Probabilités discrètes et raisonnement probabiliste

Oui, par définition, un système complet d'événements $(A_1, A_2, ..., A_n)$ forme une partition de l'univers $\Omega$. Comme les événements sont deux à deux incompatibles et que leur réunion est $\Omega$, on a $\sum_{i=1}^n P(A_i) = P(\cup A_i) = P(\Omega) = 1$.

💡 À retenir : Un système complet couvre tout l'univers sans chevauchement.

1. Si l'ordre du tirage compte (ex: podium, numéro de téléphone), utilise les arrangements $A_n^k$.
2. Si l'ordre ne compte pas (ex: main de cartes, groupe de personnes), utilise les combinaisons $C_n^k$.

💡 À retenir : "Ordre important" = Arrangement ; "Ordre non important" = Combinaison.

Non, sauf si l'un des deux est de probabilité nulle. Si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A \cap B) = 0$. Pour être indépendants, il faudrait $P(A) \times P(B) = 0$, ce qui implique $P(A)=0$ ou $P(B)=0$.

💡 À retenir : Incompatibilité et indépendance sont deux notions opposées en général.

L'espérance mathématique est la valeur moyenne que l'on obtiendrait si l'on répétait l'expérience un très grand nombre de fois. C'est le "centre de gravité" des valeurs prises par la variable aléatoire, pondéré par leurs probabilités.

💡 À retenir : $E(X)$ représente la moyenne théorique à long terme.

On utilise la formule générale : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. On soustrait l'intersection car elle est comptée deux fois (une fois dans $P(A)$ et une fois dans $P(B)$).

💡 À retenir : Ne jamais oublier de retrancher l'intersection !

Oui, tout à fait. L'espérance mathématique est une moyenne pondérée. Si les valeurs prises par la variable aléatoire sont négatives (par exemple, un jeu où l'on perd de l'argent), l'espérance sera négative.

💡 À retenir : Le signe de l'espérance indique si le jeu est globalement gagnant ou perdant.

L'intersection $P(A \cap B)$ est la probabilité que $A$ ET $B$ se réalisent. La probabilité conditionnelle $P_B(A)$ est la probabilité que $A$ se réalise, sachant que $B$ est déjà réalisé (on réduit l'univers à $B$).

💡 À retenir : $P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A)$.

Oui, c'est la propriété fondamentale de l'événement contraire. Comme $A \cup \bar{A} = \Omega$ et $A \cap \bar{A} = \emptyset$, alors $P(A) + P(\bar{A}) = P(\Omega) = 1$.

💡 À retenir : Très utile pour calculer la probabilité d'un événement "au moins un".

Il faut calculer séparément $P(A \cap B)$ et le produit $P(A) \times P(B)$. Si les deux résultats sont identiques, alors les événements sont indépendants. Sinon, ils ne le sont pas.

💡 À retenir : Ne jamais supposer l'indépendance, il faut toujours la démontrer.

Parce que dans un modèle d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement est le rapport entre le nombre de cas favorables (ceux qui réalisent l'événement) et le nombre de cas possibles (l'univers).

💡 À retenir : $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.

Non, la variance est une somme de carrés pondérés par des probabilités. Comme un carré est toujours positif ou nul, la variance $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ est toujours positive.

💡 À retenir : Une variance négative indique une erreur de calcul.

On utilise Bayes quand on connaît les probabilités conditionnelles "directes" (ex: $P_A(B)$) et qu'on veut calculer la probabilité "inverse" (ex: $P_B(A)$). C'est souvent le cas dans les exercices de dépistage ou de fiabilité.

💡 À retenir : Bayes permet d'inverser le conditionnement.