Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences de Gestion Comptable

Dérivabilité et étude de fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dérivabilité en $a$ : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$ .
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ , $(uv)' = u'v+uv'$ , $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ .
Monotonie : Si $f'(x) > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante. Si $f'(x) < 0$ , elle est strictement décroissante.
Concavité : Si $f''(x) > 0$ , la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f''(x) < 0$ , elle est concave.

Méthodes à maîtriser

Étude de dérivabilité : Calculer la limite du taux d'accroissement.
Étude de fonction : Déterminer le domaine, les limites aux bornes, calculer $f'(x)$ , dresser le tableau de variations.
Recherche d'asymptotes : $\lim_{x \to \infty} f(x) = b \implies y=b$ (horizontale) ; $\lim_{x \to a} f(x) = \infty \implies x=a$ (verticale).

Exemples corrigés

Dérivée : Soit $f(x) = x^2 + 3x$ . Alors $f'(x) = 2x + 3$ .
Tangente : En $a=1$ , $f(1)=4$ et $f'(1)=5$ . L'équation est $y = 5(x-1) + 4 = 5x - 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser l'intervalle de dérivabilité.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec la valeur de $f(x)$ .
Ne pas justifier les limites aux bornes.

L'essentiel du cours

Dérivabilité en $a$ : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$.
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$, $(uv)' = u'v+uv'$, $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$.
Monotonie : Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante. Si $f'(x) < 0$, elle est strictement décroissante.
Concavité : Si $f''(x) > 0$, la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f''(x) < 0$, elle est concave.

Méthodes à maîtriser

Étude de dérivabilité : Calculer la limite du taux d'accroissement.
Étude de fonction : Déterminer le domaine, les limites aux bornes, calculer $f'(x)$, dresser le tableau de variations.
Recherche d'asymptotes : $\lim_{x \to \infty} f(x) = b \implies y=b$ (horizontale) ; $\lim_{x \to a} f(x) = \infty \implies x=a$ (verticale).

Exemples corrigés

Dérivée : Soit $f(x) = x^2 + 3x$. Alors $f'(x) = 2x + 3$.
Tangente : En $a=1$, $f(1)=4$ et $f'(1)=5$. L'équation est $y = 5(x-1) + 4 = 5x - 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser l'intervalle de dérivabilité.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec la valeur de $f(x)$.
Ne pas justifier les limites aux bornes.

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🎯 Dérivabilité et étude de fonctions

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La dérivée de $f(x) = 5x^2 - 2x + 1$ est :

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une asymptote oblique ?

C'est une droite d'équation $y = ax + b$ vers laquelle la courbe se rapproche quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ . On vérifie cela en calculant $\lim_{x \to \infty} (f(x) - (ax+b)) = 0$ .

💡 À retenir : Si la limite est 0, alors la droite est bien une asymptote.

C'est une droite d'équation $y = ax + b$ vers laquelle la courbe se rapproche quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$. On vérifie cela en calculant $\lim_{x \to \infty} (f(x) - (ax+b)) = 0$.

💡 À retenir : Si la limite est 0, alors la droite est bien une asymptote.

Kifach n3ref wach l'fonction tza3ayodiya wla tnaqosiya?

Khassek t7seb l'fonction dérivée $f'(x)$ .
Chouf l'signe dyal $f'(x)$ .
Ila kan $f'(x) \geq 0$ , l'fonction tza3ayodiya. Ila kan $f'(x) \leq 0$ , l'fonction tnaqosiya.

💡 À retenir : L'signe dyal $f'(x)$ houwa li kay7kem f'tghayourat.

Khassek t7seb l'fonction dérivée $f'(x)$.
Chouf l'signe dyal $f'(x)$.
Ila kan $f'(x) \geq 0$, l'fonction tza3ayodiya. Ila kan $f'(x) \leq 0$, l'fonction tnaqosiya.

💡 À retenir : L'signe dyal $f'(x)$ houwa li kay7kem f'tghayourat.

Comment calculer la dérivée de f(x) = frac{1}{x} ?

On utilise la formule $(\frac{1}{v})' = -\frac{v'}{v^2}$ . Ici $v=x$ , donc $v'=1$ . La dérivée est $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ .

💡 À retenir : La dérivée de $1/x$ est toujours négative sur son domaine.

On utilise la formule $(\frac{1}{v})' = -\frac{v'}{v^2}$. Ici $v=x$, donc $v'=1$. La dérivée est $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.

💡 À retenir : La dérivée de $1/x$ est toujours négative sur son domaine.

Chno hiya l'farq bin l'point d'inflexion w l'extremum ?

L'extremum (max ou min) kaykoun fin $f'(x)$ katbeddel l'signe dyalha.
L'point d'inflexion kaykoun fin $f''(x)$ katbeddel l'signe dyalha (tqa3or).

💡 À retenir : L'extremum concerne la croissance, l'inflexion concerne la courbure.

L'extremum (max ou min) kaykoun fin $f'(x)$ katbeddel l'signe dyalha.
L'point d'inflexion kaykoun fin $f''(x)$ katbeddel l'signe dyalha (tqa3or).

💡 À retenir : L'extremum concerne la croissance, l'inflexion concerne la courbure.

Kifach n7seb l'équation dyal l'tangente f noqta a ?

7seb $f(a)$ .
7seb $f'(a)$ .
St3mel l'formula: $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

💡 À retenir : L'tangente hiya l'mostaqim li kaymous l'mounhana.

7seb $f(a)$.
7seb $f'(a)$.
St3mel l'formula: $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

💡 À retenir : L'tangente hiya l'mostaqim li kaymous l'mounhana.

Est-ce que toute fonction continue est dérivable ?

Non. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0 (la courbe a un "coin").

💡 À retenir : Dérivable implique continue, mais l'inverse est faux.

Non. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0 (la courbe a un "coin").

💡 À retenir : Dérivable implique continue, mais l'inverse est faux.

Comment déterminer la concavité ?

Il faut calculer la dérivée seconde $f''(x)$ .

Si $f''(x) > 0$ , la courbe est convexe.
Si $f''(x) < 0$ , la courbe est concave.

💡 À retenir : $f''(x)$ donne des infos sur la "courbure" de la fonction.

Il faut calculer la dérivée seconde $f''(x)$.

Si $f''(x) > 0$, la courbe est convexe.
Si $f''(x) < 0$, la courbe est concave.

💡 À retenir : $f''(x)$ donne des infos sur la "courbure" de la fonction.

Que signifie lim{x to +infty} frac{f(x)}{x} = 0 ?

Cela signifie que la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses (axe $(Ox)$ ).

💡 À retenir : C'est une direction asymptotique horizontale.

Cela signifie que la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses (axe $(Ox)$).

💡 À retenir : C'est une direction asymptotique horizontale.

Comment justifier la dérivabilité sur un intervalle ?

Il faut dire que la fonction est une somme, un produit ou un quotient de fonctions usuelles (polynômes, etc.) dérivables sur cet intervalle.

💡 À retenir : Toujours citer les opérations sur les fonctions dérivables.

Pourquoi on calcule les limites aux bornes ?

Pour connaître le comportement de la fonction quand $x$ devient très grand ou très petit, ou quand il s'approche d'une valeur interdite.

💡 À retenir : Les limites sont indispensables pour tracer la courbe.

Pour connaître le comportement de la fonction quand $x$ devient très grand ou très petit, ou quand il s'approche d'une valeur interdite.

💡 À retenir : Les limites sont indispensables pour tracer la courbe.

Comment trouver les points d'intersection avec l'axe des abscisses ?

Il faut résoudre l'équation $f(x) = 0$ . Les solutions sont les abscisses des points d'intersection.

💡 À retenir : $f(x)=0$ donne les points $(x, 0)$ .

Il faut résoudre l'équation $f(x) = 0$. Les solutions sont les abscisses des points d'intersection.

💡 À retenir : $f(x)=0$ donne les points $(x, 0)$.

Est-ce que f'(x) peut être nulle sans avoir un extremum ?

Oui, si $f'(x)$ ne change pas de signe en ce point (ex: $f(x)=x^3$ en $x=0$ , $f'(0)=0$ mais ce n'est pas un extremum).

💡 À retenir : Le changement de signe est obligatoire pour un extremum.

Oui, si $f'(x)$ ne change pas de signe en ce point (ex: $f(x)=x^3$ en $x=0$, $f'(0)=0$ mais ce n'est pas un extremum).

💡 À retenir : Le changement de signe est obligatoire pour un extremum.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Calculer $f'(x)$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $x=0$ .

Exercice 1

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Calculer $f'(x)$.
Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $x=0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ .

Calculer $f'(x)$ .
Montrer que $f$ est strictement décroissante sur ses intervalles.
Déterminer les asymptotes à la courbe.

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus {1}$.

Calculer $f'(x)$.
Montrer que $f$ est strictement décroissante sur ses intervalles.
Déterminer les asymptotes à la courbe.

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Exercice 3

Soit $f(x) = x^3 - 3x$ .

Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$ .
Étudier la concavité de la courbe.
Déterminer le point d'inflexion.

Exercice 3

Soit $f(x) = x^3 - 3x$.

Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$.
Étudier la concavité de la courbe.
Déterminer le point d'inflexion.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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