Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Économiques

التكامل والدوال الأصلية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. La Primitive On dit qu'une fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur un intervalle $I$ si pour tout $x \in I$ : $F'(x) = f(x)$ Toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F(x) + C$ , où $C$ est une constante réelle.

2. Calcul de l'intégrale Si $f$ est une fonction continue sur $[a, b]$ et $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$ , alors l'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est : $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$

3. Propriétés de l'intégrale

Linéarité : $\int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) \, dx$
Relation de Chasles : $\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{b}^{c} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx$

4. Calcul d'aire Si $f$ est une fonction positive sur $[a, b]$ , l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par la courbe $C_f$ , l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ est : $\mathcal{A} = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \text{ (en unités d'aire)}$

Méthodes à maîtriser

Trouver une primitive : Utiliser les formules de base (ex: $x^n \rightarrow \frac{x^{n+1}}{n+1}$ ).
Calculer une intégrale :
- Étape 1 : Trouver une primitive $F$ de la fonction.
- Étape 2 : Appliquer la formule $F(b) - F(a)$ .
Calculer une aire : Vérifier d'abord si la fonction est positive sur l'intervalle, puis calculer l'intégrale.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calcul simple Calculer $I = \int_{1}^{2} 3x^2 \, dx$ . Solution :

Une primitive de $f(x) = 3x^2$ est $F(x) = x^3$ (car $(x^3)' = 3x^2$ ).
$I = [x^3]_{1}^{2} = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7$ .

Exemple 2 : Utilisation de l'exponentielle Calculer $J = \int_{0}^{1} e^x \, dx$ . Solution :

Une primitive de $e^x$ est $F(x) = e^x$ .
$J = [e^x]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1$ .

Erreurs fréquentes

Erreur de signe : Inverser $F(b) - F(a)$ par $F(a) - F(b)$ . Toujours faire (Borne du haut) - (Borne du bas).
Oubli de la puissance : Pour $x^n$ , la primitive est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ et non $x^{n+1}$ .
Calcul d'aire : Oublier que l'aire doit toujours être un résultat positif.

L'essentiel du cours

1. La Primitive On dit qu'une fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur un intervalle $I$ si pour tout $x \in I$ : $$F'(x) = f(x)$$ Toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F(x) + C$, où $C$ est une constante réelle.

2. Calcul de l'intégrale Si $f$ est une fonction continue sur $[a, b]$ et $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$, alors l'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est : $$\int_{a}^{b} f(x) , dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$

3. Propriétés de l'intégrale

Linéarité : $\int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x)) , dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) , dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) , dx$
Relation de Chasles : $\int_{a}^{b} f(x) , dx + \int_{b}^{c} f(x) , dx = \int_{a}^{c} f(x) , dx$

4. Calcul d'aire Si $f$ est une fonction positive sur $[a, b]$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ est : $$\mathcal{A} = \int_{a}^{b} f(x) , dx \text{ (en unités d'aire)}$$

Méthodes à maîtriser

Trouver une primitive : Utiliser les formules de base (ex: $x^n \rightarrow \frac{x^{n+1}}{n+1}$).
Calculer une intégrale :
- Étape 1 : Trouver une primitive $F$ de la fonction.
- Étape 2 : Appliquer la formule $F(b) - F(a)$.
Calculer une aire : Vérifier d'abord si la fonction est positive sur l'intervalle, puis calculer l'intégrale.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calcul simple Calculer $I = \int_{1}^{2} 3x^2 , dx$. Solution :

Une primitive de $f(x) = 3x^2$ est $F(x) = x^3$ (car $(x^3)' = 3x^2$).
$I = [x^3]_{1}^{2} = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7$.

Exemple 2 : Utilisation de l'exponentielle Calculer $J = \int_{0}^{1} e^x , dx$. Solution :

Une primitive de $e^x$ est $F(x) = e^x$.
$J = [e^x]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1$.

Erreurs fréquentes

Erreur de signe : Inverser $F(b) - F(a)$ par $F(a) - F(b)$. Toujours faire (Borne du haut) - (Borne du bas).
Oubli de la puissance : Pour $x^n$, la primitive est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ et non $x^{n+1}$.
Calcul d'aire : Oublier que l'aire doit toujours être un résultat positif.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 التكامل والدوال الأصلية

1/4

Quelle est une primitive de $f(x) = 4x^3$ ?

❓ Questions fréquentes

Quelle est la primitive de f(x) = frac{1}{x} ?

Sur l'intervalle $]0, +\infty[$ , la primitive de $\frac{1}{x}$ est : $F(x) = \ln(x)$

💡 À retenir : C'est une formule fondamentale à connaître par cœur.

Sur l'intervalle $]0, +\infty[$, la primitive de $\frac{1}{x}$ est : $$F(x) = \ln(x)$$

💡 À retenir : C'est une formule fondamentale à connaître par cœur.

Est-ce que int{a}^{b} f(x) , dx = int{b}^{a} f(x) , dx ?

Non. Si on inverse les bornes, le signe change : $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$

💡 À retenir : Toujours respecter l'ordre (Borne du haut - Borne du bas).

Non. Si on inverse les bornes, le signe change : $$\int_{a}^{b} f(x) , dx = -\int_{b}^{a} f(x) , dx$$

💡 À retenir : Toujours respecter l'ordre (Borne du haut - Borne du bas).

Comment trouver la primitive de f(x) = x^n ?

Pour tout nombre réel $n \neq -1$ , la primitive de $x^n$ est : $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ Exemple : Pour $x^2$ , la primitive est $\frac{x^3}{3}$ .

💡 À retenir : On ajoute 1 à l'exposant et on divise par ce nouvel exposant.

Pour tout nombre réel $n \neq -1$, la primitive de $x^n$ est : $$F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$$ Exemple : Pour $x^2$, la primitive est $\frac{x^3}{3}$.

💡 À retenir : On ajoute 1 à l'exposant et on divise par ce nouvel exposant.

Kifach n7seb l-moussa7a (l'aire) ta7t l-mounhani?

Si la fonction $f$ est positive sur $[a, b]$ :

Identifier les bornes $a$ et $b$ .
Trouver une primitive $F$ de $f$ .
Calculer l'intégrale $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$ . Le résultat est l'aire.

💡 À retenir : Aire = Intégrale (si la fonction est positive).

Si la fonction $f$ est positive sur $[a, b]$ :

Identifier les bornes $a$ et $b$.
Trouver une primitive $F$ de $f$.
Calculer l'intégrale $\int_{a}^{b} f(x) , dx = F(b) - F(a)$. Le résultat est l'aire.

💡 À retenir : Aire = Intégrale (si la fonction est positive).

Chno hiya l-farq bin primitive w l-integral?

La primitive est une fonction $F$ dont la dérivée est $f$ . L'intégrale est un nombre réel qui représente une valeur (souvent une aire).

Primitive $\rightarrow$ Fonction.
Intégrale $\rightarrow$ Nombre.

💡 À retenir : La primitive est l'outil, l'intégrale est le résultat du calcul.

La primitive est une fonction $F$ dont la dérivée est $f$. L'intégrale est un nombre réel qui représente une valeur (souvent une aire).

Primitive $\rightarrow$ Fonction.
Intégrale $\rightarrow$ Nombre.

💡 À retenir : La primitive est l'outil, l'intégrale est le résultat du calcul.

Chno ndir ila kant l-dalsa fiha l-jam3 (ex: x + e^x)?

On utilise la linéarité. On calcule l'intégrale de chaque partie séparément : $\int (x + e^x) \, dx = \int x \, dx + \int e^x \, dx$

💡 À retenir : On peut séparer les termes additionnés.

On utilise la linéarité. On calcule l'intégrale de chaque partie séparément : $$\int (x + e^x) , dx = \int x , dx + \int e^x , dx$$

💡 À retenir : On peut séparer les termes additionnés.

Quelle est la primitive de f(x) = e^{ax} ?

La primitive de $e^{ax}$ (avec $a \neq 0$ ) est : $F(x) = \frac{1}{a} e^{ax}$

💡 À retenir : On divise par le coefficient devant le $x$ .

La primitive de $e^{ax}$ (avec $a \neq 0$) est : $$F(x) = \frac{1}{a} e^{ax}$$

💡 À retenir : On divise par le coefficient devant le $x$.

Peut-on calculer une intégrale si la fonction n'est pas continue ?

Dans le programme de la 2ème Bac Économie, on travaille uniquement avec des fonctions continues pour pouvoir calculer l'intégrale.

💡 À retenir : La continuité est la condition de base.

Si F est une primitive de f, est-ce que F(x) + 5 est aussi une primitive ?

Oui. Ajouter une constante $C$ ne change pas la dérivée car la dérivée d'une constante est $0$ . $(F(x) + 5)' = F'(x) + 0 = f(x)$

💡 À retenir : Une fonction a une infinité de primitives.

Oui. Ajouter une constante $C$ ne change pas la dérivée car la dérivée d'une constante est $0$. $$ (F(x) + 5)' = F'(x) + 0 = f(x) $$

💡 À retenir : Une fonction a une infinité de primitives.

Comment calculer int{a}^{a} f(x) , dx ?

Si les bornes sont identiques, l'intégrale est toujours égale à 0. $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = F(a) - F(a) = 0$

💡 À retenir : Pas d'intervalle = pas d'aire = 0.

Si les bornes sont identiques, l'intégrale est toujours égale à 0. $$\int_{a}^{a} f(x) , dx = F(a) - F(a) = 0$$

💡 À retenir : Pas d'intervalle = pas d'aire = 0.

Quelle est la primitive de f(x) = text{constante } k ?

La primitive d'un nombre $k$ est : $F(x) = kx$ Exemple : La primitive de $5$ est $5x$ .

💡 À retenir : On ajoute simplement un $x$ .

La primitive d'un nombre $k$ est : $$F(x) = kx$$ Exemple : La primitive de $5$ est $5x$.

💡 À retenir : On ajoute simplement un $x$.

L'intégrale d'une fonction négative est-elle négative ?

Oui, si $f(x) \leq 0$ sur $[a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq 0$ . Dans ce cas, l'aire est égale à $-\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ .

💡 À retenir : L'intégrale peut être négative, mais une aire est toujours positive.

Oui, si $f(x) \leq 0$ sur $[a, b]$, alors $\int_{a}^{b} f(x) , dx \leq 0$. Dans ce cas, l'aire est égale à $-\int_{a}^{b} f(x) , dx$.

💡 À retenir : L'intégrale peut être négative, mais une aire est toujours positive.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) Soit la fonction $f$ définie sur $[0, 3]$ par $f(x) = 2x + 1$ .

Calculer l'intégrale $I = \int_{0}^{3} f(x) \, dx$ .
Interpréter le résultat géométriquement.

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) Soit la fonction $f$ définie sur $[0, 3]$ par $f(x) = 2x + 1$.

Calculer l'intégrale $I = \int_{0}^{3} f(x) , dx$.
Interpréter le résultat géométriquement.

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Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) Soit $g$ la fonction définie sur $[1, e]$ par $g(x) = \frac{1}{x} + e^x$ .

Calculer $J = \int_{1}^{e} g(x) \, dx$ .
Soit $h(x) = 2g(x)$ . Calculer $\int_{1}^{e} h(x) \, dx$ .

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) Soit $g$ la fonction définie sur $[1, e]$ par $g(x) = \frac{1}{x} + e^x$.

Calculer $J = \int_{1}^{e} g(x) , dx$.
Soit $h(x) = 2g(x)$. Calculer $\int_{1}^{e} h(x) , dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen National) Soit $f$ la fonction continue sur $[0, 2]$ définie par $f(x) = 3x^2 - 4x$ .

Calculer $I = \int_{0}^{2} f(x) \, dx$ .
Soit $F$ la primitive de $f$ telle que $F(0) = 5$ . Déterminer l'expression de $F(x)$ .
Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=2$ . (Attention : la fonction change de signe).

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen National) Soit $f$ la fonction continue sur $[0, 2]$ définie par $f(x) = 3x^2 - 4x$.

Calculer $I = \int_{0}^{2} f(x) , dx$.
Soit $F$ la primitive de $f$ telle que $F(0) = 5$. Déterminer l'expression de $F(x)$.
Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=2$. (Attention : la fonction change de signe).

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