📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Une proposition $P$ est un énoncé mathématique qui est soit vrai (V), soit faux (F).
- Négation ($\neg P$) : $\neg P$ est vraie si $P$ est fausse.
- Conjonction ($P \land Q$) : Vraie seulement si $P$ et $Q$ sont vraies.
- Disjonction ($P \lor Q$) : Vraie si au moins l'une des deux est vraie.
- Implication ($P \implies Q$) : Fausse uniquement si $P$ est vraie et $Q$ est fausse.
- Équivalence ($P \iff Q$) : Vraie si $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité.
Méthodes à maîtriser
- Construction d'une table de vérité : Lister toutes les combinaisons ($2^n$ pour $n$ variables).
- Démonstration d'une équivalence : Montrer $P \implies Q$ et $Q \implies P$.
- Utilisation de la contraposée : Pour montrer $P \implies Q$, on montre $\neg Q \implies \neg P$.
- Preuve par l'absurde : Supposer $\neg P$ et aboutir à une contradiction.
Exemples corrigés
- Exemple 1 : Montrer que $\neg(P \land Q) \iff (\neg P \lor \neg Q)$ (Loi de De Morgan). Table de vérité : On vérifie que les colonnes sont identiques.
- Exemple 2 : Soit $x \in \mathbb{R}$. Montrer que $x^2 = 4 \implies x = 2$ ou $x = -2$. Méthode : C'est une implication directe par résolution d'équation.
Erreurs fréquentes
- Confondre l'implication ($P \implies Q$) avec l'équivalence ($P \iff Q$).
- Oublier que dans $P \implies Q$, si $P$ est faux, l'implication est toujours vraie.
- Mal nier une proposition : la négation de "Pour tout $x$, $P(x)$" n'est pas "Pour tout $x$, non $P(x)$" (à vérifier par le professeur : le chapitre des quantificateurs suit celui-ci).