Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques B
Fonctions primitives et calcul intégral
Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Primitive : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$. Si $F$ est une primitive, alors toute autre primitive est de la forme $F(x) + c$ ($c \in \mathbb{R}$).
Intégrale : Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.
Propriétés : Linéarité, relation de Chasles, positivité, et intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$.
Théorème fondamental : La fonction $x \mapsto \int_a^x f(t) dt$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$.
Méthodes à maîtriser
Recherche de primitives : Utiliser les formes usuelles ($u'u^n$, $u'/u$, $u'e^u$, etc.).
Intégration par parties (IPP) : Choisir $u$ selon la règle "LPET" (Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Trigonométrique).
Changement de variable : Poser $t = \varphi(x)$, donc $dt = \varphi'(x)dx$. Ne pas oublier de changer les bornes.
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a, x=b$ est $\int_a^b |f(x)| dx$ (en unités d'aire).
Exemples corrigés
Primitive : Primitive de $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ est $F(x) = \ln(x^2+1) + c$.
Intégrale : $\int_0^1 x e^x dx$. Avec IPP : $u=x, v'=e^x \Rightarrow u'=1, v=e^x$.
$\int_0^1 x e^x dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e-1) = 1$.
Erreurs fréquentes
Oublier la constante $c$ dans la recherche d'une primitive générale.
Ne pas changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre $\int f(x) dx$ (fonction) et $\int_a^b f(x) dx$ (nombre).
Oublier la valeur absolue dans le calcul d'aire si la fonction change de signe.
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
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La primitive de $f(x) = \tan(x)$ sur $]-\pi/2, \pi/2[$ est :
❓ Questions fréquentes
Est-ce que toute fonction admet une primitive ?
Non, une fonction admet une primitive sur un intervalle $I$ si et seulement si elle est continue sur cet intervalle. Si une fonction présente une discontinuité (un saut), elle n'admet pas de primitive sur un intervalle contenant ce point.
💡 À retenir : Continuité sur $I$ est la condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une primitive.
Kifach n3ref chkoun li ghanakhod u(x) f l'intégration par parties ?
Pour choisir $u(x)$, utilise l'ordre de priorité suivant (règle LPET) :
Logarithme ($\ln$)
Polynôme ($x^n$)
Exponentielle ($e^x$)
Trigonométrique ($\cos, \sin$)
Celui qui apparaît en premier dans cette liste est ton $u(x)$.
💡 À retenir : Le choix de $u$ doit rendre l'intégrale restante plus simple à calculer.
Est-ce que inta^b f(x)g(x) dx = inta^b f(x) dx times inta^b g(x) dx ?
Absolument pas ! C'est une erreur grave. L'intégrale d'un produit n'est jamais égale au produit des intégrales.
💡 À retenir : L'intégrale est linéaire pour la somme, mais pas pour le produit.
Chno hiya l'utilité dyal l'intégrale f l'examen ?
L'intégrale sert principalement à calculer des aires de domaines plans, des volumes de solides de révolution, et à démontrer des inégalités ou des limites de suites (sommes de Riemann).
💡 À retenir : Maîtriser le calcul intégral est indispensable pour la partie "Étude de fonctions" et "Suites".
Comment calculer l'aire entre deux courbes mathcal{C}f et mathcal{C}g ?
L'aire est donnée par $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$. Il faut d'abord étudier le signe de $f(x) - g(x)$ sur $[a, b]$ pour enlever la valeur absolue.
💡 À retenir : Si $f(x) \geq g(x)$, l'aire est $\int_a^b (f(x) - g(x)) dx$.
Il faut compléter le carré au dénominateur : $x^2+x+1 = (x + 1/2)^2 + 3/4$. Ensuite, utilise la forme $\int \frac{1}{u^2+a^2} du = \frac{1}{a} \arctan(\frac{u}{a}) + c$.
💡 À retenir : Transformer le dénominateur en somme de carrés pour faire apparaître $\arctan$.
Pourquoi on change les bornes lors d'un changement de variable ?
Parce que les bornes initiales $a$ et $b$ sont des valeurs de la variable $x$. Si tu passes à une nouvelle variable $t$, tu dois calculer les valeurs correspondantes $t_1 = \varphi(a)$ et $t_2 = \varphi(b)$.
💡 À retenir : Si tu ne changes pas les bornes, tu dois revenir à la variable $x$ avant de calculer.
Est-ce que inta^b f(x) dx peut être négative ?
Oui, tout à fait. Si $f(x) \leq 0$ sur $[a, b]$, alors l'intégrale est négative. L'intégrale représente une "aire algébrique".
💡 À retenir : L'intégrale est positive si $f \geq 0$, mais elle peut être négative si la courbe est sous l'axe des abscisses.
Si F est une primitive, est-ce que F(x) + 2024 est aussi une primitive ?
Oui, car la dérivée d'une constante est nulle. Donc $(F(x) + 2024)' = F'(x) + 0 = f(x)$.
💡 À retenir : Il existe une infinité de primitives, elles diffèrent toutes d'une constante.
Comment calculer int0^1 frac{1}{1+e^x} dx ?
Astuce : multiplie le numérateur et le dénominateur par $e^{-x}$. Tu obtiens $\frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}$. La dérivée de $e^{-x}+1$ est $-e^{-x}$, donc c'est de la forme $-u'/u$.
💡 À retenir : Pense à multiplier par $e^{-x}$ quand tu as $1+e^x$ au dénominateur.
Est-ce que inta^b f(x) dx = -intb^a f(x) dx ?
Oui, c'est une propriété fondamentale. Inverser les bornes change le signe de l'intégrale.
💡 À retenir : $\int_a^a f(x) dx = 0$ et $\int_a^b = -\int_b^a$.
Est-ce que je peux utiliser le TAF pour calculer une intégrale ?
Le TAF est utile pour encadrer une intégrale. Si $m \leq f(x) \leq M$ sur $[a, b]$, alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a)$.
💡 À retenir : L'encadrement est souvent utilisé pour calculer des limites de suites définies par des intégrales.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soit $f$ la fonction définie sur $[0, 1]$ par $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$. Calculer l'aire du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=1$.
Primitive : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une fonction F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et F′(x)=f(x) pour tout x∈I. Si F est une primitive, alors toute autre primitive est de la forme F(x)+c (c∈R).
Intégrale : Si F est une primitive de f sur [a,b], alors ∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a).
Propriétés : Linéarité, relation de Chasles, positivité, et intégration par parties : ∫abu(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x)v(x)dx.
Théorème fondamental : La fonction x↦∫axf(t)dt est l'unique primitive de f qui s'annule en a.
Méthodes à maîtriser
Recherche de primitives : Utiliser les formes usuelles (u′un, u′/u, u′eu, etc.).
Intégration par parties (IPP) : Choisir u selon la règle "LPET" (Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Trigonométrique).
Changement de variable : Poser t=φ(x), donc dt=φ′(x)dx. Ne pas oublier de changer les bornes.
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par Cf, l'axe des abscisses et les droites x=a,x=b est ∫ab∣f(x)∣dx (en unités d'aire).
Exemples corrigés
Primitive : Primitive de f(x)=x2+12x est F(x)=ln(x2+1)+c.
Intégrale :∫01xexdx. Avec IPP : u=x,v′=ex⇒u′=1,v=ex.
∫01xexdx=[xex]01−∫01exdx=e−(e−1)=1.
Erreurs fréquentes
Oublier la constante c dans la recherche d'une primitive générale.
Ne pas changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre ∫f(x)dx (fonction) et ∫abf(x)dx (nombre).
Oublier la valeur absolue dans le calcul d'aire si la fonction change de signe.
La primitive de f(x)=tan(x) sur ]−π/2,π/2[ est :
ln(cosx)
−ln(cosx)
ln(sinx)
1/cos2x
Non, une fonction admet une primitive sur un intervalle I si et seulement si elle est continue sur cet intervalle. Si une fonction présente une discontinuité (un saut), elle n'admet pas de primitive sur un intervalle contenant ce point.
💡 À retenir : Continuité sur I est la condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une primitive.
Pour choisir u(x), utilise l'ordre de priorité suivant (règle LPET) :
Logarithme (ln)
Polynôme (xn)
Exponentielle (ex)
Trigonométrique (cos,sin)
Celui qui apparaît en premier dans cette liste est ton u(x).
💡 À retenir : Le choix de u doit rendre l'intégrale restante plus simple à calculer.
L'aire est donnée par A=∫ab∣f(x)−g(x)∣dx. Il faut d'abord étudier le signe de f(x)−g(x) sur [a,b] pour enlever la valeur absolue.
💡 À retenir : Si f(x)≥g(x), l'aire est ∫ab(f(x)−g(x))dx.
Il faut compléter le carré au dénominateur : x2+x+1=(x+1/2)2+3/4. Ensuite, utilise la forme ∫u2+a21du=a1arctan(au)+c.
💡 À retenir : Transformer le dénominateur en somme de carrés pour faire apparaître arctan.
Parce que les bornes initiales a et b sont des valeurs de la variable x. Si tu passes à une nouvelle variable t, tu dois calculer les valeurs correspondantes t1=φ(a) et t2=φ(b).
💡 À retenir : Si tu ne changes pas les bornes, tu dois revenir à la variable x avant de calculer.
Oui, tout à fait. Si f(x)≤0 sur [a,b], alors l'intégrale est négative. L'intégrale représente une "aire algébrique".
💡 À retenir : L'intégrale est positive si f≥0, mais elle peut être négative si la courbe est sous l'axe des abscisses.
Oui, car la dérivée d'une constante est nulle. Donc (F(x)+2024)′=F′(x)+0=f(x).
💡 À retenir : Il existe une infinité de primitives, elles diffèrent toutes d'une constante.
Astuce : multiplie le numérateur et le dénominateur par e−x. Tu obtiens e−x+1e−x. La dérivée de e−x+1 est −e−x, donc c'est de la forme −u′/u.
💡 À retenir : Pense à multiplier par e−x quand tu as 1+ex au dénominateur.
Oui, c'est une propriété fondamentale. Inverser les bornes change le signe de l'intégrale.
💡 À retenir : ∫aaf(x)dx=0 et ∫ab=−∫ba.
Le TAF est utile pour encadrer une intégrale. Si m≤f(x)≤M sur [a,b], alors m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a).
💡 À retenir : L'encadrement est souvent utilisé pour calculer des limites de suites définies par des intégrales.
Exercice 1
Soit f la fonction définie sur [0,1] par f(x)=1+x21. Calculer l'aire du domaine délimité par Cf, l'axe des abscisses et les droites x=0 et x=1.
Exercice 2
Soit In=∫01xnexdx pour n∈N. Montrer que In+1=e−(n+1)In.