Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques B

Nombres complexes (Partie 1)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : L'ensemble $\mathbb{C}$ est l'ensemble des nombres de la forme $z = a + ib$ , où $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$ . $a = \text{Re}(z)$ et $b = \text{Im}(z)$ .
Représentation géométrique : Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ . À tout $z = a + ib$ , on associe le point $M(a, b)$ ou le vecteur $\vec{w}(a, b)$ .
Conjugué : $\bar{z} = a - ib$ . Propriétés : $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ , $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$ , $\overline{z^n} = (\bar{z})^n$ .
Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z \cdot \bar{z}}$ . Propriétés : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ , $|z^n| = |z|^n$ .
Argument : Pour $z \neq 0$ , $\theta = \arg(z) \equiv \alpha [2\pi]$ tel que $\cos \theta = \frac{a}{|z|}$ et $\sin \theta = \frac{b}{|z|}$ .
Forme trigonométrique : $z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) = [|z|, \theta]$ .

Méthodes à maîtriser

Passage forme algébrique vers trigonométrique : Calculer le module $r$ , puis factoriser par $r$ pour identifier $\cos \theta$ et $\sin \theta$ .
Utilisation du conjugué : Pour calculer le quotient $\frac{z_1}{z_2}$ , multiplier numérateur et dénominateur par $\overline{z_2}$ .
Interprétation géométrique : $|z_A - z_B| = AB$ et $\arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) [2\pi]$ .

Exemples corrigés

Calcul de module : $z = 3 + 4i \implies |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ .
Quotient : $Z = \frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i-1}{1^2+1^2} = \frac{2i}{2} = i$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $\arg(z_1 + z_2)$ avec $\arg(z_1) + \arg(z_2)$ (ce qui est faux).
Oublier le modulo $2\pi$ lors de l'écriture d'un argument.
Ne pas vérifier si $z=0$ avant de parler d'argument.

L'essentiel du cours

Définition : L'ensemble $\mathbb{C}$ est l'ensemble des nombres de la forme $z = a + ib$, où $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$. $a = \text{Re}(z)$ et $b = \text{Im}(z)$.
Représentation géométrique : Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$. À tout $z = a + ib$, on associe le point $M(a, b)$ ou le vecteur $\vec{w}(a, b)$.
Conjugué : $\bar{z} = a - ib$. Propriétés : $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$, $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$, $\overline{z^n} = (\bar{z})^n$.
Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z \cdot \bar{z}}$. Propriétés : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$, $|z^n| = |z|^n$.
Argument : Pour $z \neq 0$, $\theta = \arg(z) \equiv \alpha [2\pi]$ tel que $\cos \theta = \frac{a}{|z|}$ et $\sin \theta = \frac{b}{|z|}$.
Forme trigonométrique : $z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) = [|z|, \theta]$.

Méthodes à maîtriser

Passage forme algébrique vers trigonométrique : Calculer le module $r$, puis factoriser par $r$ pour identifier $\cos \theta$ et $\sin \theta$.
Utilisation du conjugué : Pour calculer le quotient $\frac{z_1}{z_2}$, multiplier numérateur et dénominateur par $\overline{z_2}$.
Interprétation géométrique : $|z_A - z_B| = AB$ et $\arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) [2\pi]$.

Exemples corrigés

Calcul de module : $z = 3 + 4i \implies |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.
Quotient : $Z = \frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i-1}{1^2+1^2} = \frac{2i}{2} = i$.

Erreurs fréquentes

Confondre $\arg(z_1 + z_2)$ avec $\arg(z_1) + \arg(z_2)$ (ce qui est faux).
Oublier le modulo $2\pi$ lors de l'écriture d'un argument.
Ne pas vérifier si $z=0$ avant de parler d'argument.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Nombres complexes (Partie 1)

1/4

Quel est le module de $z = (1+i)^4$ ?

❓ Questions fréquentes

1. C'est quoi la différence entre le module et la valeur absolue ?

La valeur absolue s'applique aux nombres réels, tandis que le module s'applique aux nombres complexes. Bien que le module coïncide avec la valeur absolue pour un réel, il mesure la distance entre l'origine et le point image dans le plan complexe pour un nombre complexe.

💡 À retenir : $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ est toujours un réel positif.

2. Kifach n7seb l'argument dial chi nombre complexe bhal z = -1 + isqrt{3} ?

Calcule le module : $r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$ .
Factorise par $r$ : $z = 2(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$ .
Identifie : $\cos \theta = -1/2$ et $\sin \theta = \sqrt{3}/2$ . Donc $\theta = 2\pi/3 [2\pi]$ .

💡 À retenir : Utilise toujours le cercle trigonométrique pour identifier l'angle.

Calcule le module : $r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$.
Factorise par $r$ : $z = 2(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Identifie : $\cos \theta = -1/2$ et $\sin \theta = \sqrt{3}/2$. Donc $\theta = 2\pi/3 [2\pi]$.

💡 À retenir : Utilise toujours le cercle trigonométrique pour identifier l'angle.

3. Est-ce que bar{z1 + z2} = bar{z1} + bar{z2} est toujours vrai ?

Oui, c'est une propriété fondamentale du conjugué. La conjugaison est un morphisme pour l'addition et la multiplication dans $\mathbb{C}$ .

💡 À retenir : Le conjugué d'une somme est la somme des conjugués.

Oui, c'est une propriété fondamentale du conjugué. La conjugaison est un morphisme pour l'addition et la multiplication dans $\mathbb{C}$.

💡 À retenir : Le conjugué d'une somme est la somme des conjugués.

4. Chno hiya l'utilité dial l'écriture trigonométrique ?

Elle est indispensable pour calculer les puissances de nombres complexes (via la formule de Moivre) et pour simplifier les produits ou quotients complexes.

💡 À retenir : $[r, \theta] \times [r', \theta'] = [rr', \theta + \theta']$ .

Elle est indispensable pour calculer les puissances de nombres complexes (via la formule de Moivre) et pour simplifier les produits ou quotients complexes.

💡 À retenir : $[r, \theta] \times [r', \theta'] = [rr', \theta + \theta']$.

5. Comment montrer que trois points sont alignés avec les complexes ?

Il faut montrer que le quotient $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un nombre réel.

💡 À retenir : Si le quotient est réel, l'angle entre les vecteurs est $0$ ou $\pi$ .

Il faut montrer que le quotient $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un nombre réel.

💡 À retenir : Si le quotient est réel, l'angle entre les vecteurs est $0$ ou $\pi$.

6. Wach n9der nkhdem b les complexes f les fonctions ?

Dans cette partie du programme, les complexes sont étudiés pour eux-mêmes (géométrie, algèbre). L'utilisation dans les fonctions viendra plus tard avec les exponentielles complexes.

💡 À retenir : Reste concentré sur les propriétés algébriques pour le moment.

7. Kifach n3ref wach had le nombre complexe 3ndo argument wla la ?

Tout nombre complexe non nul possède un argument. Si $z = 0$ , l'argument n'est pas défini.

💡 À retenir : Vérifie toujours que $z \neq 0$ avant de chercher l'argument.

Tout nombre complexe non nul possède un argument. Si $z = 0$, l'argument n'est pas défini.

💡 À retenir : Vérifie toujours que $z \neq 0$ avant de chercher l'argument.

8. Est-ce que |z1 + z2| = |z1| + |z2| ?

Non, en général $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ (inégalité triangulaire). L'égalité n'a lieu que si les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

💡 À retenir : Ne distribue jamais le module sur une somme.

Non, en général $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ (inégalité triangulaire). L'égalité n'a lieu que si les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

💡 À retenir : Ne distribue jamais le module sur une somme.

9. Pourquoi on multiplie par le conjugué pour diviser ?

Parce que $z \cdot \bar{z} = |z|^2$ , ce qui est un nombre réel. Cela permet de "chasser" les $i$ du dénominateur.

💡 À retenir : Le but est d'obtenir un dénominateur réel.

Parce que $z \cdot \bar{z} = |z|^2$, ce qui est un nombre réel. Cela permet de "chasser" les $i$ du dénominateur.

💡 À retenir : Le but est d'obtenir un dénominateur réel.

10. Comment trouver l'ensemble des points M tels que |z - i| = 2 ?

C'est la définition d'un cercle. Ici, $|z - z_A| = R$ avec $z_A = i$ (le point $A(0,1)$ ) et $R=2$ . C'est le cercle de centre $A$ et de rayon 2.

💡 À retenir : $|z - z_0| = R$ est le cercle de centre $z_0$ et de rayon $R$ .

C'est la définition d'un cercle. Ici, $|z - z_A| = R$ avec $z_A = i$ (le point $A(0,1)$) et $R=2$. C'est le cercle de centre $A$ et de rayon 2.

💡 À retenir : $|z - z_0| = R$ est le cercle de centre $z_0$ et de rayon $R$.

11. Est-ce que arg(z^n) = n arg(z) ?

Oui, c'est vrai modulo $2\pi$ . C'est une conséquence directe de la formule de Moivre.

💡 À retenir : $\arg(z^n) \equiv n \arg(z) [2\pi]$ .

Oui, c'est vrai modulo $2\pi$. C'est une conséquence directe de la formule de Moivre.

💡 À retenir : $\arg(z^n) \equiv n \arg(z) [2\pi]$.

12. Wach l'argument dial z est unique ?

Non, il est défini à $2k\pi$ près. On parle d'argument principal dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$ .

💡 À retenir : L'argument est une classe d'équivalence modulo $2\pi$ .

Non, il est défini à $2k\pi$ près. On parle d'argument principal dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$.

💡 À retenir : L'argument est une classe d'équivalence modulo $2\pi$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = \sqrt{3} + i$ .

Calculer le module et l'argument de $z_1$ et $z_2$ .
En déduire la forme trigonométrique de $Z = \frac{z_1}{z_2}$ .

Exercice 1

Soit $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = \sqrt{3} + i$.

Calculer le module et l'argument de $z_1$ et $z_2$.
En déduire la forme trigonométrique de $Z = \frac{z_1}{z_2}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $z' = \frac{z-i}{z+1}$ soit un imaginaire pur.

Exercice 2

Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $z' = \frac{z-i}{z+1}$ soit un imaginaire pur.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $z$ un nombre complexe tel que $|z|=1$ et $z \neq -1$ . Montrer que $Z = \frac{z-1}{z+1}$ est imaginaire pur.

Exercice 3

Soit $z$ un nombre complexe tel que $|z|=1$ et $z \neq -1$. Montrer que $Z = \frac{z-1}{z+1}$ est imaginaire pur.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Limites et continuité Dérivation et étude des fonctions Théorème des Accroissements Finis (TAF)Suites numériques Fonctions logarithmiques Fonctions exponentielles Équations différentielles Fonctions primitives et calcul intégral