Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences de Gestion Comptable

Fonctions de deux variables

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une fonction de deux variables est une relation qui associe à chaque couple de réels $(x, y)$ un nombre réel $z$ . On la note : $f: (x, y) \mapsto f(x, y)$

1. Domaine de définition ( $D_f$ ) C'est l'ensemble des couples $(x, y)$ pour lesquels $f(x, y)$ existe. Les conditions classiques sont :

Dénominateur $\neq 0$
Expression sous une racine carrée $\ge 0$
Expression dans un logarithme $> 0$

2. Dérivées partielles Pour dériver par rapport à $x$ , on considère $y$ comme une constante. Pour dériver par rapport à $y$ , on considère $x$ comme une constante.

Dérivée partielle par rapport à $x$ : $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)$
Dérivée partielle par rapport à $y$ : $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)$

3. Points critiques et Extrema Un point $(x_0, y_0)$ est dit critique si : $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = 0 \quad \text{et} \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = 0$ Si la fonction atteint une valeur maximale ou minimale en ce point, on parle d'extrémum.

Méthodes à maîtriser

Trouver le domaine $D_f$ : Identifier les contraintes mathématiques et résoudre les inéquations/équations correspondantes.
Calculer les dérivées partielles : Appliquer les règles de dérivation habituelles en traitant l'autre variable comme un nombre fixe.
Chercher les points critiques : Résoudre le système formé par les deux dérivées partielles égales à zéro.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Domaine de définition Soit $f(x, y) = \sqrt{x + y - 1}$ .

Condition : $x + y - 1 \ge 0 \implies x + y \ge 1$ .
$D_f = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y \ge 1 \}$ .

Exemple 2 : Dérivées partielles Soit $f(x, y) = 3x^2y + 5y^3$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6xy$ (on traite $y$ comme une constante).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2 + 15y^2$ (on traite $x$ comme une constante).

Erreurs fréquentes

Oublier la constante : Traiter $y$ comme une variable quand on dérive par rapport à $x$ .
Confondre les variables : Inverser les calculs de $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ .
Domaine incomplet : Ne pas vérifier toutes les conditions (racine ET dénominateur).

L'essentiel du cours

Une fonction de deux variables est une relation qui associe à chaque couple de réels $(x, y)$ un nombre réel $z$. On la note : $$f: (x, y) \mapsto f(x, y)$$

1. Domaine de définition ($D_f$) C'est l'ensemble des couples $(x, y)$ pour lesquels $f(x, y)$ existe. Les conditions classiques sont :

Dénominateur $\neq 0$
Expression sous une racine carrée $\ge 0$
Expression dans un logarithme $> 0$

2. Dérivées partielles Pour dériver par rapport à $x$, on considère $y$ comme une constante. Pour dériver par rapport à $y$, on considère $x$ comme une constante.

Dérivée partielle par rapport à $x$ : $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)$
Dérivée partielle par rapport à $y$ : $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)$

3. Points critiques et Extrema Un point $(x_0, y_0)$ est dit critique si : $$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = 0 \quad \text{et} \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = 0$$ Si la fonction atteint une valeur maximale ou minimale en ce point, on parle d'extrémum.

Méthodes à maîtriser

Trouver le domaine $D_f$ : Identifier les contraintes mathématiques et résoudre les inéquations/équations correspondantes.
Calculer les dérivées partielles : Appliquer les règles de dérivation habituelles en traitant l'autre variable comme un nombre fixe.
Chercher les points critiques : Résoudre le système formé par les deux dérivées partielles égales à zéro.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Domaine de définition Soit $f(x, y) = \sqrt{x + y - 1}$.

Condition : $x + y - 1 \ge 0 \implies x + y \ge 1$.
$D_f = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y \ge 1 }$.

Exemple 2 : Dérivées partielles Soit $f(x, y) = 3x^2y + 5y^3$.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6xy$ (on traite $y$ comme une constante).
$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2 + 15y^2$ (on traite $x$ comme une constante).

Erreurs fréquentes

Oublier la constante : Traiter $y$ comme une variable quand on dérive par rapport à $x$.
Confondre les variables : Inverser les calculs de $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$.
Domaine incomplet : Ne pas vérifier toutes les conditions (racine ET dénominateur).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Fonctions de deux variables

1/4

Quel est le domaine de définition de $f(x, y) = \frac{1}{x+y}$ ?

❓ Questions fréquentes

Chno hiya l'farq bin fonction dyal variable wehda w fonction dyal jouj variables?

Une fonction d'une variable $f(x)$ dépend d'un seul nombre $x$ et son graphique est une courbe sur un plan.
Une fonction de deux variables $f(x, y)$ dépend d'un couple $(x, y)$ et son graphique est une surface dans l'espace.

💡 À retenir : Plus il y a de variables, plus on travaille dans un espace à plusieurs dimensions.

Une fonction d'une variable $f(x)$ dépend d'un seul nombre $x$ et son graphique est une courbe sur un plan.
Une fonction de deux variables $f(x, y)$ dépend d'un couple $(x, y)$ et son graphique est une surface dans l'espace.

💡 À retenir : Plus il y a de variables, plus on travaille dans un espace à plusieurs dimensions.

Kifach n7seb domaine de définition dyal f(x,y) = ln(x^2 + y^2)?

La fonction logarithme $\ln(u)$ est définie si $u > 0$ .
Ici, $u = x^2 + y^2$ .
On sait que $x^2 + y^2 \ge 0$ pour tout $(x,y)$ .
La seule condition est que $x^2 + y^2 \neq 0$ , ce qui arrive uniquement si $x=0$ et $y=0$ .
$D_f = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}$ .

💡 À retenir : Pour le $\ln$ , l'argument doit être strictement positif.

La fonction logarithme $\ln(u)$ est définie si $u > 0$.
Ici, $u = x^2 + y^2$.
On sait que $x^2 + y^2 \ge 0$ pour tout $(x,y)$.
La seule condition est que $x^2 + y^2 \neq 0$, ce qui arrive uniquement si $x=0$ et $y=0$.
$D_f = \mathbb{R}^2 \setminus {(0, 0)}$.

💡 À retenir : Pour le $\ln$, l'argument doit être strictement positif.

Chno hiya l'méthode bach nlqaw les points critiques?

Calculer la dérivée partielle par rapport à $x$ : $f'_x$ .
Calculer la dérivée partielle par rapport à $y$ : $f'_y$ .
Résoudre le système : $\begin{cases} f'_x(x, y) = 0 \\ f'_y(x, y) = 0 \end{cases}$ .
Les solutions $(x, y)$ sont les points critiques.

💡 À retenir : Les deux dérivées doivent être nulles en même temps.

Calculer la dérivée partielle par rapport à $x$ : $f'_x$.
Calculer la dérivée partielle par rapport à $y$ : $f'_y$.
Résoudre le système : $\begin{cases} f'_x(x, y) = 0 \ f'_y(x, y) = 0 \end{cases}$.
Les solutions $(x, y)$ sont les points critiques.

💡 À retenir : Les deux dérivées doivent être nulles en même temps.

Est-ce que la limite peut exister si on change le chemin ?

Oui. Pour qu'une limite existe en $(x_0, y_0)$ , elle doit être la même quel que soit le chemin utilisé pour s'approcher du point (droite, parabole, etc.). Si on trouve deux limites différentes selon le chemin, la limite n'existe pas.

💡 À retenir : Un seul chemin qui donne un résultat différent suffit pour prouver que la limite n'existe pas.

Oui. Pour qu'une limite existe en $(x_0, y_0)$, elle doit être la même quel que soit le chemin utilisé pour s'approcher du point (droite, parabole, etc.). Si on trouve deux limites différentes selon le chemin, la limite n'existe pas.

💡 À retenir : Un seul chemin qui donne un résultat différent suffit pour prouver que la limite n'existe pas.

Comment calculer frac{partial}{partial x}(x cdot y^2) ?

On identifie la variable de dérivation : $x$ .
On identifie la constante : $y^2$ .
On dérive $x$ par rapport à $x$ , ce qui donne $1$ .
On multiplie par la constante : $1 \cdot y^2 = y^2$ .

💡 À retenir : Considérez $y^2$ comme un simple nombre (comme 5 ou 10).

On identifie la variable de dérivation : $x$.
On identifie la constante : $y^2$.
On dérive $x$ par rapport à $x$, ce qui donne $1$.
On multiplie par la constante : $1 \cdot y^2 = y^2$.

💡 À retenir : Considérez $y^2$ comme un simple nombre (comme 5 ou 10).

C'est quoi un extremum local ?

C'est une valeur de la fonction qui est soit la plus grande (maximum), soit la plus petite (minimum) dans un petit voisinage autour d'un point $(x_0, y_0)$ .

💡 À retenir : "Local" signifie que cela ne concerne qu'une petite zone autour du point.

C'est une valeur de la fonction qui est soit la plus grande (maximum), soit la plus petite (minimum) dans un petit voisinage autour d'un point $(x_0, y_0)$.

💡 À retenir : "Local" signifie que cela ne concerne qu'une petite zone autour du point.

Comment trouver le domaine de f(x,y) = frac{1}{x-y}?

La condition est que le dénominateur ne soit pas nul.
$x - y \neq 0 \implies x \neq y$ .
$D_f = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \neq y \}$ .

💡 À retenir : On exclut tous les points où $x$ est égal à $y$ .

La condition est que le dénominateur ne soit pas nul.
$x - y \neq 0 \implies x \neq y$.
$D_f = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \neq y }$.

💡 À retenir : On exclut tous les points où $x$ est égal à $y$.

Si f(x,y) = x^2 + y^2, est-ce qu'il y a un point critique ?

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$ .
$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y$ .
On résout $2x = 0$ et $2y = 0$ .
Le point critique est $(0, 0)$ .

💡 À retenir : Ici, $(0,0)$ est un minimum car la fonction augmente dès qu'on s'éloigne de l'origine.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$.
$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y$.
On résout $2x = 0$ et $2y = 0$.
Le point critique est $(0, 0)$.

💡 À retenir : Ici, $(0,0)$ est un minimum car la fonction augmente dès qu'on s'éloigne de l'origine.

Peut-on utiliser les dérivées de terminale ?

Oui, les règles de base (puissances, produits, sommes) restent les mêmes. La seule différence est la gestion de la "constante" (l'autre variable).

💡 À retenir : Les règles de calcul sont identiques, seule l'approche change.

Est-ce que Df peut être vide ?

Oui, par exemple si $f(x,y) = \sqrt{x^2+1} + \sqrt{-x^2-2}$ . Les conditions seraient impossibles à satisfaire simultanément.

💡 À retenir : Toujours vérifier si les conditions sont compatibles.

Oui, par exemple si $f(x,y) = \sqrt{x^2+1} + \sqrt{-x^2-2}$. Les conditions seraient impossibles à satisfaire simultanément.

💡 À retenir : Toujours vérifier si les conditions sont compatibles.

Comment interpréter graphiquement un point critique ?

Graphiquement, c'est un point où la surface est "plate" (tangente horizontale), comme le sommet d'une colline ou le fond d'une vallée.

💡 À retenir : La pente est nulle en un point critique.

Quelle est la différence entre frac{partial f}{partial x} et f'(x) ?

$f'(x)$ est la dérivée d'une fonction à une seule variable. $\frac{\partial f}{\partial x}$ est la dérivée d'une fonction à plusieurs variables en ne regardant que l'influence de $x$ .

💡 À retenir : La dérivée partielle est une généralisation de la dérivée classique.

$f'(x)$ est la dérivée d'une fonction à une seule variable. $\frac{\partial f}{\partial x}$ est la dérivée d'une fonction à plusieurs variables en ne regardant que l'influence de $x$.

💡 À retenir : La dérivée partielle est une généralisation de la dérivée classique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2 - 3)$ .

Déterminer le domaine de définition $D_f$ .
Calculer les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2 - 3)$.

Déterminer le domaine de définition $D_f$.
Calculer les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit la fonction de coût de production d'une entreprise : $C(x, y) = x^2 + 2xy + 3y^2 - 4x - 10y$ , où $x$ et $y$ sont les quantités de deux produits.

Calculer les dérivées partielles $\frac{\partial C}{\partial x}$ et $\frac{\partial C}{\partial y}$ .
Trouver le point critique $(x_0, y_0)$ qui minimise le coût.

Exercice 2

Soit la fonction de coût de production d'une entreprise : $C(x, y) = x^2 + 2xy + 3y^2 - 4x - 10y$, où $x$ et $y$ sont les quantités de deux produits.

Calculer les dérivées partielles $\frac{\partial C}{\partial x}$ et $\frac{\partial C}{\partial y}$.
Trouver le point critique $(x_0, y_0)$ qui minimise le coût.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit la fonction $f(x, y) = x^2 + y^2$ .

Calculer les dérivées partielles.
Montrer que le point $(0,0)$ est un point critique.
Étudier le signe de $f(x,y)$ pour tout $(x,y) \neq (0,0)$ . En déduire la nature du point $(0,0)$ .

Exercice 3

Soit la fonction $f(x, y) = x^2 + y^2$.

Calculer les dérivées partielles.
Montrer que le point $(0,0)$ est un point critique.
Étudier le signe de $f(x,y)$ pour tout $(x,y) \neq (0,0)$. En déduire la nature du point $(0,0)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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