Raisonnement logique · Prépa concours post-bac — CPGE (dossier & entretien)

Dénombrement et combinatoire

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Cardinal d'un ensemble : Soit $E$ un ensemble fini, $|E|$ ou $Card(E)$ désigne le nombre d'éléments de $E$ .
Principe multiplicatif : Si une expérience se décompose en $k$ étapes avec $n_1, n_2, \dots, n_k$ choix, le nombre total est $n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$ .
Arrangements : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (ordre important, sans répétition).
Permutations : $P_n = n!$ (ordre important, tous les éléments).
Combinaisons : $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (ordre non important).
Propriétés : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ et $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte, utiliser $A_n^k$ ou $n^k$ . Si l'ordre ne compte pas, utiliser $C_n^k$ .
Tirages :
- Simultanés : $C_n^k$ .
- Successifs sans remise : $A_n^k$ .
- Successifs avec remise : $n^k$ .
Principe des tiroirs : Si on range $n+1$ objets dans $n$ tiroirs, au moins un tiroir contient 2 objets.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Nombre de façons de choisir 3 élèves parmi 10 : $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .
Exemple 2 : Nombre de mots de 3 lettres distinctes dans l'alphabet (26 lettres) : $A_{26}^3 = 26 \times 25 \times 24 = 15600$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$ (oublier que dans $C_n^k$ , l'ordre n'importe pas).
Oublier la remise dans les tirages successifs.
Calculer $C_n^k$ en oubliant de diviser par $k!$ .

L'essentiel du cours

Cardinal d'un ensemble : Soit $E$ un ensemble fini, $|E|$ ou $Card(E)$ désigne le nombre d'éléments de $E$.
Principe multiplicatif : Si une expérience se décompose en $k$ étapes avec $n_1, n_2, \dots, n_k$ choix, le nombre total est $n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$.
Arrangements : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (ordre important, sans répétition).
Permutations : $P_n = n!$ (ordre important, tous les éléments).
Combinaisons : $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (ordre non important).
Propriétés : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ et $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$.

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte, utiliser $A_n^k$ ou $n^k$. Si l'ordre ne compte pas, utiliser $C_n^k$.
Tirages :
- Simultanés : $C_n^k$.
- Successifs sans remise : $A_n^k$.
- Successifs avec remise : $n^k$.
Principe des tiroirs : Si on range $n+1$ objets dans $n$ tiroirs, au moins un tiroir contient 2 objets.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Nombre de façons de choisir 3 élèves parmi 10 : $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
Exemple 2 : Nombre de mots de 3 lettres distinctes dans l'alphabet (26 lettres) : $A_{26}^3 = 26 \times 25 \times 24 = 15600$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$ (oublier que dans $C_n^k$, l'ordre n'importe pas).
Oublier la remise dans les tirages successifs.
Calculer $C_n^k$ en oubliant de diviser par $k!$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dénombrement et combinatoire

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Le nombre de façons de choisir 2 élèves parmi 5 est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'ordre compte dans un tirage simultané ?

Non, dans un tirage simultané, on considère que les éléments sont pris en même temps, donc l'ordre n'a aucune importance. On utilise toujours les combinaisons $C_n^k$ .

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Non, dans un tirage simultané, on considère que les éléments sont pris en même temps, donc l'ordre n'a aucune importance. On utilise toujours les combinaisons $C_n^k$.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Kifach n7seb l-3adad dyal l-imkaniyat ila kan l-istirja3 (remise) ?

Ila kan l-istirja3, kol marra kankono 3ndna nafs l-3adad dyal l-imkaniyat $n$ . Ila s7bna $k$ marrat, l-3adad howa $n^k$ .

💡 À retenir : Avec remise = $n^k$ .

Ila kan l-istirja3, kol marra kankono 3ndna nafs l-3adad dyal l-imkaniyat $n$. Ila s7bna $k$ marrat, l-3adad howa $n^k$.

💡 À retenir : Avec remise = $n^k$.

Quelle est la différence entre une permutation et un arrangement ?

Une permutation concerne tous les éléments d'un ensemble ( $n$ éléments parmi $n$ ).
Un arrangement concerne un sous-ensemble ( $k$ éléments parmi $n$ ).

💡 À retenir : Permutation = $n!$ ; Arrangement = $A_n^k$ .

Une permutation concerne tous les éléments d'un ensemble ($n$ éléments parmi $n$).
Un arrangement concerne un sous-ensemble ($k$ éléments parmi $n$).

💡 À retenir : Permutation = $n!$ ; Arrangement = $A_n^k$.

Chno hiya l-far9 bin l-istirja3 o bla istirja3 f l-tirtib ?

Bla istirja3 : l-3adad kayn9as kol marra ( $n \times (n-1) \times \dots$ ).
B-istirja3 : l-3adad kayb9a howa howa ( $n \times n \times \dots$ ).

💡 À retenir : Sans remise = $A_n^k$ ; Avec remise = $n^k$ .

Bla istirja3 : l-3adad kayn9as kol marra ($n \times (n-1) \times \dots$).
B-istirja3 : l-3adad kayb9a howa howa ($n \times n \times \dots$).

💡 À retenir : Sans remise = $A_n^k$ ; Avec remise = $n^k$.

Comment calculer le nombre de parties d'un ensemble à n éléments ?

Le nombre de parties d'un ensemble à $n$ éléments est donné par $2^n$ . Cela correspond à la somme des combinaisons $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ .

💡 À retenir : Card( $\mathcal{P}(E)$ ) = $2^n$ .

Le nombre de parties d'un ensemble à $n$ éléments est donné par $2^n$. Cela correspond à la somme des combinaisons $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$.

💡 À retenir : Card($\mathcal{P}(E)$) = $2^n$.

Kifach n3ref wach nst3ml Cn^k aw An^k f l-imti7an ?

Sowwel rassek : wach l-tirtib mohim ?
Ila kan l-tirtib mohim (ex: code, podium) $\rightarrow A_n^k$ .
Ila kan l-tirtib makayhmch (ex: l-a3da2 dyal l-lajna) $\rightarrow C_n^k$ .

💡 À retenir : Ordre = $A_n^k$ ; Groupe = $C_n^k$ .

Sowwel rassek : wach l-tirtib mohim ?
Ila kan l-tirtib mohim (ex: code, podium) $\rightarrow A_n^k$.
Ila kan l-tirtib makayhmch (ex: l-a3da2 dyal l-lajna) $\rightarrow C_n^k$.

💡 À retenir : Ordre = $A_n^k$ ; Groupe = $C_n^k$.

Est-ce que Cn^k = Cn^{n-k} est toujours vraie ?

Oui, cette propriété est fondamentale. Choisir $k$ éléments à garder revient exactement à choisir $n-k$ éléments à laisser de côté.

💡 À retenir : Symétrie des coefficients binomiaux.

Oui, cette propriété est fondamentale. Choisir $k$ éléments à garder revient exactement à choisir $n-k$ éléments à laisser de côté.

💡 À retenir : Symétrie des coefficients binomiaux.

Peut-on avoir k n dans Cn^k ?

Non, par définition, on ne peut pas choisir plus d'objets qu'il n'en existe. Dans ce cas, $C_n^k = 0$ .

💡 À retenir : Si $k > n$ , $C_n^k = 0$ .

Non, par définition, on ne peut pas choisir plus d'objets qu'il n'en existe. Dans ce cas, $C_n^k = 0$.

💡 À retenir : Si $k > n$, $C_n^k = 0$.

Pourquoi 0! = 1 ?

C'est une convention mathématique nécessaire pour que les formules comme $C_n^n = \frac{n!}{n!0!} = 1$ fonctionnent correctement.

💡 À retenir : $0! = 1$ par convention.

C'est une convention mathématique nécessaire pour que les formules comme $C_n^n = \frac{n!}{n!0!} = 1$ fonctionnent correctement.

💡 À retenir : $0! = 1$ par convention.

Comment dénombrer des arrangements avec répétition ?

Si on peut répéter les éléments et que l'ordre compte, on utilise $n^k$ où $n$ est le nombre d'éléments disponibles et $k$ le nombre de tirages.

💡 À retenir : Répétition autorisée + Ordre = $n^k$ .

Si on peut répéter les éléments et que l'ordre compte, on utilise $n^k$ où $n$ est le nombre d'éléments disponibles et $k$ le nombre de tirages.

💡 À retenir : Répétition autorisée + Ordre = $n^k$.

Est-ce que le principe multiplicatif s'applique toujours ?

Il s'applique dès que les choix sont indépendants les uns des autres. Si le choix de la deuxième étape dépend du résultat de la première, il faut diviser en cas.

💡 À retenir : Indépendance = Multiplication.

Quelle est la formule pour le nombre de permutations d'un ensemble ?

Pour $n$ éléments distincts, le nombre de permutations est $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$ .

💡 À retenir : $P_n = n!$ .

Pour $n$ éléments distincts, le nombre de permutations est $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$.

💡 À retenir : $P_n = n!$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 10 boules : 6 rouges et 4 vertes. On tire simultanément 3 boules.

Quel est le nombre de tirages possibles ?
Quel est le nombre de tirages contenant exactement 2 boules rouges ?

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Exercice 2

On veut former un code de 4 chiffres en utilisant les chiffres de 0 à 9.

Combien de codes sont possibles si les chiffres peuvent être répétés ?
Combien de codes sont possibles si les chiffres doivent être distincts ?

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Exercice 3

Dans une classe de 20 élèves, on doit élire un président, un secrétaire et un trésorier.

Combien de bureaux différents peut-on former ?

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