Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences de Gestion Comptable

Suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$ ).
Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ .
Suite géométrique : $u_{n+1} = u_n \times q$ . Terme général : $u_n = u_p \times q^{n-p}$ .
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ . Si $>0$ croissante, si $<0$ décroissante.
Limites : $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$ si $|q|<1$ , et $+\infty$ si $q>1$ .

Méthodes à maîtriser

Démontrer par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Calculer la limite : Utiliser les propriétés des suites géométriques ou les théorèmes de comparaison.
Étudier la monotonie : Calculer $u_{n+1} - u_n$ ou comparer $u_{n+1}/u_n$ à 1 (pour les suites à termes positifs).

Exemples corrigés

Soit $u_{n+1} = 2u_n + 3$ avec $u_0 = 1$ . Calculer $u_1 = 2(1)+3 = 5$ et $u_2 = 2(5)+3 = 13$ .
Suite géométrique $v_n = 3 \times 2^n$ . Comme $q=2 > 1$ , alors $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$ .

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans le raisonnement par récurrence.
Confondre la formule $u_n = u_0 + nr$ avec $u_n = u_0 + (n-1)r$ .
Croire qu'une suite qui n'est pas croissante est forcément décroissante (elle peut être ni l'une ni l'autre).

L'essentiel du cours

Une suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$).
Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$.
Suite géométrique : $u_{n+1} = u_n \times q$. Terme général : $u_n = u_p \times q^{n-p}$.
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$. Si $>0$ croissante, si $<0$ décroissante.
Limites : $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$ si $|q|<1$, et $+\infty$ si $q>1$.

Méthodes à maîtriser

Démontrer par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Calculer la limite : Utiliser les propriétés des suites géométriques ou les théorèmes de comparaison.
Étudier la monotonie : Calculer $u_{n+1} - u_n$ ou comparer $u_{n+1}/u_n$ à 1 (pour les suites à termes positifs).

Exemples corrigés

Soit $u_{n+1} = 2u_n + 3$ avec $u_0 = 1$. Calculer $u_1 = 2(1)+3 = 5$ et $u_2 = 2(5)+3 = 13$.
Suite géométrique $v_n = 3 \times 2^n$. Comme $q=2 > 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$.

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans le raisonnement par récurrence.
Confondre la formule $u_n = u_0 + nr$ avec $u_n = u_0 + (n-1)r$.
Croire qu'une suite qui n'est pas croissante est forcément décroissante (elle peut être ni l'une ni l'autre).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Soit $u_n = 5 \times (0.8)^n$ . Quelle est sa limite ?

Soit $u_n = 5 \times (0.8)^n$. Quelle est sa limite ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre une suite arithmétique et géométrique ?

Une suite arithmétique augmente ou diminue par addition constante : $u_{n+1} = u_n + r$ .
Une suite géométrique augmente ou diminue par multiplication constante : $u_{n+1} = u_n \times q$ .

💡 À retenir : Arithmétique = Addition, Géométrique = Multiplication.

Une suite arithmétique augmente ou diminue par addition constante : $u_{n+1} = u_n + r$.
Une suite géométrique augmente ou diminue par multiplication constante : $u_{n+1} = u_n \times q$.

💡 À retenir : Arithmétique = Addition, Géométrique = Multiplication.

Kifach n-bini b'tari9at tarajo3 (récurrence) ?

Initialisation : Vérifie que la propriété est vraie pour le premier terme (souvent $n=0$ ).
Hérédité : Suppose que la propriété est vraie pour un rang $n$ , et montre qu'elle est vraie pour $n+1$ .
Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier de dire "Supposons que $P(n)$ est vraie".

Initialisation : Vérifie que la propriété est vraie pour le premier terme (souvent $n=0$).
Hérédité : Suppose que la propriété est vraie pour un rang $n$, et montre qu'elle est vraie pour $n+1$.
Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de dire "Supposons que $P(n)$ est vraie".

Chno hiya l'monotonie d'une suite ?

C'est étudier si la suite est croissante (les termes augmentent) ou décroissante (les termes diminuent). On calcule $u_{n+1} - u_n$ .

💡 À retenir : Si $u_{n+1} - u_n > 0$ , la suite est croissante.

C'est étudier si la suite est croissante (les termes augmentent) ou décroissante (les termes diminuent). On calcule $u_{n+1} - u_n$.

💡 À retenir : Si $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite est croissante.

Kifach n-7seb limite dyal suite géométrique ?

Il suffit de regarder la raison $q$ :

Si $q > 1$ , la limite est $+\infty$ .
Si $-1 < q < 1$ , la limite est $0$ .
Si $q \leq -1$ , la limite n'existe pas.

💡 À retenir : La limite dépend uniquement de la valeur de $q$ .

Il suffit de regarder la raison $q$ :

Si $q > 1$, la limite est $+\infty$.
Si $-1 < q < 1$, la limite est $0$.
Si $q \leq -1$, la limite n'existe pas.

💡 À retenir : La limite dépend uniquement de la valeur de $q$.

Est-ce qu'une suite bornée est forcément convergente ?

Non. Par exemple, la suite $u_n = (-1)^n$ est bornée (entre -1 et 1) mais elle ne converge pas car elle oscille.

💡 À retenir : Une suite convergente est toujours bornée, mais la réciproque est fausse.

Non. Par exemple, la suite $u_n = (-1)^n$ est bornée (entre -1 et 1) mais elle ne converge pas car elle oscille.

💡 À retenir : Une suite convergente est toujours bornée, mais la réciproque est fausse.

Comment montrer qu'une suite est majorée par 5 ?

Tu peux utiliser la récurrence :

Vérifie $u_0 \leq 5$ .
Suppose $u_n \leq 5$ et montre que $u_{n+1} \leq 5$ en utilisant l'expression de la suite.

💡 À retenir : La récurrence est l'outil principal pour les majorations.

Tu peux utiliser la récurrence :

Vérifie $u_0 \leq 5$.
Suppose $u_n \leq 5$ et montre que $u_{n+1} \leq 5$ en utilisant l'expression de la suite.

💡 À retenir : La récurrence est l'outil principal pour les majorations.

Chno hiya suite convergente ?

C'est une suite dont les termes se rapprochent d'un nombre réel fini $L$ quand $n$ devient très grand.

💡 À retenir : $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ avec $L \in \mathbb{R}$ .

C'est une suite dont les termes se rapprochent d'un nombre réel fini $L$ quand $n$ devient très grand.

💡 À retenir : $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ avec $L \in \mathbb{R}$.

Est-ce que je peux utiliser la dérivée pour étudier la monotonie d'une suite ?

Oui, si la suite est définie par $u_n = f(n)$ où $f$ est une fonction. Si $f'(x) > 0$ sur $[0, +\infty[$ , alors la suite est croissante.

💡 À retenir : La monotonie de la fonction entraîne celle de la suite.

Oui, si la suite est définie par $u_n = f(n)$ où $f$ est une fonction. Si $f'(x) > 0$ sur $[0, +\infty[$, alors la suite est croissante.

💡 À retenir : La monotonie de la fonction entraîne celle de la suite.

Pourquoi on étudie le signe de u{n+1} - un ?

Parce que si $u_{n+1} - u_n > 0$ , cela signifie que $u_{n+1} > u_n$ , donc chaque terme est plus grand que le précédent.

💡 À retenir : C'est la définition même de la croissance.

Parce que si $u_{n+1} - u_n > 0$, cela signifie que $u_{n+1} > u_n$, donc chaque terme est plus grand que le précédent.

💡 À retenir : C'est la définition même de la croissance.

Comment trouver le terme général d'une suite arithmétique ?

Il faut connaître le premier terme $u_0$ et la raison $r$ . La formule est $u_n = u_0 + nr$ .

💡 À retenir : Si on commence à $u_1$ , c'est $u_n = u_1 + (n-1)r$ .

Il faut connaître le premier terme $u_0$ et la raison $r$. La formule est $u_n = u_0 + nr$.

💡 À retenir : Si on commence à $u_1$, c'est $u_n = u_1 + (n-1)r$.

Qu'est-ce qu'une suite divergente ?

C'est une suite qui n'est pas convergente, c'est-à-dire que sa limite est $\pm \infty$ ou qu'elle n'a pas de limite du tout.

💡 À retenir : Divergente = pas de limite finie.

C'est une suite qui n'est pas convergente, c'est-à-dire que sa limite est $\pm \infty$ ou qu'elle n'a pas de limite du tout.

💡 À retenir : Divergente = pas de limite finie.

Est-ce que le programme demande de calculer la somme des termes ?

Oui, pour les suites arithmétiques et géométriques. Formule : $S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$ .

💡 À retenir : Nombre de termes = (dernier indice - premier indice) + 1.

Oui, pour les suites arithmétiques et géométriques. Formule : $S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.

💡 À retenir : Nombre de termes = (dernier indice - premier indice) + 1.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_0 = 2$ et $u_1 = 5$ .

Calculer la raison $r$ .
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer $u_{10}$ .

Exercice 1

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_0 = 2$ et $u_1 = 5$.

Calculer la raison $r$.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Calculer $u_{10}$.

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Exercice 2

Soit $(v_n)$ une suite géométrique telle que $v_0 = 3$ et $v_2 = 12$ . Sachant que $v_n > 0$ , déterminer la raison $q$ et exprimer $v_n$ en fonction de $n$ .

Exercice 2

Soit $(v_n)$ une suite géométrique telle que $v_0 = 3$ et $v_2 = 12$. Sachant que $v_n > 0$, déterminer la raison $q$ et exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

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Exercice 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ .

Montrer par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n$ .
Étudier la monotonie de $(u_n)$ .

Exercice 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$.

Montrer par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n$.
Étudier la monotonie de $(u_n)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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