Limites et continuité

1. Vérifie la continuité sur l'intervalle ouvert $]a, b[$ en utilisant les opérations sur les fonctions continues (somme, produit, quotient).
2. Calcule la limite à droite en $a$ : $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.
3. Calcule la limite à gauche en $b$ : $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$.

💡 À retenir : La continuité aux bornes est indispensable pour appliquer le TVI.

1. Si c'est un polynôme, factorise par $(x-a)$.
2. Si c'est une racine carrée, multiplie par la quantité conjuguée.
3. Si ce sont des fonctions trigonométriques, utilise les limites usuelles comme $\frac{\sin x}{x} \to 1$.

💡 À retenir : L'objectif est toujours de simplifier le terme qui cause le zéro au dénominateur.

Oui, le TVI ne nécessite que la continuité. Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c$ tel que $f(c)=y$. Cependant, sans monotonie, on ne peut pas garantir que cette solution est unique.

💡 À retenir : Continuité = Existence ; Monotonie = Unicité.

D'après le TVI, il existe au moins une solution dans $]a, b[$. Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a, b]$, alors cette solution est unique. Sans monotonie, il peut y en avoir plusieurs.

💡 À retenir : Le produit $f(a)f(b) < 0$ garantit l'existence, pas l'unicité.

1. Étudie les variations de $f$ sur $I$.
2. Si $f$ est strictement croissante, $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$.
3. Si $f$ est strictement décroissante, $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$.
4. Pour les intervalles ouverts, utilise les limites aux bornes.

💡 À retenir : L'image d'un intervalle par une fonction continue est toujours un intervalle.

Le TVI s'applique sur un intervalle fermé $[a, b]$. Si ton intervalle est ouvert $]a, b[$, tu dois calculer les limites aux bornes $\ell_1 = \lim_{x \to a^+} f(x)$ et $\ell_2 = \lim_{x \to b^-} f(x)$. Si $y$ est compris entre $\ell_1$ et $\ell_2$, alors il existe une solution.

💡 À retenir : Le TVI s'adapte aux intervalles ouverts via les limites.

1. Pose $g(x) = f(x) - x$.
2. Vérifie que $g$ est continue sur $[0, 1]$.
3. Calcule $g(0)$ et $g(1)$.
4. Si $g(0) \cdot g(1) \leq 0$, alors d'après le TVI, il existe $c \in [0, 1]$ tel que $g(c)=0$, donc $f(c)=c$.

💡 À retenir : Ramène toujours le problème à une équation de type $g(x)=0$.

La limite en $x_0$ décrit le comportement de $f(x)$ quand $x$ s'approche de $x_0$ sans forcément y être égal. La continuité impose que cette limite soit égale à la valeur réelle de la fonction en ce point ($f(x_0)$).

💡 À retenir : La continuité est une limite "atteinte".

Le TVI dit : "Si $f$ est continue, alors elle possède la propriété des valeurs intermédiaires". La réciproque est fausse : une fonction peut posséder la propriété des valeurs intermédiaires sans être continue (ex: fonction avec une discontinuité de saut).

💡 À retenir : La continuité est une condition suffisante, pas nécessaire pour la propriété des valeurs intermédiaires.

Il suffit de montrer que $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Ces deux conditions assurent que $f$ est une bijection de $I$ vers $f(I)$.

💡 À retenir : Continuité + Stricte monotonie = Bijection.

Oui, si $f$ et $g$ sont continues en $x_0$, alors $f+g$, $f \cdot g$ et $f/g$ (si $g(x_0) \neq 0$) sont continues en $x_0$. C'est une propriété fondamentale des opérations sur les fonctions.

💡 À retenir : La continuité se conserve par les opérations usuelles.

1. Calcule $u = \lim_{x \to x_0} g(x)$.
2. Calcule $L = \lim_{u \to \ell} f(u)$.
3. Le résultat est $L$. Attention : il faut que $g(x)$ soit proche de $\ell$ sans forcément être égal à $\ell$.

💡 À retenir : La limite d'une composée est la composée des limites.