Sciences de l'Ingénieur · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Analyse des performances des systèmes asservis

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

L'analyse des performances repose sur l'étude de la réponse temporelle et fréquentielle :

Stabilité : Un système est stable si tous les pôles de sa fonction de transfert en boucle fermée ont une partie réelle strictement négative.
Précision : Évaluée par l'erreur statique $\varepsilon_s = \lim_{t \to \infty} \varepsilon(t)$ . Pour un système de classe $n$ , l'erreur dépend de l'entrée (échelon, rampe, parabole).
Rapidité : Caractérisée par le temps de réponse à 5% ( $t_{r5\%}$ ).
Amortissement : Pour un système du 2nd ordre, le coefficient $\xi$ détermine le comportement (oscillant si $\xi < 1$ , apériodique si $\xi \geq 1$ ).

Méthodes à maîtriser

Calcul de l'erreur statique : Utiliser le théorème de la valeur finale : $\varepsilon_s = \lim_{p \to 0} p \cdot E(p) \cdot \frac{1}{1+FTBO(p)}$ .
Analyse temporelle : Identifier les paramètres ( $K, \tau, \xi, \omega_n$ ) à partir d'une courbe de réponse indicielle.
Analyse fréquentielle : Utiliser le diagramme de Bode pour déterminer la marge de phase ( $M_\varphi = 180^\circ + \varphi(\omega_{gc})$ ).

Exemples corrigés

Exemple : Système du 2nd ordre $H(p) = \frac{1}{1 + 2\xi\frac{p}{\omega_n} + \frac{p^2}{\omega_n^2}}$ . Si $\xi = 0.5$ et $\omega_n = 10$ rad/s, le système est oscillant amorti. Le dépassement $D_1 = e^{\frac{-\pi\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}} \approx 16\%$ .

Erreurs fréquentes

Confondre la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) et en boucle fermée (FTBF).
Oublier de multiplier par $p$ lors de l'application du théorème de la valeur finale.
Négliger l'unité de la pulsation ( $\omega$ en rad/s) dans les diagrammes de Bode.

L'essentiel du cours

L'analyse des performances repose sur l'étude de la réponse temporelle et fréquentielle :

Stabilité : Un système est stable si tous les pôles de sa fonction de transfert en boucle fermée ont une partie réelle strictement négative.
Précision : Évaluée par l'erreur statique $\varepsilon_s = \lim_{t \to \infty} \varepsilon(t)$. Pour un système de classe $n$, l'erreur dépend de l'entrée (échelon, rampe, parabole).
Rapidité : Caractérisée par le temps de réponse à 5% ($t_{r5%}$).
Amortissement : Pour un système du 2nd ordre, le coefficient $\xi$ détermine le comportement (oscillant si $\xi < 1$, apériodique si $\xi \geq 1$).

Méthodes à maîtriser

Calcul de l'erreur statique : Utiliser le théorème de la valeur finale : $\varepsilon_s = \lim_{p \to 0} p \cdot E(p) \cdot \frac{1}{1+FTBO(p)}$.
Analyse temporelle : Identifier les paramètres ($K, \tau, \xi, \omega_n$) à partir d'une courbe de réponse indicielle.
Analyse fréquentielle : Utiliser le diagramme de Bode pour déterminer la marge de phase ($M_\varphi = 180^\circ + \varphi(\omega_{gc})$).

Exemples corrigés

Exemple : Système du 2nd ordre $H(p) = \frac{1}{1 + 2\xi\frac{p}{\omega_n} + \frac{p^2}{\omega_n^2}}$. Si $\xi = 0.5$ et $\omega_n = 10$ rad/s, le système est oscillant amorti. Le dépassement $D_1 = e^{\frac{-\pi\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}} \approx 16%$.

Erreurs fréquentes

Confondre la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) et en boucle fermée (FTBF).
Oublier de multiplier par $p$ lors de l'application du théorème de la valeur finale.
Négliger l'unité de la pulsation ($\omega$ en rad/s) dans les diagrammes de Bode.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Analyse des performances des systèmes asservis

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Quel est l'effet d'un intégrateur pur sur l'erreur statique ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre erreur statique et erreur dynamique ?

L'erreur statique est l'écart entre la consigne et la sortie quand le temps tend vers l'infini (régime permanent). L'erreur dynamique est l'écart pendant la phase transitoire, avant que le système ne se stabilise.

💡 À retenir : L'erreur statique dépend de la classe du système et de la nature de l'entrée.

Kifach n7seb l'erreur statique ila kan l'system 3ndo 3adad dyal l'intégrateurs (classe n) ?

Chouf l'classe dyal l'system (ch7al mn $1/p$ f'FTBO).
Ila kan l'entrée échelon ( $1/p$ ), l'erreur $\varepsilon_s = \frac{1}{1+K_p}$ (si classe 0) ou 0 (si classe $\geq 1$ ).
Applique la formule $\varepsilon_s = \lim_{p \to 0} p \cdot E(p) \cdot \frac{1}{1+FTBO(p)}$ .

💡 À retenir : Plus la classe est élevée, plus l'erreur statique est faible.

Chouf l'classe dyal l'system (ch7al mn $1/p$ f'FTBO).
Ila kan l'entrée échelon ($1/p$), l'erreur $\varepsilon_s = \frac{1}{1+K_p}$ (si classe 0) ou 0 (si classe $\geq 1$).
Applique la formule $\varepsilon_s = \lim_{p \to 0} p \cdot E(p) \cdot \frac{1}{1+FTBO(p)}$.

💡 À retenir : Plus la classe est élevée, plus l'erreur statique est faible.

Pourquoi on utilise le temps de réponse à 5% et pas à 10% ?

C'est une convention normalisée dans l'industrie pour définir quand un système est considéré comme "stabilisé" dans sa valeur finale. Le seuil de 5% est le plus courant pour garantir une précision acceptable.

💡 À retenir : Le choix du seuil (5% ou 2%) doit être précisé dans le cahier des charges.

Chno hiya l'marge de phase w 3lach kathemni f'l'examen ?

C'est la différence entre -180° et la phase du système à la pulsation de gain unité ( $\omega_{gc}$ ). Elle mesure la stabilité. Si elle est positive, le système est stable.

💡 À retenir : Une marge de phase trop faible rend le système instable ou trop oscillant.

C'est la différence entre -180° et la phase du système à la pulsation de gain unité ($\omega_{gc}$). Elle mesure la stabilité. Si elle est positive, le système est stable.

💡 À retenir : Une marge de phase trop faible rend le système instable ou trop oscillant.

Kifach n3ref wach l'system stable wla la mn l'fonction de transfert ?

Il faut regarder les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF). Si tous les pôles ont une partie réelle négative, le système est stable.

💡 À retenir : Si un pôle est positif ou nul, le système est instable ou à la limite de la stabilité.

Est-ce que le dépassement dépend de la classe du système ?

Non, le dépassement dépend principalement du coefficient d'amortissement $\xi$ pour un système du 2nd ordre. La classe influence surtout la précision.

💡 À retenir : Le dépassement est un critère de rapidité/amortissement, pas de précision.

Non, le dépassement dépend principalement du coefficient d'amortissement $\xi$ pour un système du 2nd ordre. La classe influence surtout la précision.

💡 À retenir : Le dépassement est un critère de rapidité/amortissement, pas de précision.

Comment tracer le diagramme de Bode rapidement ?

Mettre la fonction sous forme canonique.
Identifier les termes (gain, intégrateur, 1er ordre, 2nd ordre).
Tracer les asymptotes pour chaque terme et les sommer.

💡 À retenir : La pente change aux fréquences de coupure.

Est-ce que la bande passante est la même pour tous les systèmes ?

Non, elle dépend des paramètres du système. Elle définit la plage de fréquences où le système peut suivre l'entrée avec une atténuation acceptable (-3dB).

💡 À retenir : Plus la bande passante est large, plus le système est rapide.

Est-ce que je peux utiliser le critère de Routh pour n'importe quel système ?

Oui, pour les systèmes linéaires invariants dans le temps (SLIT) dont le dénominateur est un polynôme. C'est très utile pour vérifier la stabilité sans calculer les racines.

💡 À retenir : Le critère de Routh donne le nombre de pôles à partie réelle positive.

Pourquoi on dit que le système est du 2nd ordre ?

Parce que le dénominateur de sa fonction de transfert est un polynôme du second degré en $p$ . Cela implique une équation différentielle du second ordre.

💡 À retenir : L'ordre correspond au degré du dénominateur de la FTBF.

Parce que le dénominateur de sa fonction de transfert est un polynôme du second degré en $p$. Cela implique une équation différentielle du second ordre.

💡 À retenir : L'ordre correspond au degré du dénominateur de la FTBF.

Est-ce que l'erreur statique peut être négative ?

Oui, si la sortie dépasse la consigne en régime permanent, l'erreur peut être négative. Cependant, dans la plupart des systèmes asservis, on cherche à minimiser la valeur absolue de l'erreur.

💡 À retenir : L'erreur est définie par $\varepsilon = \text{Consigne} - \text{Sortie}$ .

Oui, si la sortie dépasse la consigne en régime permanent, l'erreur peut être négative. Cependant, dans la plupart des systèmes asservis, on cherche à minimiser la valeur absolue de l'erreur.

💡 À retenir : L'erreur est définie par $\varepsilon = \text{Consigne} - \text{Sortie}$.

Chno hiya l'relation bin tau (constante de temps) et le temps de réponse ?

Pour un système du 1er ordre, $t_{r5\%} \approx 3\tau$ . C'est une règle simple pour estimer la rapidité.

💡 À retenir : Plus $\tau$ est petit, plus le système est rapide.

Pour un système du 1er ordre, $t_{r5%} \approx 3\tau$. C'est une règle simple pour estimer la rapidité.

💡 À retenir : Plus $\tau$ est petit, plus le système est rapide.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un système asservi est défini par sa FTBO : $H(p) = \frac{10}{p(1+0.1p)}$ .

Déterminer la classe du système.
Calculer l'erreur statique pour une entrée échelon unitaire.
Le système est-il stable en boucle fermée ?

Exercice 1

Un système asservi est défini par sa FTBO : $H(p) = \frac{10}{p(1+0.1p)}$.

Déterminer la classe du système.
Calculer l'erreur statique pour une entrée échelon unitaire.
Le système est-il stable en boucle fermée ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit un système du 2nd ordre de fonction de transfert $H(p) = \frac{1}{1 + 0.2p + 0.01p^2}$ .

Identifier $\omega_n$ et $\xi$ .
Calculer le dépassement $D_1$ .
Calculer le temps de réponse à 5%.

Exercice 2

Soit un système du 2nd ordre de fonction de transfert $H(p) = \frac{1}{1 + 0.2p + 0.01p^2}$.

Identifier $\omega_n$ et $\xi$.
Calculer le dépassement $D_1$.
Calculer le temps de réponse à 5%.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Analyse fréquentielle : On donne $FTBO(p) = \frac{100}{p(p+10)}$ .

Tracer l'allure du diagramme de Bode en gain.
Déterminer la pulsation de coupure à gain unité $\omega_{gc}$ .
Calculer la marge de phase.

Exercice 3

Analyse fréquentielle : On donne $FTBO(p) = \frac{100}{p(p+10)}$.

Tracer l'allure du diagramme de Bode en gain.
Déterminer la pulsation de coupure à gain unité $\omega_{gc}$.
Calculer la marge de phase.

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