Sciences de l'ingénieur · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Courant alternatif sinusoïdal

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un courant alternatif sinusoïdal est défini par : $i(t) = I_{max} \cdot \sin(\omega t + \varphi_i)$ .

Période ( $T$ ) : durée d'un cycle (s).
Fréquence ( $f$ ) : $f = 1/T$ (Hz).
Pulsation ( $\omega$ ) : $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$ (rad/s).
Valeur efficace : $I = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$ .
Représentation de Fresnel : Un vecteur de longueur $I$ faisant un angle $\varphi$ avec l'axe des abscisses.
Impédances complexes :
- Résistance : $\underline{Z}_R = R$
- Bobine : $\underline{Z}_L = jL\omega$
- Condensateur : $\underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} = -j\frac{1}{C\omega}$
Loi d'Ohm généralisée : $\underline{U} = \underline{Z} \cdot \underline{I}$ .

Méthodes à maîtriser

Passage du temporel au complexe : $u(t) = U_{max} \sin(\omega t + \varphi_u) \rightarrow \underline{U} = [U, \varphi_u]$ .
Addition de vecteurs de Fresnel : Utiliser la relation de Chasles ou les composantes cartésiennes ( $X = \sum U_i \cos \varphi_i$ ; $Y = \sum U_i \sin \varphi_i$ ).
Calcul de l'impédance équivalente : Appliquer les règles série/parallèle comme en continu, mais avec des nombres complexes.

Exemples corrigés

Exemple : Circuit R-L série avec $R=10\Omega$ , $L=0,1H$ , $f=50Hz$ .

$\omega = 2\pi \cdot 50 = 314 \, rad/s$ .
$\underline{Z} = R + jL\omega = 10 + j(0,1 \cdot 314) = 10 + j31,4 \, \Omega$ .
Module : $Z = \sqrt{10^2 + 31,4^2} \approx 32,95 \, \Omega$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir la fréquence en pulsation ( $\omega$ ).
Confondre valeur maximale ( $U_{max}$ ) et valeur efficace ( $U$ ).
Oublier le signe « - » pour le condensateur dans les calculs complexes.
Utiliser la calculatrice en mode « Degré » au lieu de « Radian » pour les calculs de phase.

L'essentiel du cours

Un courant alternatif sinusoïdal est défini par : $i(t) = I_{max} \cdot \sin(\omega t + \varphi_i)$.

Période ($T$) : durée d'un cycle (s).
Fréquence ($f$) : $f = 1/T$ (Hz).
Pulsation ($\omega$) : $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$ (rad/s).
Valeur efficace : $I = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$.
Représentation de Fresnel : Un vecteur de longueur $I$ faisant un angle $\varphi$ avec l'axe des abscisses.
Impédances complexes :
- Résistance : $\underline{Z}_R = R$
- Bobine : $\underline{Z}_L = jL\omega$
- Condensateur : $\underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} = -j\frac{1}{C\omega}$
Loi d'Ohm généralisée : $\underline{U} = \underline{Z} \cdot \underline{I}$.

Méthodes à maîtriser

Passage du temporel au complexe : $u(t) = U_{max} \sin(\omega t + \varphi_u) \rightarrow \underline{U} = [U, \varphi_u]$.
Addition de vecteurs de Fresnel : Utiliser la relation de Chasles ou les composantes cartésiennes ($X = \sum U_i \cos \varphi_i$ ; $Y = \sum U_i \sin \varphi_i$).
Calcul de l'impédance équivalente : Appliquer les règles série/parallèle comme en continu, mais avec des nombres complexes.

Exemples corrigés

Exemple : Circuit R-L série avec $R=10\Omega$, $L=0,1H$, $f=50Hz$.

$\omega = 2\pi \cdot 50 = 314 , rad/s$.
$\underline{Z} = R + jL\omega = 10 + j(0,1 \cdot 314) = 10 + j31,4 , \Omega$.
Module : $Z = \sqrt{10^2 + 31,4^2} \approx 32,95 , \Omega$.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir la fréquence en pulsation ($\omega$).
Confondre valeur maximale ($U_{max}$) et valeur efficace ($U$).
Oublier le signe « - » pour le condensateur dans les calculs complexes.
Utiliser la calculatrice en mode « Degré » au lieu de « Radian » pour les calculs de phase.

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🎯 Courant alternatif sinusoïdal

1/4

Quelle est la valeur efficace d'une tension $u(t) = 325 \sin(314t)$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre U et U{max} ?

$U_{max}$ est la valeur crête, c'est l'amplitude maximale que la tension atteint sur l'oscilloscope.
$U$ est la valeur efficace, c'est la valeur mesurée par un voltmètre et celle utilisée pour les calculs de puissance.
La relation est $U = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}}$ .

💡 À retenir : En électricité industrielle, on utilise toujours la valeur efficace $U$ pour dimensionner les composants.

$U_{max}$ est la valeur crête, c'est l'amplitude maximale que la tension atteint sur l'oscilloscope.
$U$ est la valeur efficace, c'est la valeur mesurée par un voltmètre et celle utilisée pour les calculs de puissance.
La relation est $U = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}}$.

💡 À retenir : En électricité industrielle, on utilise toujours la valeur efficace $U$ pour dimensionner les composants.

Kifach n7seb l'impédance dyal bobine f circuit?

Identifie la valeur de l'inductance $L$ en Henry (H).
Calcule la pulsation $\omega = 2\pi f$ .
L'impédance est un nombre complexe : $\underline{Z}_L = j \cdot L \cdot \omega$ .
Si tu as besoin du module, c'est $Z_L = L \cdot \omega$ .

💡 À retenir : L'impédance d'une bobine augmente avec la fréquence.

Identifie la valeur de l'inductance $L$ en Henry (H).
Calcule la pulsation $\omega = 2\pi f$.
L'impédance est un nombre complexe : $\underline{Z}_L = j \cdot L \cdot \omega$.
Si tu as besoin du module, c'est $Z_L = L \cdot \omega$.

💡 À retenir : L'impédance d'une bobine augmente avec la fréquence.

Est-ce que on peut additionner deux tensions sinusoïdales directement ?

Non, on ne peut pas additionner les valeurs instantanées $u_1(t) + u_2(t)$ sans tenir compte de leur déphasage.
Il faut passer par la représentation de Fresnel ou les nombres complexes.
On additionne les vecteurs ou les complexes : $\underline{U}_{tot} = \underline{U}_1 + \underline{U}_2$ .

💡 À retenir : L'addition se fait vectoriellement, pas algébriquement.

Non, on ne peut pas additionner les valeurs instantanées $u_1(t) + u_2(t)$ sans tenir compte de leur déphasage.
Il faut passer par la représentation de Fresnel ou les nombres complexes.
On additionne les vecteurs ou les complexes : $\underline{U}_{tot} = \underline{U}_1 + \underline{U}_2$.

💡 À retenir : L'addition se fait vectoriellement, pas algébriquement.

Wach j hiya i f les complexes?

Oui, en électricité, on utilise $j$ au lieu de $i$ pour ne pas confondre avec l'intensité du courant.
La règle est toujours $j^2 = -1$ .

💡 À retenir : $j$ représente un déphasage de $+90^\circ$ (ou $\pi/2$ rad).

Oui, en électricité, on utilise $j$ au lieu de $i$ pour ne pas confondre avec l'intensité du courant.
La règle est toujours $j^2 = -1$.

💡 À retenir : $j$ représente un déphasage de $+90^\circ$ (ou $\pi/2$ rad).

Comment savoir si le circuit est inductif ou capacitif ?

Regarde la partie imaginaire de l'impédance totale $\underline{Z} = R + jX$ .
Si $X > 0$ , le circuit est inductif (prédominance de la bobine).
Si $X < 0$ , le circuit est capacitif (prédominance du condensateur).

💡 À retenir : Le signe de la réactance définit la nature du circuit.

Regarde la partie imaginaire de l'impédance totale $\underline{Z} = R + jX$.
Si $X > 0$, le circuit est inductif (prédominance de la bobine).
Si $X < 0$, le circuit est capacitif (prédominance du condensateur).

💡 À retenir : Le signe de la réactance définit la nature du circuit.

Kifach n3ref l'angle de déphasage varphi ?

Utilise la fonction argument de ton nombre complexe : $\varphi = \arg(\underline{Z}) = \arctan(\frac{X}{R})$ .
Si tu as les vecteurs, c'est l'angle entre le vecteur tension et le vecteur courant.

💡 À retenir : $\varphi = \varphi_u - \varphi_i$ .

Utilise la fonction argument de ton nombre complexe : $\varphi = \arg(\underline{Z}) = \arctan(\frac{X}{R})$.
Si tu as les vecteurs, c'est l'angle entre le vecteur tension et le vecteur courant.

💡 À retenir : $\varphi = \varphi_u - \varphi_i$.

Pourquoi on utilise les nombres complexes ?

Ils permettent de transformer des équations différentielles complexes en simples équations algébriques.
Ils gèrent simultanément le module (amplitude) et l'argument (phase).

💡 À retenir : C'est l'outil indispensable pour simplifier l'étude des circuits en régime sinusoïdal.

Est-ce que la résistance change avec la fréquence ?

Pour une résistance pure, non, elle reste constante.
Cependant, pour une bobine réelle, la résistance interne peut varier légèrement à haute fréquence (effet de peau), mais au lycée, on la considère constante.

💡 À retenir : Seules les réactances ( $L\omega$ et $1/C\omega$ ) dépendent fortement de la fréquence.

Pour une résistance pure, non, elle reste constante.
Cependant, pour une bobine réelle, la résistance interne peut varier légèrement à haute fréquence (effet de peau), mais au lycée, on la considère constante.

💡 À retenir : Seules les réactances ($L\omega$ et $1/C\omega$) dépendent fortement de la fréquence.

C'est quoi le rôle du déphasage ?

Il indique le retard ou l'avance de la tension par rapport au courant.
Il est crucial pour calculer la puissance active ( $P = UI \cos \varphi$ ).

💡 À retenir : Le déphasage impacte directement le rendement énergétique.

Il indique le retard ou l'avance de la tension par rapport au courant.
Il est crucial pour calculer la puissance active ($P = UI \cos \varphi$).

💡 À retenir : Le déphasage impacte directement le rendement énergétique.

Comment calculer l'intensité totale dans un circuit parallèle ?

Calcule l'admittance de chaque branche : $\underline{Y} = 1/\underline{Z}$ .
Additionne les admittances : $\underline{Y}_{tot} = \underline{Y}_1 + \underline{Y}_2$ .
$\underline{I} = \underline{U} \cdot \underline{Y}_{tot}$ .

💡 À retenir : En parallèle, il est souvent plus simple d'additionner les admittances.

Calcule l'admittance de chaque branche : $\underline{Y} = 1/\underline{Z}$.
Additionne les admittances : $\underline{Y}_{tot} = \underline{Y}_1 + \underline{Y}_2$.
$\underline{I} = \underline{U} \cdot \underline{Y}_{tot}$.

💡 À retenir : En parallèle, il est souvent plus simple d'additionner les admittances.

Est-ce que la fréquence change dans un circuit ?

Non, dans un circuit linéaire en régime sinusoïdal, la fréquence reste identique à celle de la source.

💡 À retenir : La fréquence est imposée par le générateur.

Est-ce que la valeur efficace peut être négative ?

Non, la valeur efficace est par définition une racine carrée d'une moyenne de carré, elle est toujours positive.

💡 À retenir : Une tension efficace est toujours une grandeur positive.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un dipôle est constitué d'une résistance $R = 20 \, \Omega$ en série avec une bobine d'inductance $L = 0,05 \, H$ . Le circuit est alimenté par une tension $u(t) = 230\sqrt{2} \sin(314t)$ .

Calculer l'impédance complexe du dipôle.
Calculer l'intensité efficace $I$ du courant.
Calculer le déphasage $\varphi$ de la tension par rapport au courant.

Exercice 1

Un dipôle est constitué d'une résistance $R = 20 , \Omega$ en série avec une bobine d'inductance $L = 0,05 , H$. Le circuit est alimenté par une tension $u(t) = 230\sqrt{2} \sin(314t)$.