Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Calcul trigonométrique

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Cercle trigonométrique : Cercle de centre O et de rayon 1. Tout réel $x$ est associé à un point $M$ du cercle.
Relations fondamentales : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ ; $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ ; $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ .
Angles associés : $\cos(-x) = \cos(x)$ , $\sin(-x) = -\sin(x)$ , $\cos(\pi-x) = -\cos(x)$ , $\sin(\pi-x) = \sin(x)$ .
Valeurs remarquables : $\cos(0)=1, \sin(0)=0$ ; $\cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2, \sin(\pi/6)=1/2$ ; $\cos(\pi/4)=\sqrt{2}/2, \sin(\pi/4)=\sqrt{2}/2$ ; $\cos(\pi/3)=1/2, \sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2$ .
Formules de duplication : $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)$ ; $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer la mesure principale : Trouver l'unique réel $\alpha \in ]-\pi, \pi]$ tel que $x = \alpha + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .
Passage de cos à sin : Utiliser $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$ en faisant attention au signe selon l'intervalle donné.
Simplification d'expressions : Utiliser les angles associés pour réduire les termes.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Simplifier $A = \cos(\pi-x) + \sin(\pi/2+x)$ . $A = -\cos(x) + \cos(x) = 0$ .
Exemple 2 : Résoudre $\cos(x) = 1/2$ dans $[0, 2\pi]$ . Les solutions sont $x = \pi/3$ et $x = -\pi/3 + 2\pi = 5\pi/3$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le $+ 2k\pi$ dans les équations trigonométriques.
Confondre $\cos(\pi-x)$ avec $\cos(x-\pi)$ .
Se tromper de signe en passant de $\cos^2(x)$ à $\cos(x)$ (oublier le $\pm$ ).

L'essentiel du cours

Cercle trigonométrique : Cercle de centre O et de rayon 1. Tout réel $x$ est associé à un point $M$ du cercle.
Relations fondamentales : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ ; $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ ; $-1 \leq \sin(x) \leq 1$.
Angles associés : $\cos(-x) = \cos(x)$, $\sin(-x) = -\sin(x)$, $\cos(\pi-x) = -\cos(x)$, $\sin(\pi-x) = \sin(x)$.
Valeurs remarquables : $\cos(0)=1, \sin(0)=0$ ; $\cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2, \sin(\pi/6)=1/2$ ; $\cos(\pi/4)=\sqrt{2}/2, \sin(\pi/4)=\sqrt{2}/2$ ; $\cos(\pi/3)=1/2, \sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2$.
Formules de duplication : $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)$ ; $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer la mesure principale : Trouver l'unique réel $\alpha \in ]-\pi, \pi]$ tel que $x = \alpha + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
Passage de cos à sin : Utiliser $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$ en faisant attention au signe selon l'intervalle donné.
Simplification d'expressions : Utiliser les angles associés pour réduire les termes.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Simplifier $A = \cos(\pi-x) + \sin(\pi/2+x)$. $A = -\cos(x) + \cos(x) = 0$.
Exemple 2 : Résoudre $\cos(x) = 1/2$ dans $[0, 2\pi]$. Les solutions sont $x = \pi/3$ et $x = -\pi/3 + 2\pi = 5\pi/3$.

Erreurs fréquentes

Oublier le $+ 2k\pi$ dans les équations trigonométriques.
Confondre $\cos(\pi-x)$ avec $\cos(x-\pi)$.
Se tromper de signe en passant de $\cos^2(x)$ à $\cos(x)$ (oublier le $\pm$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul trigonométrique

1/4

Quelle est la valeur de $\cos(\pi/3)$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment trouver la mesure principale d'un angle ?

Tu divises ton angle $x$ par $2\pi$ .
Tu écris $x = 2k\pi + \alpha$ où $\alpha$ est le reste.
Tu ajustes $k$ pour que $\alpha$ soit dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$ .

💡 À retenir : La mesure principale est unique et appartient toujours à $]-\pi, \pi]$ .

Tu divises ton angle $x$ par $2\pi$.
Tu écris $x = 2k\pi + \alpha$ où $\alpha$ est le reste.
Tu ajustes $k$ pour que $\alpha$ soit dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$.

💡 À retenir : La mesure principale est unique et appartient toujours à $]-\pi, \pi]$.

Kifach n7seb cos(x) ila 3tani sin(x) ?

Tu utilises la relation $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ .
Tu trouves $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$ .
Tu calcules $\cos(x) = \sqrt{1-\sin^2(x)}$ ou $-\sqrt{1-\sin^2(x)}$ selon l'intervalle où se trouve $x$ .

💡 À retenir : Le signe de cos(x) dépend du quadrant de l'angle.

Tu utilises la relation $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.
Tu trouves $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$.
Tu calcules $\cos(x) = \sqrt{1-\sin^2(x)}$ ou $-\sqrt{1-\sin^2(x)}$ selon l'intervalle où se trouve $x$.

💡 À retenir : Le signe de cos(x) dépend du quadrant de l'angle.

Est-ce que cos(2x) est égal à 2cos(x) ?

Non, c'est une erreur grave. La formule est $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ .

💡 À retenir : Ne jamais sortir le 2 de la fonction cosinus.

Non, c'est une erreur grave. La formule est $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$.

💡 À retenir : Ne jamais sortir le 2 de la fonction cosinus.

Chno hiya l'farq bin radian o degree ?

Le degré est une unité basée sur 360 pour un tour, alors que le radian est basé sur le périmètre du cercle ( $2\pi$ pour un tour).

💡 À retenir : $180^\circ = \pi$ rad.

Le degré est une unité basée sur 360 pour un tour, alors que le radian est basé sur le périmètre du cercle ($2\pi$ pour un tour).

💡 À retenir : $180^\circ = \pi$ rad.

Comment simplifier tan(pi+x) ?

$\tan(x) = \sin(x)/\cos(x)$ .
$\sin(\pi+x) = -\sin(x)$ et $\cos(\pi+x) = -\cos(x)$ .
Donc $\tan(\pi+x) = (-\sin(x)) / (-\cos(x)) = \tan(x)$ .

💡 À retenir : La fonction tangente est périodique de période $\pi$ .

$\tan(x) = \sin(x)/\cos(x)$.
$\sin(\pi+x) = -\sin(x)$ et $\cos(\pi+x) = -\cos(x)$.
Donc $\tan(\pi+x) = (-\sin(x)) / (-\cos(x)) = \tan(x)$.

💡 À retenir : La fonction tangente est périodique de période $\pi$.

Kifach n3ref wach l'fonction zwjiya wla ferdiya ?

Tu vérifies si le domaine de définition est symétrique par rapport à 0.
Tu calcules $f(-x)$ .
Si $f(-x) = f(x)$ , elle est paire (zwjiya). Si $f(-x) = -f(x)$ , elle est impaire (ferdiya).

💡 À retenir : cos est paire, sin et tan sont impaires.

Tu vérifies si le domaine de définition est symétrique par rapport à 0.
Tu calcules $f(-x)$.
Si $f(-x) = f(x)$, elle est paire (zwjiya). Si $f(-x) = -f(x)$, elle est impaire (ferdiya).

💡 À retenir : cos est paire, sin et tan sont impaires.

Pourquoi on ajoute 2kpi dans les solutions ?

Parce que la fonction cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$ . Cela signifie que si tu ajoutes un tour complet, tu retombes sur le même point.

💡 À retenir : $k$ est un entier relatif ( $k \in \mathbb{Z}$ ).

Parce que la fonction cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$. Cela signifie que si tu ajoutes un tour complet, tu retombes sur le même point.

💡 À retenir : $k$ est un entier relatif ($k \in \mathbb{Z}$).

Est-ce que sin^2(x) + cos^2(x) = 1 marche pour tous les angles ?

Oui, c'est la relation fondamentale de la trigonométrie, elle est vraie pour tout réel $x$ .

💡 À retenir : Elle découle directement du théorème de Pythagore dans le cercle trigonométrique.

Oui, c'est la relation fondamentale de la trigonométrie, elle est vraie pour tout réel $x$.

💡 À retenir : Elle découle directement du théorème de Pythagore dans le cercle trigonométrique.

Comment résoudre sin(x) = sin(a) ?

Les solutions sont $x = a + 2k\pi$ ou $x = \pi - a + 2k\pi$ .

💡 À retenir : Il y a toujours deux familles de solutions dans le cercle.

Les solutions sont $x = a + 2k\pi$ ou $x = \pi - a + 2k\pi$.

💡 À retenir : Il y a toujours deux familles de solutions dans le cercle.

C'est quoi l'abscisse curviligne principale ?

C'est la valeur unique de l'abscisse qui se trouve dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$ .

💡 À retenir : C'est la même chose que la mesure principale d'un angle.

C'est la valeur unique de l'abscisse qui se trouve dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$.

💡 À retenir : C'est la même chose que la mesure principale d'un angle.

Est-ce que cos(x) = 1.5 est possible ?

Non, car le cosinus est toujours compris entre -1 et 1.

💡 À retenir : Si tu trouves une valeur hors de cet intervalle, c'est qu'il y a une erreur de calcul.

Comment calculer cos(7pi/6) ?

$7\pi/6 = 6\pi/6 + \pi/6 = \pi + \pi/6$ .
On sait que $\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$ .
Donc $\cos(7\pi/6) = -\cos(\pi/6) = -\sqrt{3}/2$ .

💡 À retenir : Utilise toujours les angles associés pour revenir aux angles du premier quadrant.

$7\pi/6 = 6\pi/6 + \pi/6 = \pi + \pi/6$.
On sait que $\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$.
Donc $\cos(7\pi/6) = -\cos(\pi/6) = -\sqrt{3}/2$.

💡 À retenir : Utilise toujours les angles associés pour revenir aux angles du premier quadrant.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer la valeur exacte de $A = \cos(\frac{13\pi}{6}) + \sin(\frac{11\pi}{3})$ .

Exercice 1

Calculer la valeur exacte de $A = \cos(\frac{13\pi}{6}) + \sin(\frac{11\pi}{3})$.

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Exercice 2

Résoudre dans $[0, 2\pi]$ l'équation : $2\cos^2(x) - \cos(x) - 1 = 0$ .

Exercice 2

Résoudre dans $[0, 2\pi]$ l'équation : $2\cos^2(x) - \cos(x) - 1 = 0$.

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Exercice 3

Simplifier l'expression $B = \cos^2(x) + \cos^2(x+\frac{\pi}{2}) + \cos^2(x+\pi) + \cos^2(x+\frac{3\pi}{2})$ .

Exercice 3

Simplifier l'expression $B = \cos^2(x) + \cos^2(x+\frac{\pi}{2}) + \cos^2(x+\pi) + \cos^2(x+\frac{3\pi}{2})$.

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