Comptabilité et mathématiques financières · 2ème Année Bac — Sciences Économiques

LES ANNUITES

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

L'annuité est une suite de versements effectués à intervalles de temps réguliers. En mathématiques financières, on distingue deux cas principaux selon le moment du versement :

1. Annuités de fin de période (cas le plus fréquent) : Les versements sont effectués à la fin de chaque période (ex: 31 décembre).

Valeur acquise ( $V_n$ ) : C'est la somme totale accumulée après $n$ périodes. $V_n = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}$
Valeur actuelle ( $V_0$ ) : C'est la valeur aujourd'hui de tous les versements futurs. $V_0 = a \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$

2. Annuités de début de période : Les versements sont effectués au début de chaque période (ex: 1er janvier).

Valeur acquise ( $V_n$ ) : $V_n = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i} \times (1+i)$
Valeur actuelle ( $V_0$ ) : $V_0 = a \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \times (1+i)$

Légende : $a$ = montant de l'annuité ; $i$ = taux d'intérêt ; $n$ = nombre de périodes.

Méthodes à maîtriser

Calculer $V_n$ : Utiliser la formule de la valeur acquise selon que l'on est en début ou fin de période.
Calculer $a$ (l'annuité) : Isoler $a$ $a$ dans les formules précédentes.
- Si fin de période : $a = V_n \times \frac{i}{(1+i)^n - 1}$
Calculer $n$ (la durée) : Utiliser les logarithmes ( $\ln$ ) pour isoler $n$ dans l'exposant.
Passer de "fin" à "début" : Multiplier par $(1+i)$ pour obtenir la valeur de début de période.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Un épargnant verse $2\,000$ DH à la fin de chaque année pendant 5 ans à un taux de $4\%$ . Quelle est la valeur acquise ? Solution :

Identification : $a = 2\,000$ ; $i = 0,04$ ; $n = 5$ (fin de période).
Application : $V_5 = 2\,000 \times \frac{(1,04)^5 - 1}{0,04}$
Calcul : $V_5 = 2\,000 \times 5,4163 = 10\,832,60$ DH.

Exemple 2 : Quel est le montant d'une annuité de fin de période pour obtenir $50\,000$ DH dans 10 ans à $5\%$ ? Solution :

Identification : $V_{10} = 50\,000$ ; $i = 0,05$ ; $n = 10$ .
Formule : $a = 50\,000 \times \frac{0,05}{(1,05)^{10} - 1}$
Calcul : $a = 50\,000 \times 0,0795 = 3\,975$ DH.

Erreurs fréquentes

Confondre $V_n$ et $V_0$ : $V_n$ est pour l'épargne (futur), $V_0$ est pour l'emprunt ou la valeur actuelle (présent).
Oublier le $(1+i)$ : En cas d'annuités de début de période, l'oubli du facteur $(1+i)$ est l'erreur la plus courante.
Erreur de taux : Utiliser $5$ au lieu de $0,05$ dans la calculatrice.
Confusion $n$ : Ne pas vérifier si $n$ correspond bien au nombre d'années ou de mois.

L'essentiel du cours

L'annuité est une suite de versements effectués à intervalles de temps réguliers. En mathématiques financières, on distingue deux cas principaux selon le moment du versement :

1. Annuités de fin de période (cas le plus fréquent) : Les versements sont effectués à la fin de chaque période (ex: 31 décembre).

Valeur acquise ($V_n$) : C'est la somme totale accumulée après $n$ périodes. $$V_n = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}$$
Valeur actuelle ($V_0$) : C'est la valeur aujourd'hui de tous les versements futurs. $$V_0 = a \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$$

2. Annuités de début de période : Les versements sont effectués au début de chaque période (ex: 1er janvier).

Valeur acquise ($V_n$) : $$V_n = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i} \times (1+i)$$
Valeur actuelle ($V_0$) : $$V_0 = a \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \times (1+i)$$

Légende : $a$ = montant de l'annuité ; $i$ = taux d'intérêt ; $n$ = nombre de périodes.

Méthodes à maîtriser

Calculer $V_n$ : Utiliser la formule de la valeur acquise selon que l'on est en début ou fin de période.
Calculer $a$ (l'annuité) : Isoler $a$ dans les formules précédentes.
- Si fin de période : $a = V_n \times \frac{i}{(1+i)^n - 1}$
Calculer $n$ (la durée) : Utiliser les logarithmes ($\ln$) pour isoler $n$ dans l'exposant.
Passer de "fin" à "début" : Multiplier par $(1+i)$ pour obtenir la valeur de début de période.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Un épargnant verse $2,000$ DH à la fin de chaque année pendant 5 ans à un taux de $4%$. Quelle est la valeur acquise ? Solution :

Identification : $a = 2,000$ ; $i = 0,04$ ; $n = 5$ (fin de période).
Application : $V_5 = 2,000 \times \frac{(1,04)^5 - 1}{0,04}$
Calcul : $V_5 = 2,000 \times 5,4163 = 10,832,60$ DH.

Exemple 2 : Quel est le montant d'une annuité de fin de période pour obtenir $50,000$ DH dans 10 ans à $5%$ ? Solution :

Identification : $V_{10} = 50,000$ ; $i = 0,05$ ; $n = 10$.
Formule : $a = 50,000 \times \frac{0,05}{(1,05)^{10} - 1}$
Calcul : $a = 50,000 \times 0,0795 = 3,975$ DH.

Erreurs fréquentes

Confondre $V_n$ et $V_0$ : $V_n$ est pour l'épargne (futur), $V_0$ est pour l'emprunt ou la valeur actuelle (présent).
Oublier le $(1+i)$ : En cas d'annuités de début de période, l'oubli du facteur $(1+i)$ est l'erreur la plus courante.
Erreur de taux : Utiliser $5$ au lieu de $0,05$ dans la calculatrice.
Confusion $n$ : Ne pas vérifier si $n$ correspond bien au nombre d'années ou de mois.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 LES ANNUITES

1/4

Quelle est la formule de $V_n$ pour des annuités de fin de période ?

❓ Questions fréquentes

Chno lfarq bin annuité de fin de période w annuité de début de période ?

La différence réside dans le moment du versement :

Fin de période : Le versement est fait à la fin de l'année (ex: 31/12). On utilise les formules standards.
Début de période : Le versement est fait au premier jour de l'année (ex: 01/01). Les intérêts courent sur une période supplémentaire, donc on multiplie le résultat par $(1+i)$ .

💡 À retenir : Début de période $\rightarrow$ on multiplie par $(1+i)$ .

La différence réside dans le moment du versement :

Fin de période : Le versement est fait à la fin de l'année (ex: 31/12). On utilise les formules standards.
Début de période : Le versement est fait au premier jour de l'année (ex: 01/01). Les intérêts courent sur une période supplémentaire, donc on multiplie le résultat par $(1+i)$.

💡 À retenir : Début de période $\rightarrow$ on multiplie par $(1+i)$.

Kifach n7seb l'annuité a ila 3reft Vn ?

Pour trouver $a$ quand on connaît la valeur acquise $V_n$ (fin de période) :

Utilise la formule : $V_n = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}$
Isole $a$ : $a = \frac{V_n \times i}{(1+i)^n - 1}$
Remplace par les valeurs et calcule.

💡 À retenir : $a$ est toujours le montant fixe versé chaque période.

Pour trouver $a$ quand on connaît la valeur acquise $V_n$ (fin de période) :

Utilise la formule : $V_n = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}$
Isole $a$ : $a = \frac{V_n \times i}{(1+i)^n - 1}$
Remplace par les valeurs et calcule.

💡 À retenir : $a$ est toujours le montant fixe versé chaque période.

Quelle est la formule de la valeur acquise Vn en début de période ?

La formule est la même qu'en fin de période, mais avec un ajustement pour les intérêts supplémentaires : $V_n = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i} \times (1+i)$

💡 À retenir : Le terme $\times (1+i)$ est crucial pour le début de période.

La formule est la même qu'en fin de période, mais avec un ajustement pour les intérêts supplémentaires : $$V_n = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i} \times (1+i)$$

💡 À retenir : Le terme $\times (1+i)$ est crucial pour le début de période.

Chno hiya l'annuité ?

L'annuité est un montant d'argent fixe que l'on verse (ou que l'on reçoit) à intervalles de temps réguliers (chaque année, chaque mois, etc.) pendant une durée déterminée.

💡 À retenir : C'est un versement périodique et constant.

Comment calculer la valeur actuelle V0 d'une suite d'annuités de fin de période ?

On utilise la formule de l'actualisation : $V_0 = a \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$ Cette formule permet de savoir combien valent aujourd'hui des versements qui auront lieu dans le futur.

💡 À retenir : $V_0$ est utilisé pour calculer le montant d'un emprunt.

On utilise la formule de l'actualisation : $$V_0 = a \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$$ Cette formule permet de savoir combien valent aujourd'hui des versements qui auront lieu dans le futur.

💡 À retenir : $V_0$ est utilisé pour calculer le montant d'un emprunt.

Ila kant l'annuité f l'bdya dyal l'période, kifach nbeddel l'formule dyal l'fin ?

C'est très simple : tu prends la formule de fin de période et tu la multiplies par $(1+i)$ .

Fin : $V_n = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}$
Début : $V_n = [a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}] \times (1+i)$

💡 À retenir : Le versement au début produit plus d'intérêts.

C'est très simple : tu prends la formule de fin de période et tu la multiplies par $(1+i)$.

Fin : $V_n = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}$
Début : $V_n = [a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}] \times (1+i)$

💡 À retenir : Le versement au début produit plus d'intérêts.

Quelle est la différence entre Vn et V0 ?

$V_n$ (Valeur acquise) : C'est la somme totale à la fin de la période (on regarde vers le futur). Utile pour l'épargne.
$V_0$ (Valeur actuelle) : C'est la somme à la début de la période (on ramène le futur au présent). Utile pour les emprunts.

💡 À retenir : $V_n$ = accumulation ; $V_0$ = actualisation.

$V_n$ (Valeur acquise) : C'est la somme totale à la fin de la période (on regarde vers le futur). Utile pour l'épargne.
$V_0$ (Valeur actuelle) : C'est la somme à la début de la période (on ramène le futur au présent). Utile pour les emprunts.

💡 À retenir : $V_n$ = accumulation ; $V_0$ = actualisation.

Est-ce que le taux i doit toujours être en décimal ?

Oui. Si le taux est de $5\%$ , tu dois impérativement utiliser $0,05$ dans tes calculs. Si tu utilises $5$ , tes résultats seront totalement faux.

💡 À retenir : Toujours diviser le pourcentage par $100$ .

Oui. Si le taux est de $5%$, tu dois impérativement utiliser $0,05$ dans tes calculs. Si tu utilises $5$, tes résultats seront totalement faux.

💡 À retenir : Toujours diviser le pourcentage par $100$.

Comment trouver la durée n si on connaît Vn, a et i ?

Il faut utiliser les logarithmes ( $\ln$ ) :

Partir de $V_n = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}$
Isoler $(1+i)^n$ : $(1+i)^n = \frac{V_n \times i}{a} + 1$
Appliquer $\ln$ : $n \times \ln(1+i) = \ln(\frac{V_n \times i}{a} + 1)$
$n = \frac{\ln(\frac{V_n \times i}{a} + 1)}{\ln(1+i)}$

💡 À retenir : L'inconnue $n$ est toujours dans l'exposant.

Il faut utiliser les logarithmes ($\ln$) :

Partir de $V_n = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}$
Isoler $(1+i)^n$ : $(1+i)^n = \frac{V_n \times i}{a} + 1$
Appliquer $\ln$ : $n \times \ln(1+i) = \ln(\frac{V_n \times i}{a} + 1)$
$n = \frac{\ln(\frac{V_n \times i}{a} + 1)}{\ln(1+i)}$

💡 À retenir : L'inconnue $n$ est toujours dans l'exposant.

Peut-on avoir des annuités mensuelles ?

Oui, mais attention au taux ! Si les annuités sont mensuelles, le taux $i$ doit être un taux mensuel. Si on te donne un taux annuel, il faut le convertir.

💡 À retenir : La période du taux doit correspondre à la période de l'annuité.

Oui, mais attention au taux ! Si les annuités sont mensuelles, le taux $i$ doit être un taux mensuel. Si on te donne un taux annuel, il faut le convertir.

💡 À retenir : La période du taux doit correspondre à la période de l'annuité.

Chno hiya l'valeur actuelle ?

C'est la valeur d'une somme d'argent aujourd'hui, après avoir retiré les intérêts qui auraient pu être gagnés dans le futur. On appelle cela l'actualisation.

💡 À retenir : $100$ DH dans un an valent moins que $100$ DH aujourd'hui.

C'est la valeur d'une somme d'argent aujourd'hui, après avoir retiré les intérêts qui auraient pu être gagnés dans le futur. On appelle cela l'actualisation.

💡 À retenir : $100$ DH dans un an valent moins que $100$ DH aujourd'hui.

Si l'annuité est constante, est-ce que l'intérêt change ?

Oui. Dans un remboursement d'emprunt, même si l'annuité $a$ est constante, la part de l'intérêt diminue chaque année car elle est calculée sur un capital restant dû qui baisse.

💡 À retenir : Annuité constante $\neq$ Intérêt constant.

Oui. Dans un remboursement d'emprunt, même si l'annuité $a$ est constante, la part de l'intérêt diminue chaque année car elle est calculée sur un capital restant dû qui baisse.

💡 À retenir : Annuité constante $\neq$ Intérêt constant.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Épargne simple Un étudiant décide de placer $5\,000$ DH à la fin de chaque année dans un compte d'épargne pendant 4 ans. Le taux d'intérêt annuel est de $3\%$ . Calculez la valeur acquise $V_4$ au bout de 4 ans.

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Emprunt Une entreprise souhaite emprunter une somme pour acheter une machine. Elle peut rembourser par des annuités de fin de période de $12\,000$ DH pendant 5 ans. Le taux d'intérêt est de $6\%$ . Calculez le montant de l'emprunt qu'elle peut contracter (Valeur actuelle $V_0$ ).

Exercice 3 (Niveau Difficile) : Placement en début de période Un investisseur place une somme chaque début d'année pendant 6 ans. Les annuités sont de $8\,000$ DH et le taux est de $4\%$ .

Calculez la valeur acquise $V_6$ à la fin de la 6ème année.
Quel serait le montant de la valeur acquise si les versements étaient faits en fin de période ?
Calculez la différence entre les deux méthodes.

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Épargne simple Un étudiant décide de placer $5,000$ DH à la fin de chaque année dans un compte d'épargne pendant 4 ans. Le taux d'intérêt annuel est de $3%$. Calculez la valeur acquise $V_4$ au bout de 4 ans.

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Emprunt Une entreprise souhaite emprunter une somme pour acheter une machine. Elle peut rembourser par des annuités de fin de période de $12,000$ DH pendant 5 ans. Le taux d'intérêt est de $6%$. Calculez le montant de l'emprunt qu'elle peut contracter (Valeur actuelle $V_0$).

Exercice 3 (Niveau Difficile) : Placement en début de période Un investisseur place une somme chaque début d'année pendant 6 ans. Les annuités sont de $8,000$ DH et le taux est de $4%$.

Calculez la valeur acquise $V_6$ à la fin de la 6ème année.
Quel serait le montant de la valeur acquise si les versements étaient faits en fin de période ?
Calculez la différence entre les deux méthodes.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Comptabilité et mathématiques financières pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Comptabilité et mathématiques financières

INTRODUCTION AUX TRAVAUX D'INVENTAIRE LA REGULARISATION DES STOCKS LES Amortissements LES PROVISIONS LES REGULARISATIONS DE CHARGES ET DE PRODUITS L'IMPOT SUR LES SOCIETES CAS DE SYNTHESE L'ANALYSE DU BILAN COMPTABLE ANALYSE DE L'EXPLOITATION LES TABLEAUX DE FINANCEMENT LES INTERETS COMPOSES L'AMORTISSEMENT DES EMPRUNTS