Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Probabilités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans une expérience aléatoire, l'ensemble de tous les résultats possibles est appelé l'univers, noté $\Omega$ .

Probabilité d'un événement : Si l'expérience est à équiprobabilité (chaque résultat a la même chance), la probabilité d'un événement $A$ est : $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$
Propriétés fondamentales :

$0 \le P(A) \le 1$ (Une probabilité est toujours entre 0 et 1).
$P(\Omega) = 1$ (L'événement certain).
$P(\emptyset) = 0$ (L'événement impossible).

Événement contraire : L'événement contraire de $A$ , noté $\bar{A}$ , est l'événement qui se réalise quand $A$ ne se réalise pas. $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
Union et Intersection :

Pour deux événements $A$ et $B$ : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
Si $A$ et $B$ sont incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ), alors : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Méthodes à maîtriser

Utiliser le dénombrement : Pour calculer $P(A)$ , il faut souvent d'abord calculer $\text{card}(A)$ et $\text{card}(\Omega)$ en utilisant les outils de dénombrement (combinaisons $C_n^p$ , arrangements $A_n^p$ ou permutations $n!$ ).
Passer par l'événement contraire : Quand on demande la probabilité de "au moins un...", il est souvent plus simple de calculer $1 - P(\text{aucun})$ .
Identifier l'incompatibilité : Vérifier si deux événements peuvent se produire en même temps avant d'additionner leurs probabilités.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Le dé On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit $A$ l'événement "obtenir un nombre pair".

$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies \text{card}(\Omega) = 6$ .
$A = \{2, 4, 6\} \implies \text{card}(A) = 3$ .
$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$ .

Exemple 2 : Tirage de boules Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules noires. On tire simultanément 2 boules. Soit $R$ l'événement "tirer 2 boules rouges".

$\text{card}(\Omega) = C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ .
$\text{card}(R) = C_3^2 = 3$ .
$P(R) = \frac{3}{10} = 0,3$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la soustraction de l'intersection : Calculer $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ alors que $A \cap B \neq \emptyset$ .
Erreur de dénombrement : Confondre l'ordre (Arrangement) et l'absence d'ordre (Combinaison) lors du calcul du nombre de cas.
Résultat aberrant : Donner une probabilité supérieure à 1 ou négative.

L'essentiel du cours

Dans une expérience aléatoire, l'ensemble de tous les résultats possibles est appelé l'univers, noté $\Omega$.

Probabilité d'un événement : Si l'expérience est à équiprobabilité (chaque résultat a la même chance), la probabilité d'un événement $A$ est : $$P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$$
Propriétés fondamentales :

$0 \le P(A) \le 1$ (Une probabilité est toujours entre 0 et 1).
$P(\Omega) = 1$ (L'événement certain).
$P(\emptyset) = 0$ (L'événement impossible).

Événement contraire : L'événement contraire de $A$, noté $\bar{A}$, est l'événement qui se réalise quand $A$ ne se réalise pas. $$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$
Union et Intersection :

Pour deux événements $A$ et $B$ : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A \cap B = \emptyset$), alors : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Méthodes à maîtriser

Utiliser le dénombrement : Pour calculer $P(A)$, il faut souvent d'abord calculer $\text{card}(A)$ et $\text{card}(\Omega)$ en utilisant les outils de dénombrement (combinaisons $C_n^p$, arrangements $A_n^p$ ou permutations $n!$).
Passer par l'événement contraire : Quand on demande la probabilité de "au moins un...", il est souvent plus simple de calculer $1 - P(\text{aucun})$.
Identifier l'incompatibilité : Vérifier si deux événements peuvent se produire en même temps avant d'additionner leurs probabilités.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Le dé On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit $A$ l'événement "obtenir un nombre pair".

$\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \implies \text{card}(\Omega) = 6$.
$A = {2, 4, 6} \implies \text{card}(A) = 3$.
$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Exemple 2 : Tirage de boules Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules noires. On tire simultanément 2 boules. Soit $R$ l'événement "tirer 2 boules rouges".

$\text{card}(\Omega) = C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
$\text{card}(R) = C_3^2 = 3$.
$P(R) = \frac{3}{10} = 0,3$.

Erreurs fréquentes

Oublier la soustraction de l'intersection : Calculer $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ alors que $A \cap B \neq \emptyset$.
Erreur de dénombrement : Confondre l'ordre (Arrangement) et l'absence d'ordre (Combinaison) lors du calcul du nombre de cas.
Résultat aberrant : Donner une probabilité supérieure à 1 ou négative.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Probabilités

1/4

Si $P(A) = 0,4$ et $P(B) = 0,5$ avec $A$ et $B$ incompatibles, alors $P(A \cup B) = ?$

❓ Questions fréquentes

Chno hiya l'événement contraire dyal A?

L'événement contraire de $A$ (noté $\bar{A}$ ) est l'événement qui se réalise quand $A$ ne se réalise pas. Par exemple, si $A$ est "obtenir un 6 au dé", $\bar{A}$ est "ne pas obtenir un 6".

💡 À retenir : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .

L'événement contraire de $A$ (noté $\bar{A}$) est l'événement qui se réalise quand $A$ ne se réalise pas. Par exemple, si $A$ est "obtenir un 6 au dé", $\bar{A}$ est "ne pas obtenir un 6".

💡 À retenir : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

Kifach n7seb l'union dyal jouj événements?

Pour calculer $P(A \cup B)$ , on utilise la formule :

Calculer $P(A)$ .
Calculer $P(B)$ .
Calculer $P(A \cap B)$ (la probabilité que les deux arrivent en même temps).
Appliquer : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

💡 À retenir : On soustrait l'intersection pour ne pas la compter deux fois.

Pour calculer $P(A \cup B)$, on utilise la formule :

Calculer $P(A)$.
Calculer $P(B)$.
Calculer $P(A \cap B)$ (la probabilité que les deux arrivent en même temps).
Appliquer : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

💡 À retenir : On soustrait l'intersection pour ne pas la compter deux fois.

Imken l'i7timal ykoun kber men 1?

Non, c'est impossible. Une probabilité est toujours comprise entre 0 (impossible) et 1 (certain). Si tu trouves 1,2 ou 5, c'est que tu as fait une erreur de calcul ou de dénombrement.

💡 À retenir : $0 \le P(A) \le 1$ .

Non, c'est impossible. Une probabilité est toujours comprise entre 0 (impossible) et 1 (certain). Si tu trouves 1,2 ou 5, c'est que tu as fait une erreur de calcul ou de dénombrement.

💡 À retenir : $0 \le P(A) \le 1$.

Quelle est la différence entre un événement certain et un événement impossible ?

Un événement certain est un événement qui se produit à coup sûr (ex: obtenir un nombre entre 1 et 6 en lançant un dé). Sa probabilité est 1.
Un événement impossible est un événement qui ne peut pas se produire (ex: obtenir un 7 avec un dé à 6 faces). Sa probabilité est 0.

💡 À retenir : Certain $\implies P=1$ ; Impossible $\implies P=0$ .

Un événement certain est un événement qui se produit à coup sûr (ex: obtenir un nombre entre 1 et 6 en lançant un dé). Sa probabilité est 1.
Un événement impossible est un événement qui ne peut pas se produire (ex: obtenir un 7 avec un dé à 6 faces). Sa probabilité est 0.

💡 À retenir : Certain $\implies P=1$ ; Impossible $\implies P=0$.

Que signifie "A et B sont incompatibles" ?

Cela signifie que les événements $A$ et $B$ ne peuvent pas se produire en même temps. Leur intersection est vide : $A \cap B = \emptyset$ , donc $P(A \cap B) = 0$ .

💡 À retenir : Si incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Cela signifie que les événements $A$ et $B$ ne peuvent pas se produire en même temps. Leur intersection est vide : $A \cap B = \emptyset$, donc $P(A \cap B) = 0$.

💡 À retenir : Si incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Comment calculer le nombre de cas possibles dans un tirage simultané ?

Dans un tirage simultané (sans ordre), on utilise les combinaisons $C_n^p$ . Si on tire $p$ objets parmi $n$ , le nombre de cas est $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ .

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Dans un tirage simultané (sans ordre), on utilise les combinaisons $C_n^p$. Si on tire $p$ objets parmi $n$, le nombre de cas est $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Comment calculer le nombre de cas possibles dans un tirage successif sans remise ?

Dans un tirage successif sans remise (avec ordre), on utilise les arrangements $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ .

💡 À retenir : Successif sans remise = Arrangement.

Dans un tirage successif sans remise (avec ordre), on utilise les arrangements $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.

💡 À retenir : Successif sans remise = Arrangement.

Comment calculer le nombre de cas possibles dans un tirage successif avec remise ?

Dans un tirage successif avec remise (avec ordre), on utilise les puissances $n^p$ .

💡 À retenir : Successif avec remise = Puissance.

Dans un tirage successif avec remise (avec ordre), on utilise les puissances $n^p$.

💡 À retenir : Successif avec remise = Puissance.

Si P(A) = 0,3, quelle est la probabilité de bar{A} ?

On utilise la formule du complémentaire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,3 = 0,7$ .

💡 À retenir : La somme $P(A) + P(\bar{A})$ est toujours égale à 1.

On utilise la formule du complémentaire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,3 = 0,7$.

💡 À retenir : La somme $P(A) + P(\bar{A})$ est toujours égale à 1.

Comment savoir si je dois utiliser Cn^p ou An^p ?

Pose-toi la question : "L'ordre est-il important ?"

Si l'ordre n'importe pas (ex: un groupe, un tirage simultané) $\to$ $C_n^p$ .
Si l'ordre compte (ex: un podium, un tirage successif) $\to$ $A_n^p$ .

💡 À retenir : Pas d'ordre = Combinaison.

Pose-toi la question : "L'ordre est-il important ?"

Si l'ordre n'importe pas (ex: un groupe, un tirage simultané) $\to$ $C_n^p$.
Si l'ordre compte (ex: un podium, un tirage successif) $\to$ $A_n^p$.

💡 À retenir : Pas d'ordre = Combinaison.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Le dé à faces On lance un dé équilibré à 6 faces. On considère les événements suivants : $A$ : "Obtenir un nombre pair". $B$ : "Obtenir un nombre supérieur ou égal à 4".

Déterminer $P(A)$ et $P(B)$ .
Les événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? Justifier.
Calculer $P(A \cup B)$ .

Exercice 1

Déterminer $P(A)$ et $P(B)$.
Les événements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? Justifier.
Calculer $P(A \cup B)$.

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Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : L'urne de billes Une urne contient 10 billes indiscernables au toucher : 6 blanches et 4 noires. On tire simultanément 3 billes de l'urne.

Quel est le nombre total de tirages possibles ?
Calculer la probabilité d'obtenir 3 billes blanches.
Calculer la probabilité d'obtenir au moins une bille noire.

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Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Difficile) : Le jeu de cartes On tire simultanément 2 cartes d'un jeu de 32 cartes.

Calculer le nombre de tirages possibles.
Calculer la probabilité d'obtenir deux As.
Calculer la probabilité d'obtenir deux cartes de même couleur (toutes rouges ou toutes noires).

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