Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Économiques

الدالة الآسية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La fonction exponentielle, notée $\exp(x)$ ou $e^x$ , est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$ .

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in \mathbb{R}$ , $e^{a+b} = e^a \times e^b$ , $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$ , et $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$ .
Limites fondamentales : $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ .
Croissances comparées : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ (pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ ).

Méthodes à maîtriser

Résoudre des équations : Utiliser $e^A = e^B \iff A = B$ .
Étude de fonction : Calculer la dérivée en utilisant $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$ .
Calcul de limites : Appliquer les croissances comparées pour lever les formes indéterminées.

Exemples corrigés

Équation : $e^{2x} = e^3 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$ .
Dérivée : Soit $f(x) = e^{3x^2}$ . Alors $f'(x) = (3x^2)' \times e^{3x^2} = 6x e^{3x^2}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $e^x$ avec une fonction puissance (ex: $x^e$ ).
Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif : $e^x > 0$ pour tout $x$ .
Se tromper dans le signe de la dérivée de $e^{-x}$ qui est $-e^{-x}$ .

L'essentiel du cours

La fonction exponentielle, notée $\exp(x)$ ou $e^x$, est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$.

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in \mathbb{R}$, $e^{a+b} = e^a \times e^b$, $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$, et $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$.
Limites fondamentales : $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.
Croissances comparées : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ (pour tout $n \in \mathbb{N}^*$).

Méthodes à maîtriser

Résoudre des équations : Utiliser $e^A = e^B \iff A = B$.
Étude de fonction : Calculer la dérivée en utilisant $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.
Calcul de limites : Appliquer les croissances comparées pour lever les formes indéterminées.

Exemples corrigés

Équation : $e^{2x} = e^3 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$.
Dérivée : Soit $f(x) = e^{3x^2}$. Alors $f'(x) = (3x^2)' \times e^{3x^2} = 6x e^{3x^2}$.

Erreurs fréquentes

Confondre $e^x$ avec une fonction puissance (ex: $x^e$).
Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif : $e^x > 0$ pour tout $x$.
Se tromper dans le signe de la dérivée de $e^{-x}$ qui est $-e^{-x}$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 الدالة الآسية

1/4

Quelle est la valeur de $e^{\ln(2)}$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que e^x est au programme pour les sciences économiques ?

Oui, c'est un chapitre fondamental pour l'étude des fonctions de coût et de profit dans votre filière.

💡 À retenir : Maîtrisez bien les limites et les dérivées pour réussir l'examen.

Kifach n7seb l-nihaya dyal e^x f-l-mohim?

Ila kanti f-l-moujab $(+\infty)$ , $e^x$ kat-mchi l-moujab $(+\infty)$ .
Ila kanti f-l-salib $(-\infty)$ , $e^x$ kat-mchi l-sifr $(0)$ .

💡 À retenir : $e^x$ kat-kber b-sr3a kbira f-l-moujab, o kat-t-lachi l-sifr f-l-salib.

Ila kanti f-l-moujab $(+\infty)$, $e^x$ kat-mchi l-moujab $(+\infty)$.
Ila kanti f-l-salib $(-\infty)$, $e^x$ kat-mchi l-sifr $(0)$.

💡 À retenir : $e^x$ kat-kber b-sr3a kbira f-l-moujab, o kat-t-lachi l-sifr f-l-salib.

Wach e^x ymken t-koun saliba?

Non, d-dala l-ossiya $e^x$ hiya dima moujaba 9at3an (strictement positive) f-g3 l-majalat.

💡 À retenir : $e^x > 0$ dima, hadchi bach l-mounhana dyalha dima fou9 m-h-war l-afasil.

Non, d-dala l-ossiya $e^x$ hiya dima moujaba 9at3an (strictement positive) f-g3 l-majalat.

💡 À retenir : $e^x > 0$ dima, hadchi bach l-mounhana dyalha dima fou9 m-h-war l-afasil.

Kifach n-chti9 e^{2x+1}?

Kanhbto l-mou3amil dyal $x$ (li howa 2) 9dam l-t-3bir.
Kan-khliw $e^{2x+1}$ kifma hiya.
L-natija hiya $2e^{2x+1}$ .

💡 À retenir : $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$ .

Kanhbto l-mou3amil dyal $x$ (li howa 2) 9dam l-t-3bir.
Kan-khliw $e^{2x+1}$ kifma hiya.
L-natija hiya $2e^{2x+1}$.

💡 À retenir : $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.

Comment résoudre e^x = 5 ?

Pour isoler $x$ , on utilise la fonction réciproque qui est le logarithme népérien ( $\ln$ ).

On applique $\ln$ des deux côtés : $\ln(e^x) = \ln(5)$ .
Comme $\ln(e^x) = x$ , on obtient $x = \ln(5)$ .

💡 À retenir : $e^x = a \iff x = \ln(a)$ (avec $a > 0$ ).

Pour isoler $x$, on utilise la fonction réciproque qui est le logarithme népérien ($\ln$).

On applique $\ln$ des deux côtés : $\ln(e^x) = \ln(5)$.
Comme $\ln(e^x) = x$, on obtient $x = \ln(5)$.

💡 À retenir : $e^x = a \iff x = \ln(a)$ (avec $a > 0$).

Quelle est la dérivée de x cdot e^x ?

Il faut utiliser la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$ .

$u = x \implies u' = 1$ .
$v = e^x \implies v' = e^x$ .
$(x \cdot e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x)$ .

💡 À retenir : Toujours identifier $u$ et $v$ avant de dériver.

Il faut utiliser la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$.

$u = x \implies u' = 1$.
$v = e^x \implies v' = e^x$.
$(x \cdot e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x)$.

💡 À retenir : Toujours identifier $u$ et $v$ avant de dériver.

Pourquoi lim{x to -infty} x e^x = 0 ?

C'est une règle de croissance comparée. En $-\infty$ , l'exponentielle "l'emporte" sur n'importe quel polynôme. Elle décroît vers 0 beaucoup plus vite que $x$ ne tend vers $-\infty$ .

💡 À retenir : En $-\infty$ , $e^x$ gagne toujours contre les puissances de $x$ .

C'est une règle de croissance comparée. En $-\infty$, l'exponentielle "l'emporte" sur n'importe quel polynôme. Elle décroît vers 0 beaucoup plus vite que $x$ ne tend vers $-\infty$.

💡 À retenir : En $-\infty$, $e^x$ gagne toujours contre les puissances de $x$.

Comment étudier le signe de f(x) = e^x - 1 ?

On résout $e^x - 1 = 0 \implies e^x = 1 \implies x = 0$ .
Si $x > 0$ , alors $e^x > 1$ , donc $e^x - 1 > 0$ .
Si $x < 0$ , alors $e^x < 1$ , donc $e^x - 1 < 0$ .

💡 À retenir : Le signe dépend de la comparaison avec 1.

On résout $e^x - 1 = 0 \implies e^x = 1 \implies x = 0$.
Si $x > 0$, alors $e^x > 1$, donc $e^x - 1 > 0$.
Si $x < 0$, alors $e^x < 1$, donc $e^x - 1 < 0$.

💡 À retenir : Le signe dépend de la comparaison avec 1.

Est-ce que e^{a+b} = e^a + e^b ?

Non, c'est une erreur classique ! La règle est $e^{a+b} = e^a \times e^b$ .

💡 À retenir : L'exponentielle transforme les sommes en produits.

Non, c'est une erreur classique ! La règle est $e^{a+b} = e^a \times e^b$.

💡 À retenir : L'exponentielle transforme les sommes en produits.

Comment trouver l'asymptote de f(x) = e^x + x en -infty ?

Calculez $\lim_{x \to -\infty} (e^x + x)$ .
Comme $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ , la limite est $-\infty$ .
Vérifiez $\lim_{x \to -\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ .
Donc la droite $y = x$ est asymptote oblique en $-\infty$ .

💡 À retenir : Si $f(x) - (ax+b) \to 0$ , alors $y=ax+b$ est asymptote.

Calculez $\lim_{x \to -\infty} (e^x + x)$.
Comme $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$, la limite est $-\infty$.
Vérifiez $\lim_{x \to -\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.
Donc la droite $y = x$ est asymptote oblique en $-\infty$.

💡 À retenir : Si $f(x) - (ax+b) \to 0$, alors $y=ax+b$ est asymptote.

Est-ce que la fonction exponentielle est toujours croissante ?

Oui, car sa dérivée est $e^x$ , qui est toujours strictement positive sur $\mathbb{R}$ . Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : $e^x$ est une fonction strictement croissante.

Oui, car sa dérivée est $e^x$, qui est toujours strictement positive sur $\mathbb{R}$. Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : $e^x$ est une fonction strictement croissante.

Comment calculer la primitive de e^{2x} ?

La primitive de $e^{ax}$ est $\frac{1}{a}e^{ax} + C$ . Ici, $a=2$ , donc la primitive est $\frac{1}{2}e^{2x} + C$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier la constante $C$ .

La primitive de $e^{ax}$ est $\frac{1}{a}e^{ax} + C$. Ici, $a=2$, donc la primitive est $\frac{1}{2}e^{2x} + C$.

💡 À retenir : Ne pas oublier la constante $C$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-1)e^x$ .

Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$ .
Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x=0$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-1)e^x$.

Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x=0$.

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Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $e^{2x} - 4e^x + 3 \leq 0$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $e^{2x} - 4e^x + 3 \leq 0$.

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Exercice 3

Calculer l'intégrale $I = \int_{0}^{1} x e^{x^2} dx$ .

Exercice 3

Calculer l'intégrale $I = \int_{0}^{1} x e^{x^2} dx$.

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