image de $M(1,0)$ . Solution : $OM = 1$ , donc $OM' = 1$ . L'angle est $\frac{\pi}{2}$ , donc $M'$ est sur l'axe des ordonnées. $M'(0,1)$ .

Exemple 2 : Montrer que la rotation conserve le milieu. Solution : Soit $I$ le milieu de $[AB]$ . Comme la rotation est une isométrie, les distances sont conservées, donc $r(I)$ est à égale distance de $r(A)$ et $r(B)$ et appartient au segment $[r(A)r(B)]$ .

Erreurs fréquentes

Confondre le sens positif (anti-horaire) et le sens négatif (horaire).
Oublier le modulo $2\pi$ dans l'écriture de l'angle.
Penser que la rotation transforme une droite en une droite parallèle (elle ne le fait que si l'angle est un multiple de $\pi$ ).

L'essentiel du cours

La rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle $\alpha$ est une transformation du plan qui, à tout point $M$, associe le point $M'$ tel que :

$\Omega M = \Omega M'$
$(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \alpha \pmod{2\pi}$

Propriétés :

La rotation est une isométrie (elle conserve les distances).
Elle conserve les angles orientés et le parallélisme.
Si $\alpha = 0 \pmod{2\pi}$, c'est l'identité.
Si $\alpha = \pi \pmod{2\pi}$, c'est la symétrie centrale de centre $\Omega$.

Méthodes à maîtriser

Construire l'image d'un point : Utiliser le compas pour la distance et le rapporteur pour l'angle orienté.
Démontrer qu'un triangle est isocèle : Si $r(A) = B$, alors $\Omega A = \Omega B$, donc le triangle $\Omega AB$ est isocèle en $\Omega$.
Composée de deux rotations : Si les angles $\alpha + \beta \neq 0 \pmod{2\pi}$, la composée est une rotation.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$. Trouver $M'$ image de $M(1,0)$. Solution : $OM = 1$, donc $OM' = 1$. L'angle est $\frac{\pi}{2}$, donc $M'$ est sur l'axe des ordonnées. $M'(0,1)$.

Exemple 2 : Montrer que la rotation conserve le milieu. Solution : Soit $I$ le milieu de $[AB]$. Comme la rotation est une isométrie, les distances sont conservées, donc $r(I)$ est à égale distance de $r(A)$ et $r(B)$ et appartient au segment $[r(A)r(B)]$.

Erreurs fréquentes

Confondre le sens positif (anti-horaire) et le sens négatif (horaire).
Oublier le modulo $2\pi$ dans l'écriture de l'angle.
Penser que la rotation transforme une droite en une droite parallèle (elle ne le fait que si l'angle est un multiple de $\pi$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 La rotation dans le plan

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Quelle est l'image d'un point $M$ par une rotation d'angle $2\pi$ ?

❓ Questions fréquentes

chhal hiya zawiya dyal tmathoul markazi ?

Le symétrie centrale est un cas particulier de la rotation où l'angle est $\pi$ (ou $-\pi$ ).

💡 À retenir : Symétrie centrale = Rotation d'angle $\pi$ .

Le symétrie centrale est un cas particulier de la rotation où l'angle est $\pi$ (ou $-\pi$).

💡 À retenir : Symétrie centrale = Rotation d'angle $\pi$.

Comment savoir si l'angle est positif ou négatif ?

Dans le plan orienté, le sens positif est le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens trigonométrique). Si l'angle est donné avec un signe "-", on tourne dans le sens des aiguilles d'une montre.

💡 À retenir : Sens inverse des aiguilles = positif (+). Sens des aiguilles = négatif (-).

kifach n7seb soura dyal chi nuqta ila 3tani lmarkaz w zawiya ?

Rssmi lmarkaz $\Omega$ w nuqta $M$ .
Rssmi lqit3a $\Omega M$ .
B lmanqal (rapporteur), 3abri zawiya $\alpha$ mn jihat $\Omega M$ .
B lperkar (compas), 3abri lmasafa $\Omega M$ w ddiri lqaws bach tqti3i lkhat li rssmti.

💡 À retenir : Dima sta3mli lperkar bach t7afdi 3la lmasafa.

Rssmi lmarkaz $\Omega$ w nuqta $M$.
Rssmi lqit3a $\Omega M$.
B lmanqal (rapporteur), 3abri zawiya $\alpha$ mn jihat $\Omega M$.
B lperkar (compas), 3abri lmasafa $\Omega M$ w ddiri lqaws bach tqti3i lkhat li rssmti.

💡 À retenir : Dima sta3mli lperkar bach t7afdi 3la lmasafa.

Est-ce que la rotation change la forme des figures ?

Non, la rotation est une isométrie. Elle conserve les distances, les angles, les aires et le périmètre. La figure image est superposable à la figure initiale.

💡 À retenir : La rotation est un déplacement rigide.

wach l'image dyal mostaqim hiya mostaqim ?

Oui, l'image d'une droite par une rotation est toujours une droite. Si l'angle est un multiple de $\pi$ , la droite image est parallèle à la droite initiale. Sinon, elle est sécante.

💡 À retenir : La rotation conserve l'alignement des points.

Oui, l'image d'une droite par une rotation est toujours une droite. Si l'angle est un multiple de $\pi$, la droite image est parallèle à la droite initiale. Sinon, elle est sécante.

💡 À retenir : La rotation conserve l'alignement des points.

kifach n3ref wach l'image dyal triangle hiya triangle ?

Oui, car la rotation conserve les distances et les angles. Si tu as un triangle $ABC$ , son image $A'B'C'$ sera un triangle isométrique au premier.

💡 À retenir : La rotation conserve la nature des figures (triangle reste triangle, cercle reste cercle).

Oui, car la rotation conserve les distances et les angles. Si tu as un triangle $ABC$, son image $A'B'C'$ sera un triangle isométrique au premier.

💡 À retenir : La rotation conserve la nature des figures (triangle reste triangle, cercle reste cercle).

Est-ce que le centre de la rotation change après la transformation ?

Non, le centre de la rotation est le seul point invariant par la transformation. C'est-à-dire $r(\Omega) = \Omega$ .

💡 À retenir : Le centre est le point fixe de la rotation.

Non, le centre de la rotation est le seul point invariant par la transformation. C'est-à-dire $r(\Omega) = \Omega$.

💡 À retenir : Le centre est le point fixe de la rotation.

Est-ce que l'ordre des points est conservé ?

Oui, la rotation conserve l'ordre des points sur une droite. Si $B$ est entre $A$ et $C$ , alors $r(B)$ sera entre $r(A)$ et $r(C)$ .

💡 À retenir : La rotation est une transformation affine qui conserve le barycentre.

Oui, la rotation conserve l'ordre des points sur une droite. Si $B$ est entre $A$ et $C$, alors $r(B)$ sera entre $r(A)$ et $r(C)$.

💡 À retenir : La rotation est une transformation affine qui conserve le barycentre.

Est-ce qu'on peut composer deux rotations ?

Oui, la composée de deux rotations est soit une rotation, soit une translation. C'est au programme.

💡 À retenir : La composée de deux rotations de même centre est une rotation.

wach l'image dyal cercle hiya cercle ?

Oui, l'image d'un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ est un cercle de centre $O'$ (image de $O$ ) et de même rayon $R$ .

💡 À retenir : Le rayon ne change jamais.

Oui, l'image d'un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ est un cercle de centre $O'$ (image de $O$) et de même rayon $R$.

💡 À retenir : Le rayon ne change jamais.

Est-ce que la rotation conserve les aires ?

Oui, comme c'est une isométrie, elle conserve toutes les mesures, y compris l'aire des surfaces.

💡 À retenir : Aire(Figure) = Aire(Image).

kifach n3ref l'angle dyal dawaran ila 3tani jouj nuqat ?

Il faut mesurer l'angle orienté $(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'})$ en utilisant les propriétés des angles dans le cercle ou la trigonométrie.

💡 À retenir : L'angle est $(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'})$ .

Il faut mesurer l'angle orienté $(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'})$ en utilisant les propriétés des angles dans le cercle ou la trigonométrie.

💡 À retenir : L'angle est $(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'})$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle équilatéral direct. Soit $r$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ .

Construire $r(B)$ et $r(C)$ .
Montrer que $r(B) = C$ .
Déterminer la nature du triangle $ACr(C)$ .

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle équilatéral direct. Soit $r$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$.

Construire $r(B)$ et $r(C)$.
Montrer que $r(B) = C$.
Déterminer la nature du triangle $ACr(C)$.

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