Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Économiques

المتتاليات العددية مادة الرياضيات الثانية باكالوريا علوم اقتصادية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une suite numérique $(u_n)_{n \geq n_0}$ est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$ .

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ .
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ . Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$ .
Monotonie : On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ . Si $>0$ croissante, si $<0$ décroissante.
Convergence : Une suite est convergente si $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ (où $L \in \mathbb{R}$ ).

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Étude de signe : Pour la monotonie, calculer $u_{n+1} - u_n$ .
Calcul de limite : Utiliser les limites usuelles des suites ( $n^k, q^n$ ).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $u_n = 3n + 2$ . $u_{n+1} - u_n = 3(n+1)+2 - (3n+2) = 3 > 0$ . Donc $(u_n)$ est croissante. Exemple 2 : Soit $v_n = 5 \cdot 2^n$ . $v_{n+1}/v_n = (5 \cdot 2^{n+1}) / (5 \cdot 2^n) = 2$ . C'est une suite géométrique de raison $q=2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier l'étape d'initialisation dans la récurrence.
Confondre la formule du terme général d'une suite arithmétique et géométrique.
Croire qu'une suite qui n'est pas croissante est forcément décroissante (elle peut être non monotone).

L'essentiel du cours

Une suite numérique $(u_n)_{n \geq n_0}$ est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$.

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$.
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$. Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$.
Monotonie : On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$. Si $>0$ croissante, si $<0$ décroissante.
Convergence : Une suite est convergente si $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ (où $L \in \mathbb{R}$).

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Étude de signe : Pour la monotonie, calculer $u_{n+1} - u_n$.
Calcul de limite : Utiliser les limites usuelles des suites ($n^k, q^n$).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $u_n = 3n + 2$. $u_{n+1} - u_n = 3(n+1)+2 - (3n+2) = 3 > 0$. Donc $(u_n)$ est croissante. Exemple 2 : Soit $v_n = 5 \cdot 2^n$. $v_{n+1}/v_n = (5 \cdot 2^{n+1}) / (5 \cdot 2^n) = 2$. C'est une suite géométrique de raison $q=2$.

Erreurs fréquentes

Oublier l'étape d'initialisation dans la récurrence.
Confondre la formule du terme général d'une suite arithmétique et géométrique.
Croire qu'une suite qui n'est pas croissante est forcément décroissante (elle peut être non monotone).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 المتتاليات العددية مادة الرياضيات الثانية باكالوريا علوم اقتصادية

1/4

La suite $u_n = 5n$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l'7ad l'awel ila bdat l'silsila b n0=0 ?

Il suffit de remplacer $n$ par 0 dans l'expression de $u_n$ . Par exemple, si $u_n = 2n + 5$ , alors $u_0 = 2(0) + 5 = 5$ .

💡 À retenir : Le premier terme dépend de l'indice de départ donné dans l'énoncé.

Il suffit de remplacer $n$ par 0 dans l'expression de $u_n$. Par exemple, si $u_n = 2n + 5$, alors $u_0 = 2(0) + 5 = 5$.

💡 À retenir : Le premier terme dépend de l'indice de départ donné dans l'énoncé.

Chno hiya l'far9 bin l'mou3adala t-taraoju3iya o l'7ad l'3am ?

La relation de récurrence ( $u_{n+1} = f(u_n)$ ) permet de calculer un terme à partir du précédent. Le terme général ( $u_n = ...$ ) permet de calculer n'importe quel terme directement avec $n$ .

💡 À retenir : Le terme général est l'objectif final pour étudier la limite.

La relation de récurrence ($u_{n+1} = f(u_n)$) permet de calculer un terme à partir du précédent. Le terme général ($u_n = ...$) permet de calculer n'importe quel terme directement avec $n$.

💡 À retenir : Le terme général est l'objectif final pour étudier la limite.

Kifach n3ref wach l'silsila 7issabiya wla handassiya ?

Calcule $u_1 - u_0$ et $u_2 - u_1$ . Si c'est la même valeur, c'est arithmétique.
Calcule $u_1 / u_0$ et $u_2 / u_1$ . Si c'est la même valeur, c'est géométrique.

💡 À retenir : Si aucune des deux ne fonctionne, la suite n'est ni l'une ni l'autre.

Calcule $u_1 - u_0$ et $u_2 - u_1$. Si c'est la même valeur, c'est arithmétique.
Calcule $u_1 / u_0$ et $u_2 / u_1$. Si c'est la même valeur, c'est géométrique.

💡 À retenir : Si aucune des deux ne fonctionne, la suite n'est ni l'une ni l'autre.

Comment démontrer par récurrence que un geq 0 ?

Initialisation : Vérifier pour le premier terme ( $u_0 \geq 0$ ).
Hérédité : Supposer $u_n \geq 0$ et montrer que $u_{n+1} \geq 0$ .
Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n$ .

💡 À retenir : L'hérédité est l'étape cruciale où l'on utilise l'hypothèse de récurrence.

Initialisation : Vérifier pour le premier terme ($u_0 \geq 0$).
Hérédité : Supposer $u_n \geq 0$ et montrer que $u_{n+1} \geq 0$.
Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n$.

💡 À retenir : L'hérédité est l'étape cruciale où l'on utilise l'hypothèse de récurrence.

Est-ce qu'une suite convergente est toujours monotone ?

Non. Une suite peut osciller autour de sa limite tout en s'en rapprochant (ex: $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$ ).

💡 À retenir : La convergence ne garantit pas la monotonie.

Non. Une suite peut osciller autour de sa limite tout en s'en rapprochant (ex: $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$).

💡 À retenir : La convergence ne garantit pas la monotonie.

Quelle est la limite de q^n si q 1 ?

Si $q > 1$ , alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$ .

💡 À retenir : La croissance exponentielle l'emporte toujours.

Si $q > 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.

💡 À retenir : La croissance exponentielle l'emporte toujours.

Comment montrer qu'une suite est majorée par 3 ?

Il faut montrer que $u_n \leq 3$ pour tout $n$ . Souvent, on étudie le signe de $u_n - 3$ ou on utilise la récurrence.

💡 À retenir : La récurrence est l'outil le plus puissant pour les majorations.

Il faut montrer que $u_n \leq 3$ pour tout $n$. Souvent, on étudie le signe de $u_n - 3$ ou on utilise la récurrence.

💡 À retenir : La récurrence est l'outil le plus puissant pour les majorations.

Si u{n+1} - un = -2, que dire de la suite ?

La suite est arithmétique de raison $r = -2$ . Comme $r < 0$ , la suite est strictement décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la raison détermine la monotonie d'une suite arithmétique.

La suite est arithmétique de raison $r = -2$. Comme $r < 0$, la suite est strictement décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la raison détermine la monotonie d'une suite arithmétique.

Peut-on utiliser la dérivée pour étudier la monotonie d'une suite ?

Oui, si $u_n = f(n)$ , alors le sens de variation de la suite est celui de la fonction $f$ sur $[n_0, +\infty[$ .

💡 À retenir : C'est une méthode rapide si $f$ est dérivable.

Oui, si $u_n = f(n)$, alors le sens de variation de la suite est celui de la fonction $f$ sur $[n_0, +\infty[$.

💡 À retenir : C'est une méthode rapide si $f$ est dérivable.

Quelle est la limite d'une suite arithmétique de raison r 0 ?

Elle tend vers $+\infty$ .

💡 À retenir : Une suite arithmétique ne peut converger que si sa raison est nulle.

Elle tend vers $+\infty$.

💡 À retenir : Une suite arithmétique ne peut converger que si sa raison est nulle.

Comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique ?

$S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$ .

💡 À retenir : Le nombre de termes est $(n - p + 1)$ .

$S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.

💡 À retenir : Le nombre de termes est $(n - p + 1)$.

Que signifie "suite bornée" ?

Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée (il existe $m$ et $M$ tels que $m \leq u_n \leq M$ ).

💡 À retenir : Toute suite convergente est bornée.

Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée (il existe $m$ et $M$ tels que $m \leq u_n \leq M$).

💡 À retenir : Toute suite convergente est bornée.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 3$ .

Calculer $u_1$ et $u_2$ .
Montrer que $(u_n)$ est arithmétique.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 3$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
Montrer que $(u_n)$ est arithmétique.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $(v_n)$ définie par $v_0 = 2$ et $v_{n+1} = 3v_n$ .

Montrer que $(v_n)$ est géométrique.
Calculer $v_n$ en fonction de $n$ .
Calculer $\lim_{n \to +\infty} v_n$ .

Exercice 2

Soit $(v_n)$ définie par $v_0 = 2$ et $v_{n+1} = 3v_n$.

Montrer que $(v_n)$ est géométrique.
Calculer $v_n$ en fonction de $n$.
Calculer $\lim_{n \to +\infty} v_n$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $(w_n)$ définie par $w_0 = 0$ et $w_{n+1} = \frac{1}{2}w_n + 1$ .

Montrer par récurrence que $w_n < 2$ pour tout $n$ .
Étudier la monotonie de $(w_n)$ .

Exercice 3

Soit $(w_n)$ définie par $w_0 = 0$ et $w_{n+1} = \frac{1}{2}w_n + 1$.

Montrer par récurrence que $w_n < 2$ pour tout $n$.
Étudier la monotonie de $(w_n)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

النهايات و الإتصال الاشتقاق و دراسة الدوال الجذرية ثانية باك علوم التدبير المحاسباتي والإقتصاد الدوال اللوغاريتمية التكامل والدوال الأصلية الدالة الآسية التعداد مادة الرياضيات مسلكي العلوم الإقتصادية والتدبير المحاسباتي المعادلات التفاضلية للثانية باكالوريا علوم التدبير المحاسباتي وعلوم الإقتصاد