Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Économiques

الاشتقاق و دراسة الدوال الجذرية ثانية باك علوم التدبير المحاسباتي والإقتصاد

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ .
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Règles de dérivation : $(u+v)' = u'+v'$ , $(uv)' = u'v+uv'$ , $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ , $(u^n)' = n u' u^{n-1}$ .
Monotonie : Si $f'(x) > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante. Si $f'(x) < 0$ , elle est strictement décroissante.
Extremums : Si $f'$ s'annule en $c$ en changeant de signe, alors $f(c)$ est un extremum.

Méthodes à maîtriser

Calculer la dérivée : Identifier la forme de la fonction (somme, produit, quotient).
Étudier le signe de $f'(x)$ : Utiliser le discriminant $\Delta$ pour les polynômes de degré 2.
Dresser le tableau de variations : Placer les zéros de $f'$ et les limites aux bornes.
Déterminer l'équation de la tangente : Appliquer la formule directement.

Exemples corrigés

Dérivée : $f(x) = x^2 + 3x - 1 \implies f'(x) = 2x + 3$ .
Tangente : Pour $f(x)=x^2$ en $a=1$ , $f(1)=1$ et $f'(1)=2$ . L'équation est $y = 2(x-1)+1 = 2x-1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser l'intervalle de dérivabilité.
Erreur de signe lors du calcul de la dérivée d'un quotient.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec le signe de $f(x)$ .

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$.
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Règles de dérivation : $(u+v)' = u'+v'$, $(uv)' = u'v+uv'$, $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$, $(u^n)' = n u' u^{n-1}$.
Monotonie : Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante. Si $f'(x) < 0$, elle est strictement décroissante.
Extremums : Si $f'$ s'annule en $c$ en changeant de signe, alors $f(c)$ est un extremum.

Méthodes à maîtriser

Calculer la dérivée : Identifier la forme de la fonction (somme, produit, quotient).
Étudier le signe de $f'(x)$ : Utiliser le discriminant $\Delta$ pour les polynômes de degré 2.
Dresser le tableau de variations : Placer les zéros de $f'$ et les limites aux bornes.
Déterminer l'équation de la tangente : Appliquer la formule directement.

Exemples corrigés

Dérivée : $f(x) = x^2 + 3x - 1 \implies f'(x) = 2x + 3$.
Tangente : Pour $f(x)=x^2$ en $a=1$, $f(1)=1$ et $f'(1)=2$. L'équation est $y = 2(x-1)+1 = 2x-1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser l'intervalle de dérivabilité.
Erreur de signe lors du calcul de la dérivée d'un quotient.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec le signe de $f(x)$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 الاشتقاق و دراسة الدوال الجذرية ثانية باك علوم التدبير المحاسباتي والإقتصاد

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Quelle est la dérivée de $f(x) = 5x^2$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach ddaala dérivable f noqta a ?

Pour savoir si $f$ est dérivable en $a$ , tu dois calculer la limite suivante : $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ . Si tu trouves un nombre réel fini (pas l'infini), alors $f$ est dérivable en $a$ et ce nombre est $f'(a)$ .

💡 À retenir : Si la limite donne $\infty$ , la fonction n'est pas dérivable en $a$ .

Pour savoir si $f$ est dérivable en $a$, tu dois calculer la limite suivante : $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$. Si tu trouves un nombre réel fini (pas l'infini), alors $f$ est dérivable en $a$ et ce nombre est $f'(a)$.

💡 À retenir : Si la limite donne $\infty$, la fonction n'est pas dérivable en $a$.

Chno hiya l3ala9a bin lmochti9a o rrataba dyal ddaala ?

La dérivée est l'outil qui nous donne le sens de variation :

Si $f'(x) > 0$ , la fonction est strictement croissante.
Si $f'(x) < 0$ , la fonction est strictement décroissante.
Si $f'(x) = 0$ , la fonction est constante sur l'intervalle.

💡 À retenir : Le signe de $f'(x)$ dicte la direction de la courbe.

La dérivée est l'outil qui nous donne le sens de variation :

Si $f'(x) > 0$, la fonction est strictement croissante.
Si $f'(x) < 0$, la fonction est strictement décroissante.
Si $f'(x) = 0$, la fonction est constante sur l'intervalle.

💡 À retenir : Le signe de $f'(x)$ dicte la direction de la courbe.

Kifach n7seb lmo3adala dyal lmamass ?

C'est une formule directe à apprendre par cœur : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

Calcule $f(a)$ .
Calcule $f'(x)$ puis $f'(a)$ .
Remplace dans la formule et développe.

💡 À retenir : Ne confonds pas $x$ (variable) et $a$ (point donné).

C'est une formule directe à apprendre par cœur : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

Calcule $f(a)$.
Calcule $f'(x)$ puis $f'(a)$.
Remplace dans la formule et développe.

💡 À retenir : Ne confonds pas $x$ (variable) et $a$ (point donné).

Est-ce que la dérivée d'une constante est toujours nulle ?

Oui, absolument. Si $f(x) = k$ (où $k$ est un nombre réel), alors $f'(x) = 0$ .

💡 À retenir : La dérivée mesure la variation ; une constante ne varie pas, donc sa dérivée est nulle.

Oui, absolument. Si $f(x) = k$ (où $k$ est un nombre réel), alors $f'(x) = 0$.

💡 À retenir : La dérivée mesure la variation ; une constante ne varie pas, donc sa dérivée est nulle.

Comment dériver f(x) = frac{1}{x} ?

On utilise la formule $(\frac{1}{v})' = -\frac{v'}{v^2}$ . Ici $v=x$ , donc $v'=1$ . La dérivée est $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ .

💡 À retenir : Cette formule est très utile pour les fonctions rationnelles.

On utilise la formule $(\frac{1}{v})' = -\frac{v'}{v^2}$. Ici $v=x$, donc $v'=1$. La dérivée est $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.

💡 À retenir : Cette formule est très utile pour les fonctions rationnelles.

Pourquoi on étudie le signe de la dérivée ?

Pour construire le tableau de variations. Sans le signe de $f'(x)$ , on ne peut pas savoir si la courbe monte ou descend.

💡 À retenir : $f'(x)$ est le "GPS" de la fonction.

Pour construire le tableau de variations. Sans le signe de $f'(x)$, on ne peut pas savoir si la courbe monte ou descend.

💡 À retenir : $f'(x)$ est le "GPS" de la fonction.

Est-ce que f'(x) peut être nulle en plusieurs points ?

Oui, surtout pour les polynômes de degré 3 ou plus. Il faut alors mettre tous ces points dans le tableau de variations.

💡 À retenir : Chaque point où $f'(x)=0$ est un candidat pour un extremum.

Oui, surtout pour les polynômes de degré 3 ou plus. Il faut alors mettre tous ces points dans le tableau de variations.

💡 À retenir : Chaque point où $f'(x)=0$ est un candidat pour un extremum.

Comment savoir si la courbe admet une branche parabolique ?

Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$ , alors la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

💡 À retenir : C'est une information cruciale pour le tracé graphique.

Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$, alors la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

💡 À retenir : C'est une information cruciale pour le tracé graphique.

Est-ce que la dérivée d'un produit (uv)' est u'v' ?

Non, c'est l'erreur la plus classique ! La formule correcte est $(uv)' = u'v + uv'$ .

💡 À retenir : La dérivation d'un produit est une somme de deux termes.

Non, c'est l'erreur la plus classique ! La formule correcte est $(uv)' = u'v + uv'$.

💡 À retenir : La dérivation d'un produit est une somme de deux termes.

Comment trouver les points d'intersection avec l'axe des abscisses ?

Il faut résoudre l'équation $f(x) = 0$ .

💡 À retenir : Ces points sont les racines de la fonction.

Il faut résoudre l'équation $f(x) = 0$.

💡 À retenir : Ces points sont les racines de la fonction.

Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?

C'est le point où la courbe change de concavité (elle passe de "creuse" à "bombée" ou inversement).

💡 À retenir : Il correspond souvent à l'annulation de la dérivée seconde $f''(x)$ .

C'est le point où la courbe change de concavité (elle passe de "creuse" à "bombée" ou inversement).

💡 À retenir : Il correspond souvent à l'annulation de la dérivée seconde $f''(x)$.

Est-ce que toutes les fonctions sont dérivables sur leur domaine de définition ?

Non. Par exemple, $f(x) = \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en $0$ .

💡 À retenir : Vérifie toujours les points de non-dérivabilité (souvent aux bornes).

Non. Par exemple, $f(x) = \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en $0$.

💡 À retenir : Vérifie toujours les points de non-dérivabilité (souvent aux bornes).

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Calculer $f'(x)$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ .

Exercice 1

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Calculer $f'(x)$.
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.
Dresser le tableau de variations de $f$.

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Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ .

Déterminer $D_f$ .
Calculer $f'(x)$ .
Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $]1, +\infty[$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$.

Déterminer $D_f$.
Calculer $f'(x)$.
Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $]1, +\infty[$.

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Exercice 3

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 2$ .

Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$ .
Déterminer les points d'inflexion.
Tracer l'allure de la courbe.

Exercice 3

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$.
Déterminer les points d'inflexion.
Tracer l'allure de la courbe.

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