Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques B

Fonctions exponentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La fonction exponentielle népérienne, notée $\exp$ , est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$ . On note $e^x = \exp(x)$ .

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in \mathbb{R}$ , $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ , $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$ , et $(e^a)^n = e^{na}$ pour $n \in \mathbb{Q}$ .
Limites fondamentales : $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ ; $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ ; $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ ; $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ .
Dérivée : La fonction $x \mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur tout intervalle où $u$ est dérivable, de dérivée $u'(x)e^{u(x)}$ .

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations/inéquations : Utiliser la stricte croissance de la fonction exponentielle ( $e^a = e^b \iff a=b$ et $e^a < e^b \iff a < b$ ).
Étude de fonctions : Calculer la dérivée, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations en utilisant les limites aux bornes.
Croissances comparées : Savoir lever les indéterminations du type $\frac{\infty}{\infty}$ ou $0 \cdot \infty$ en utilisant les limites usuelles.

Exemples corrigés

Résoudre $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ : Poser $X = e^x$ ( $X > 0$ ). On obtient $X^2 - 3X + 2 = 0$ . Les racines sont $X=1$ et $X=2$ . Donc $e^x = 1 \implies x=0$ ou $e^x = 2 \implies x = \ln(2)$ .
Dériver $f(x) = e^{-x^2}$ : $f'(x) = (-x^2)' e^{-x^2} = -2x e^{-x^2}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif.
Confondre $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ avec $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ .
Appliquer la règle $\frac{e^x}{x^n} \to +\infty$ alors que $x \to -\infty$ (c'est une erreur grave).

L'essentiel du cours

La fonction exponentielle népérienne, notée $\exp$, est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. On note $e^x = \exp(x)$.

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in \mathbb{R}$, $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$, $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$, et $(e^a)^n = e^{na}$ pour $n \in \mathbb{Q}$.
Limites fondamentales : $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ ; $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ ; $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ ; $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$.
Dérivée : La fonction $x \mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur tout intervalle où $u$ est dérivable, de dérivée $u'(x)e^{u(x)}$.

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations/inéquations : Utiliser la stricte croissance de la fonction exponentielle ($e^a = e^b \iff a=b$ et $e^a < e^b \iff a < b$).
Étude de fonctions : Calculer la dérivée, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations en utilisant les limites aux bornes.
Croissances comparées : Savoir lever les indéterminations du type $\frac{\infty}{\infty}$ ou $0 \cdot \infty$ en utilisant les limites usuelles.

Exemples corrigés

Résoudre $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ : Poser $X = e^x$ ($X > 0$). On obtient $X^2 - 3X + 2 = 0$. Les racines sont $X=1$ et $X=2$. Donc $e^x = 1 \implies x=0$ ou $e^x = 2 \implies x = \ln(2)$.
Dériver $f(x) = e^{-x^2}$ : $f'(x) = (-x^2)' e^{-x^2} = -2x e^{-x^2}$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif.
Confondre $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ avec $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.
Appliquer la règle $\frac{e^x}{x^n} \to +\infty$ alors que $x \to -\infty$ (c'est une erreur grave).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Fonctions exponentielles

1/4

Quelle est la valeur de $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-1}{x}$ ?

❓ Questions fréquentes

Wach n9der nkhdem b TAF f had l-chapitre ?

Oui, bien sûr. Comme la fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ , tu peux appliquer le Théorème des Accroissements Finis sur n'importe quel intervalle $[a, b]$ .

💡 À retenir : La fonction $x \mapsto e^x$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Oui, bien sûr. Comme la fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$, tu peux appliquer le Théorème des Accroissements Finis sur n'importe quel intervalle $[a, b]$.

💡 À retenir : La fonction $x \mapsto e^x$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$.

Est-ce que e^x peut être négatif ?

Non, la fonction exponentielle est strictement positive pour tout réel $x$ . C'est une propriété fondamentale : la courbe représentative est toujours située au-dessus de l'axe des abscisses.

💡 À retenir : Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $e^x > 0$ .

Non, la fonction exponentielle est strictement positive pour tout réel $x$. C'est une propriété fondamentale : la courbe représentative est toujours située au-dessus de l'axe des abscisses.

💡 À retenir : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$.

Kifach n7seb la limite dyal e^x / x^2 f +infty ?

C'est une forme indéterminée du type $\frac{\infty}{\infty}$ . On utilise la limite usuelle de croissance comparée : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ . Ici, avec $n=2$ , la limite est $+\infty$ .

💡 À retenir : L'exponentielle l'emporte toujours sur n'importe quelle puissance de $x$ en $+\infty$ .

C'est une forme indéterminée du type $\frac{\infty}{\infty}$. On utilise la limite usuelle de croissance comparée : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$. Ici, avec $n=2$, la limite est $+\infty$.

💡 À retenir : L'exponentielle l'emporte toujours sur n'importe quelle puissance de $x$ en $+\infty$.

Est-ce que (e^x)^2 = e^{(x^2)} ?

Non, attention ! D'après les règles de calcul sur les puissances, $(e^x)^2 = e^{x \times 2} = e^{2x}$ . Par contre, $e^{(x^2)}$ est l'exponentielle de $x$ au carré. Ce n'est pas la même chose.

💡 À retenir : $(e^a)^b = e^{ab}$ , mais $e^a \cdot e^b = e^{a+b}$ .

Non, attention ! D'après les règles de calcul sur les puissances, $(e^x)^2 = e^{x \times 2} = e^{2x}$. Par contre, $e^{(x^2)}$ est l'exponentielle de $x$ au carré. Ce n'est pas la même chose.

💡 À retenir : $(e^a)^b = e^{ab}$, mais $e^a \cdot e^b = e^{a+b}$.

Wach e^x hiya la fonction inverse dyal ln(x) ?

Oui, exactement. La fonction exponentielle est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien. Cela signifie que $e^{\ln(x)} = x$ pour $x > 0$ et $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

💡 À retenir : $\exp$ et $\ln$ sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.

Comment lever l'indétermination lim{x to -infty} (x+1)e^x ?

On développe : $xe^x + e^x$ .

On sait que $\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$ (limite usuelle).
On sait que $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ .
La somme tend donc vers $0+0 = 0$ .

💡 À retenir : En $-\infty$ , l'exponentielle "écrase" n'importe quel polynôme.

On développe : $xe^x + e^x$.

On sait que $\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$ (limite usuelle).
On sait que $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.
La somme tend donc vers $0+0 = 0$.

💡 À retenir : En $-\infty$, l'exponentielle "écrase" n'importe quel polynôme.

Kifach n3ref wach e^x - 1 positif wla négatif ?

Il suffit d'étudier le signe de $x$ :

Si $x > 0$ , alors $e^x > e^0$ donc $e^x > 1$ , d'où $e^x - 1 > 0$ .
Si $x < 0$ , alors $e^x < 1$ , d'où $e^x - 1 < 0$ .
Si $x = 0$ , $e^0 - 1 = 0$ .

💡 À retenir : Le signe de $e^x - 1$ est celui de $x$ .

Il suffit d'étudier le signe de $x$ :

Si $x > 0$, alors $e^x > e^0$ donc $e^x > 1$, d'où $e^x - 1 > 0$.
Si $x < 0$, alors $e^x < 1$, d'où $e^x - 1 < 0$.
Si $x = 0$, $e^0 - 1 = 0$.

💡 À retenir : Le signe de $e^x - 1$ est celui de $x$.

Est-ce que la dérivée de e^{u(x)} est e^{u'(x)} ?

Non, c'est une erreur classique. La dérivée est $u'(x) \cdot e^{u(x)}$ . On multiplie par la dérivée de l'exposant.

💡 À retenir : $(e^{u})' = u' e^u$ .

Non, c'est une erreur classique. La dérivée est $u'(x) \cdot e^{u(x)}$. On multiplie par la dérivée de l'exposant.

💡 À retenir : $(e^{u})' = u' e^u$.

Comment étudier la convexité de f(x) = e^x ?

Il faut calculer la dérivée seconde. $f'(x) = e^x$ et $f''(x) = e^x$ . Comme $e^x > 0$ pour tout $x$ , la dérivée seconde est toujours strictement positive, donc la fonction est convexe sur $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : $f$ est convexe si $f'' \geq 0$ .

Il faut calculer la dérivée seconde. $f'(x) = e^x$ et $f''(x) = e^x$. Comme $e^x > 0$ pour tout $x$, la dérivée seconde est toujours strictement positive, donc la fonction est convexe sur $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : $f$ est convexe si $f'' \geq 0$.

Est-ce que lim{x to 0} frac{e^{2x}-1}{x} = 2 ?

Oui, c'est correct. On peut écrire $\frac{e^{2x}-1}{x} = 2 \cdot \frac{e^{2x}-1}{2x}$ . En posant $X=2x$ , quand $x \to 0$ , $X \to 0$ . La limite devient $2 \cdot 1 = 2$ .

💡 À retenir : $\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax}-1}{x} = a$ .

Oui, c'est correct. On peut écrire $\frac{e^{2x}-1}{x} = 2 \cdot \frac{e^{2x}-1}{2x}$. En posant $X=2x$, quand $x \to 0$, $X \to 0$. La limite devient $2 \cdot 1 = 2$.

💡 À retenir : $\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax}-1}{x} = a$.

Kifach n7seb l'équation de la tangente f x0 = 0 ?

La formule est $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ . Pour $f(x) = e^x$ :

$f(0) = e^0 = 1$ .
$f'(x) = e^x$ , donc $f'(0) = 1$ .
$y = 1(x - 0) + 1 = x + 1$ .

💡 À retenir : La tangente en 0 est $y = x + 1$ .

La formule est $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$. Pour $f(x) = e^x$ :

$f(0) = e^0 = 1$.
$f'(x) = e^x$, donc $f'(0) = 1$.
$y = 1(x - 0) + 1 = x + 1$.

💡 À retenir : La tangente en 0 est $y = x + 1$.

Est-ce que e^x est une fonction paire ou impaire ?

Ni l'une ni l'autre. $f(-x) = e^{-x} = 1/e^x$ . Ce n'est ni $f(x)$ (paire) ni $-f(x)$ (impaire).

💡 À retenir : La fonction exponentielle n'a pas de parité particulière.

Ni l'une ni l'autre. $f(-x) = e^{-x} = 1/e^x$. Ce n'est ni $f(x)$ (paire) ni $-f(x)$ (impaire).

💡 À retenir : La fonction exponentielle n'a pas de parité particulière.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-1)e^x$ .

Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$ .
Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $0$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-1)e^x$.

Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $0$.

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Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $e^{2x} - 4e^x + 3 \leq 0$ .