Faraïd et Tawqit · 2ème Année Bac — Sciences de la Charia

القبلة

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La détermination de la Qibla consiste à trouver la direction directe vers la Kaaba. Puisque la Terre est une sphère, on ne peut pas utiliser la géométrie plane classique, mais la trigonométrie sphérique. On travaille sur un triangle sphérique formé par trois points :

Le Pôle Nord ( $N$ ).
Le lieu où l'on se trouve ( $P$ ).
La Kaaba ( $K$ ).

L'objectif est de calculer l'angle au sommet $P$ (l'angle entre le méridien local et la ligne de la Qibla).

Méthodes à maîtriser

Pour calculer l'angle de la Qibla ( $q$ ), on utilise la formule suivante basée sur les coordonnées géographiques :

$\tan(q) = \frac{\sin(\lambda_K - \lambda_P)}{\cos(\phi_P) \tan(\phi_K) - \sin(\phi_P) \cos(\lambda_K - \lambda_P)}$

Où :

$\phi_P$ : Latitude du lieu de départ.
$\lambda_P$ : Longitude du lieu de départ.
$\phi_K$ : Latitude de la Kaaba (environ $21^\circ 25'$ N).
$\lambda_K$ : Longitude de la Kaaba (environ $39^\circ 49'$ E).
$\Delta \lambda = (\lambda_K - \lambda_P)$ : Différence de longitude.

Exemples corrigés

Énoncé : Un étudiant se trouve à un point $P$ où la latitude $\phi_P = 30^\circ$ et la longitude $\lambda_P = 10^\circ$ . On donne $\phi_K = 21^\circ$ et $\lambda_K = 39^\circ$ . Calculez l'angle $q$ .

Solution :

Calcul de la différence de longitude : $\Delta \lambda = 39^\circ - 10^\circ = 29^\circ$ .
Application de la formule : $\tan(q) = \frac{\sin(29^\circ)}{\cos(30^\circ) \tan(21^\circ) - \sin(30^\circ) \cos(29^\circ)}$
Calcul des valeurs :
- $\sin(29^\circ) \approx 0,4848$
- $\cos(30^\circ) \approx 0,8660$
- $\tan(21^\circ) \approx 0,3838$
- $\sin(30^\circ) = 0,5$
- $\cos(29^\circ) \approx 0,8746$
Résultat intermédiaire : $\tan(q) = \frac{0,4848}{(0,8660 \times 0,3838) - (0,5 \times 0,8746)} = \frac{0,4848}{0,3323 - 0,4373} = \frac{0,4848}{-0,105} \approx -4,617$
Calcul de l'angle : $q = \arctan(-4,617) \approx -77,7^\circ$ . (Note : L'angle négatif indique une direction par rapport au Nord, à ajuster selon le quadrant).

Erreurs fréquentes

Confusion entre Latitude et Longitude : Toujours vérifier que $\phi$ est la latitude et $\lambda$ la longitude.
Oubli des signes : Si le lieu est à l'Ouest, sa longitude $\lambda_P$ est négative dans le calcul ( $\lambda_K - (-\lambda_P)$ ).
Mode de la calculatrice : Utiliser le mode Degrés (DEG) et non Radians.
Erreur de parenthèses : Mal calculer le dénominateur en mélangeant les multiplications et les soustractions.

L'essentiel du cours

Le Pôle Nord ($N$).
Le lieu où l'on se trouve ($P$).
La Kaaba ($K$).

L'objectif est de calculer l'angle au sommet $P$ (l'angle entre le méridien local et la ligne de la Qibla).

Méthodes à maîtriser

Pour calculer l'angle de la Qibla ($q$), on utilise la formule suivante basée sur les coordonnées géographiques :

$$\tan(q) = \frac{\sin(\lambda_K - \lambda_P)}{\cos(\phi_P) \tan(\phi_K) - \sin(\phi_P) \cos(\lambda_K - \lambda_P)}$$

Où :

$\phi_P$ : Latitude du lieu de départ.
$\lambda_P$ : Longitude du lieu de départ.
$\phi_K$ : Latitude de la Kaaba (environ $21^\circ 25'$ N).
$\lambda_K$ : Longitude de la Kaaba (environ $39^\circ 49'$ E).
$\Delta \lambda = (\lambda_K - \lambda_P)$ : Différence de longitude.

Exemples corrigés

Énoncé : Un étudiant se trouve à un point $P$ où la latitude $\phi_P = 30^\circ$ et la longitude $\lambda_P = 10^\circ$. On donne $\phi_K = 21^\circ$ et $\lambda_K = 39^\circ$. Calculez l'angle $q$.

Solution :

Calcul de la différence de longitude : $\Delta \lambda = 39^\circ - 10^\circ = 29^\circ$.
Application de la formule : $$\tan(q) = \frac{\sin(29^\circ)}{\cos(30^\circ) \tan(21^\circ) - \sin(30^\circ) \cos(29^\circ)}$$
Calcul des valeurs :
- $\sin(29^\circ) \approx 0,4848$
- $\cos(30^\circ) \approx 0,8660$
- $\tan(21^\circ) \approx 0,3838$
- $\sin(30^\circ) = 0,5$
- $\cos(29^\circ) \approx 0,8746$
Résultat intermédiaire : $$\tan(q) = \frac{0,4848}{(0,8660 \times 0,3838) - (0,5 \times 0,8746)} = \frac{0,4848}{0,3323 - 0,4373} = \frac{0,4848}{-0,105} \approx -4,617$$
Calcul de l'angle : $q = \arctan(-4,617) \approx -77,7^\circ$. (Note : L'angle négatif indique une direction par rapport au Nord, à ajuster selon le quadrant).

Erreurs fréquentes

Confusion entre Latitude et Longitude : Toujours vérifier que $\phi$ est la latitude et $\lambda$ la longitude.
Oubli des signes : Si le lieu est à l'Ouest, sa longitude $\lambda_P$ est négative dans le calcul ($\lambda_K - (-\lambda_P)$).
Mode de la calculatrice : Utiliser le mode Degrés (DEG) et non Radians.
Erreur de parenthèses : Mal calculer le dénominateur en mélangeant les multiplications et les soustractions.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 القبلة

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Quelle est la forme de la Terre utilisée pour le calcul de la Qibla ?

❓ Questions fréquentes

Chno hiya l-qibla f l-asl?

La Qibla est la direction vers laquelle tous les musulmans se tournent pour accomplir la prière, et cette direction est la Kaaba située à La Mecque.

💡 À retenir : C'est l'orientation sacrée de la prière.

Kifach n7seb l-angle dyal l-qibla?

Pour calculer l'angle de la Qibla, il faut :

Connaître les coordonnées ( $\phi, \lambda$ ) du lieu et de la Kaaba.
Utiliser la formule de la trigonométrie sphérique : $\tan(q) = \frac{\sin(\Delta \lambda)}{\cos(\phi_P) \tan(\phi_K) - \sin(\phi_P) \cos(\Delta \lambda)}$ .
Calculer l'arc tangente ( $\arctan$ ) du résultat.

💡 À retenir : On utilise la trigonométrie sphérique car la Terre est ronde.

Pour calculer l'angle de la Qibla, il faut :

Connaître les coordonnées ($\phi, \lambda$) du lieu et de la Kaaba.
Utiliser la formule de la trigonométrie sphérique : $\tan(q) = \frac{\sin(\Delta \lambda)}{\cos(\phi_P) \tan(\phi_K) - \sin(\phi_P) \cos(\Delta \lambda)}$.
Calculer l'arc tangente ($\arctan$) du résultat.

💡 À retenir : On utilise la trigonométrie sphérique car la Terre est ronde.

Wach l-qibla katbedel m3a l-makan?

Oui, la direction de la Qibla change selon l'endroit où l'on se trouve sur la Terre. Plus on s'éloigne de La Mecque, plus l'angle de direction change.

💡 À retenir : L'angle $q$ dépend directement de la latitude et de la longitude du lieu.

Oui, la direction de la Qibla change selon l'endroit où l'on se trouve sur la Terre. Plus on s'éloigne de La Mecque, plus l'angle de direction change.

💡 À retenir : L'angle $q$ dépend directement de la latitude et de la longitude du lieu.

Chno l-farq bin l-azimut w l-qibla?

La Qibla est la destination (la Kaaba), tandis que l'azimut est la mesure de l'angle de cette direction par rapport au Nord.

💡 À retenir : L'azimut est l'outil mathématique pour trouver la Qibla.

Chno hiya l-da'ira dyal l-qibla?

C'est l'ensemble de tous les points sur la surface de la Terre qui ont la même direction vers la Kaaba.

💡 À retenir : Tous les points sur ce cercle pointent vers le même endroit.

Wach nqder n3ref l-qibla b l-najm?

Oui, historiquement, on utilisait la position des étoiles et du soleil pour déterminer les directions, ce qui revient à utiliser des coordonnées célestes.

💡 À retenir : L'astronomie et la géographie sont liées pour trouver la Qibla.

Chno hiya l-formula l-asasiya?

La formule est $\tan(q) = \frac{\sin(\Delta \lambda)}{\cos(\phi_P) \tan(\phi_K) - \sin(\phi_P) \cos(\Delta \lambda)}$ .

💡 À retenir : Maîtrisez cette formule pour l'examen.

La formule est $\tan(q) = \frac{\sin(\Delta \lambda)}{\cos(\phi_P) \tan(\phi_K) - \sin(\phi_P) \cos(\Delta \lambda)}$.

💡 À retenir : Maîtrisez cette formule pour l'examen.

Kifach nsta3mel l-calculator f had l-darss?

Réglez sur "DEG".
Calculez d'abord les sinus et cosinus séparément.
Faites le dénominateur avant de diviser.
Utilisez la touche $\tan^{-1}$ pour trouver l'angle.

💡 À retenir : Vérifiez toujours le mode "Degrés".

Réglez sur "DEG".
Calculez d'abord les sinus et cosinus séparément.
Faites le dénominateur avant de diviser.
Utilisez la touche $\tan^{-1}$ pour trouver l'angle.

💡 À retenir : Vérifiez toujours le mode "Degrés".

Chno hiya l-latitude?

C'est la position d'un point par rapport à l'Équateur (Nord ou Sud).

💡 À retenir : Notée $\phi$ .

C'est la position d'un point par rapport à l'Équateur (Nord ou Sud).

💡 À retenir : Notée $\phi$.

Chno hiya l-longitude?

C'est la position d'un point par rapport au méridien de Greenwich (Est ou Ouest).

💡 À retenir : Notée $\lambda$ .

C'est la position d'un point par rapport au méridien de Greenwich (Est ou Ouest).

💡 À retenir : Notée $\lambda$.

Wach l-ard kora aw moustata?

Pour les calculs de la Qibla, on considère que la Terre est une sphère (modèle sphérique).

💡 À retenir : C'est la base de la trigonométrie sphérique.

Chno l-mohim f l-examen f had l-chapitre?

L'application correcte de la formule de $\tan(q)$ et la gestion des signes des coordonnées.

💡 À retenir : Pratiquez les calculs avec des valeurs réelles.

L'application correcte de la formule de $\tan(q)$ et la gestion des signes des coordonnées.

💡 À retenir : Pratiquez les calculs avec des valeurs réelles.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Définissez les termes suivants et expliquez pourquoi on ne peut pas utiliser la géométrie plane (Euclidienne) pour calculer la direction de la Qibla entre deux villes éloignées.

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Soit un point $A$ situé à $\phi_A = 35^\circ$ N et $\lambda_A = 10^\circ$ O. La Kaaba est à $\phi_K = 21^\circ$ N et $\lambda_K = 40^\circ$ E.

Calculez la différence de longitude $\Delta \lambda$ en tenant compte du fait que le point $A$ est à l'Ouest.
Écrivez la formule de $\tan(q)$ avec les valeurs numériques.

Exercice 3 (Niveau Examen National) : Un voyageur se trouve à un point $P$ dont les coordonnées sont $\phi_P = 40^\circ$ N et $\lambda_P = 20^\circ$ O. On donne les coordonnées de la Kaaba : $\phi_K = 21,4^\circ$ N et $\lambda_K = 39,8^\circ$ E. Calculez l'angle de la Qibla $q$ (arrondir à deux décimales).

Exercice 1

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Soit un point $A$ situé à $\phi_A = 35^\circ$ N et $\lambda_A = 10^\circ$ O. La Kaaba est à $\phi_K = 21^\circ$ N et $\lambda_K = 40^\circ$ E.

Calculez la différence de longitude $\Delta \lambda$ en tenant compte du fait que le point $A$ est à l'Ouest.
Écrivez la formule de $\tan(q)$ avec les valeurs numériques.

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