Ensembles et opérations sur les ensembles

C'est une confusion classique. Voici la règle simple :

1. L'appartenance ($\in$) relie un élément à un ensemble. Exemple : $2 \in {1, 2, 3}$.
2. L'inclusion ($\subset$) relie un ensemble à un autre ensemble. Exemple : ${2} \subset {1, 2, 3}$.
3. Un ensemble peut être un élément d'un autre ensemble (ex: ${1} \in {{1}, 2}$), mais dans le cas général, si tu vois des accolades autour de l'élément, c'est souvent une inclusion.

💡 À retenir : Élément $\in$ Ensemble ; Ensemble $\subset$ Ensemble.

L'ensemble vide est un ensemble qui ne contient aucun élément.

1. Son cardinal est 0 ($card(\emptyset) = 0$).
2. Il est inclus dans n'importe quel ensemble $A$ ($\emptyset \subset A$).
3. Il est unique.
4. Attention : ${\emptyset}$ n'est pas vide, c'est un ensemble qui contient un élément (l'ensemble vide).

💡 À retenir : $\emptyset$ est le "zéro" des ensembles, présent partout par inclusion.

Les lois de Morgan servent à passer du complémentaire d'une union à l'intersection des complémentaires (et inversement).

1. $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ : Le "barre" globale se casse, et le $\cup$ devient $\cap$.
2. $\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$ : Le "barre" globale se casse, et le $\cap$ devient $\cup$. C'est très utile pour simplifier des expressions complexes ou transformer des conditions "OU" en "ET".

💡 À retenir : La barre inverse l'opération ($\cup \leftrightarrow \cap$) et s'applique à chaque morceau.

Non, l'ordre n'a aucune importance dans un ensemble.

1. ${1, 2, 3} = {3, 1, 2}$.
2. Les répétitions ne comptent pas non plus : ${1, 2, 2} = {1, 2}$.
3. L'ordre ne compte que dans les couples ou uplets (produit cartésien), notés avec des parenthèses $(a, b)$.

💡 À retenir : Ensemble = accolades ${ }$, ordre libre. Couple = parenthèses $( )$, ordre strict.

Il existe deux méthodes principales :

1. La double inclusion : Montrer que $A \subset B$ puis montrer que $B \subset A$. C'est la méthode la plus sûre.
2. L'équivalence logique : Partir de $x \in A$ et utiliser des équivalences successives ($\iff$) pour arriver à $x \in B$.
3. L'algèbre des ensembles : Utiliser les propriétés connues (distributivité, Morgan, etc.) pour transformer l'expression de $A$ jusqu'à obtenir $B$.

💡 À retenir : $A = B \iff (A \subset B \text{ et } B \subset A)$.

C'est un "ensemble d'ensembles". Ses éléments sont tous les sous-ensembles possibles de $E$.

1. Si $E = {a, b}$, alors $\mathcal{P}(E) = {\emptyset, {a}, {b}, {a, b}}$.
2. N'oublie jamais $\emptyset$ et $E$ lui-même.
3. Si $E$ a $n$ éléments, $\mathcal{P}(E)$ en a $2^n$.

💡 À retenir : $\mathcal{P}(E)$ contient des ensembles, donc $A \subset E \iff A \in \mathcal{P}(E)$.

La différence n'est pas commutative.

1. $A \setminus B$ contient les éléments qui sont dans $A$ mais pas dans $B$.
2. $B \setminus A$ contient les éléments qui sont dans $B$ mais pas dans $A$.
3. Exemple : $A={1, 2}$, $B={2, 3}$. $A \setminus B = {1}$ alors que $B \setminus A = {3}$.

💡 À retenir : $A \setminus B = A \cap \bar{B}$.

Une partition de $E$ est une famille de sous-ensembles de $E$ qui découpent $E$ sans rien oublier et sans chevauchement.

1. Aucun sous-ensemble n'est vide.
2. Leur intersection deux à deux est vide (ils sont disjoints).
3. Leur réunion est égale à $E$.

💡 À retenir : Une partition est un "puzzle" parfait de l'ensemble $E$.

On utilise la loi d'absorption (ou la distributivité pour le prouver).

1. On sait que $A \cap B \subset A$.
2. L'union d'un ensemble avec l'un de ses sous-ensembles est l'ensemble lui-même.
3. Donc $A \cup (A \cap B) = A$.

💡 À retenir : $A \cup (A \cap B) = A$ et $A \cap (A \cup B) = A$.

C'est l'ensemble des triplets $(x, y, z)$ tels que $x \in A, y \in B$ et $z \in C$.

1. L'ordre des éléments dans le triplet est crucial.
2. Le nombre d'éléments est le produit des cardinaux : $card(A) \times card(B) \times card(C)$.

💡 À retenir : Le produit cartésien crée des objets de dimension supérieure (couples, triplets).

Oui, mais dans un cas très précis.

1. On sait toujours que $A \cap B \subset A \cup B$.
2. Si $A \cap B = A \cup B$, cela implique que $A \subset B$ et $B \subset A$.
3. Donc, $A \cap B = A \cup B \iff A = B$.

💡 À retenir : L'égalité entre intersection et réunion impose l'égalité des ensembles.

On utilise souvent le raisonnement par l'absurde.

1. Supposons qu'il existe un élément $x$ tel que $x \in A \cap B$.
2. Cela signifie $x \in A$ et $x \in B$.
3. On cherche une contradiction avec les données de l'exercice.
4. Si on trouve une contradiction, alors $A \cap B$ ne peut pas contenir d'élément, donc il est vide.

💡 À retenir : Pour le vide, l'absurde est votre meilleur ami.