Sciences de l'Ingénieur · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Correction des systèmes asservis

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le correcteur $C(p)$ est inséré dans la chaîne directe pour modifier le comportement du système asservi.

Correcteur Proportionnel (P) : $C(p) = K_p$ . Augmente la précision mais peut dégrader la stabilité.
Correcteur Intégrateur (I) : $C(p) = \frac{K_i}{p}$ . Annule l'erreur statique mais diminue la stabilité.
Correcteur Dérivateur (D) : $C(p) = K_d \cdot p$ . Améliore la rapidité et la stabilité.
Correcteur PID : $C(p) = K_p (1 + \frac{1}{T_i p} + T_d p)$ . Combine les avantages des trois actions.

Méthodes à maîtriser

Analyse de la stabilité : Utiliser le critère de Routh ou le tracé de Bode (Marge de phase $\Delta \phi > 0$ ).
Réglage : Ajuster les paramètres pour obtenir un dépassement $D_1 < 5\%$ et un temps de réponse $t_r$ minimal.
Tracé : Savoir tracer les diagrammes de Bode d'un correcteur PID.

Exemples corrigés

Exemple : Système avec $FTBO(p) = \frac{10}{p(p+1)}$ . Pour améliorer la précision, on ajoute un correcteur proportionnel $K$ . La stabilité est vérifiée si la marge de phase est positive.

Erreurs fréquentes

Oublier que le correcteur est dans la chaîne directe.
Confondre l'erreur statique avec l'erreur dynamique.
Négliger l'impact du correcteur sur la marge de phase.

L'essentiel du cours

Le correcteur $C(p)$ est inséré dans la chaîne directe pour modifier le comportement du système asservi.

Correcteur Proportionnel (P) : $C(p) = K_p$. Augmente la précision mais peut dégrader la stabilité.
Correcteur Intégrateur (I) : $C(p) = \frac{K_i}{p}$. Annule l'erreur statique mais diminue la stabilité.
Correcteur Dérivateur (D) : $C(p) = K_d \cdot p$. Améliore la rapidité et la stabilité.
Correcteur PID : $C(p) = K_p (1 + \frac{1}{T_i p} + T_d p)$. Combine les avantages des trois actions.

Méthodes à maîtriser

Analyse de la stabilité : Utiliser le critère de Routh ou le tracé de Bode (Marge de phase $\Delta \phi > 0$).
Réglage : Ajuster les paramètres pour obtenir un dépassement $D_1 < 5%$ et un temps de réponse $t_r$ minimal.
Tracé : Savoir tracer les diagrammes de Bode d'un correcteur PID.

Exemples corrigés

Exemple : Système avec $FTBO(p) = \frac{10}{p(p+1)}$. Pour améliorer la précision, on ajoute un correcteur proportionnel $K$. La stabilité est vérifiée si la marge de phase est positive.

Erreurs fréquentes

Oublier que le correcteur est dans la chaîne directe.
Confondre l'erreur statique avec l'erreur dynamique.
Négliger l'impact du correcteur sur la marge de phase.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Correction des systèmes asservis

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Quel correcteur permet d'annuler l'erreur statique pour une entrée échelon ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l'erreur statique f systeme asservi ?

Calcule la fonction de transfert en boucle fermée $FTBF(p) = \frac{C(p)G(p)}{1+C(p)G(p)}$ .
Applique le théorème de la valeur finale : $\epsilon_s = \lim_{t \to \infty} \epsilon(t) = \lim_{p \to 0} p \cdot E(p) \cdot (1 - FTBF(p))$ .
Pour une entrée échelon, $\epsilon_s = \frac{1}{1 + K_p}$ où $K_p$ est le gain statique de la boucle ouverte.

💡 À retenir : L'erreur statique diminue quand le gain de boucle augmente.

Calcule la fonction de transfert en boucle fermée $FTBF(p) = \frac{C(p)G(p)}{1+C(p)G(p)}$.
Applique le théorème de la valeur finale : $\epsilon_s = \lim_{t \to \infty} \epsilon(t) = \lim_{p \to 0} p \cdot E(p) \cdot (1 - FTBF(p))$.
Pour une entrée échelon, $\epsilon_s = \frac{1}{1 + K_p}$ où $K_p$ est le gain statique de la boucle ouverte.

💡 À retenir : L'erreur statique diminue quand le gain de boucle augmente.

Est-ce que le correcteur dérivateur rend le système plus instable ?

Non, au contraire. L'action dérivée apporte une avance de phase qui augmente la marge de phase, ce qui améliore la stabilité et réduit le dépassement. Cependant, elle est très sensible au bruit de mesure.

💡 À retenir : Le correcteur D améliore la rapidité et la stabilité.

Chno hiya l'far9 bin correcteur P o PID ?

Le correcteur P ne fait qu'amplifier l'erreur. Le PID ajoute deux actions :

L'action I (Intégrale) pour annuler l'erreur statique.
L'action D (Dérivée) pour anticiper l'évolution de l'erreur et stabiliser.

💡 À retenir : Le PID est le correcteur le plus complet pour les systèmes industriels.

Kifach n3ref wach systeme stable mn diagramme de Bode ?

Identifie la pulsation de coupure à gain 0 dB ( $\omega_c$ ).
Lis la phase $\phi(\omega_c)$ sur le diagramme.
Calcule la marge de phase : $\Delta \phi = 180^\circ + \phi(\omega_c)$ .
Si $\Delta \phi > 0$ , le système est stable.

💡 À retenir : Une marge de phase de $45^\circ$ est souvent un bon compromis.

Identifie la pulsation de coupure à gain 0 dB ($\omega_c$).
Lis la phase $\phi(\omega_c)$ sur le diagramme.
Calcule la marge de phase : $\Delta \phi = 180^\circ + \phi(\omega_c)$.
Si $\Delta \phi > 0$, le système est stable.

💡 À retenir : Une marge de phase de $45^\circ$ est souvent un bon compromis.

Pourquoi on utilise pas toujours un correcteur PID ?

Parce que le PID est complexe à régler et peut être inutile si le système est déjà performant avec un correcteur P ou PI. De plus, l'action dérivée amplifie le bruit haute fréquence.

💡 À retenir : Choisir le correcteur le plus simple possible.

Wach l'action intégrale kat2atar 3la la rapidité ?

Oui, l'action intégrale a tendance à ralentir le système et à augmenter le dépassement car elle accumule l'erreur passée, ce qui peut provoquer des oscillations.

💡 À retenir : L'action intégrale est pour la précision, pas pour la rapidité.

Comment choisir les paramètres d'un correcteur PID ?

Utiliser la méthode de Ziegler-Nichols (si le système est expérimental).
Utiliser le placement de pôles (si le modèle mathématique est connu).
Ajuster par simulation numérique.

💡 À retenir : La simulation est l'outil le plus sûr.

C'est quoi la différence entre erreur statique et erreur de traînage ?

L'erreur statique concerne une entrée échelon (position). L'erreur de traînage concerne une entrée rampe (vitesse).

💡 À retenir : Un système de classe 0 a une erreur statique finie, un système de classe 1 a une erreur de traînage finie.

Est-ce que le correcteur peut être un filtre ?

Oui, un correcteur est souvent un filtre électronique (amplificateur opérationnel) ou numérique (algorithme dans un automate).

💡 À retenir : Le correcteur modifie la réponse fréquentielle.

Kifach n7seb la marge de gain ?

Identifie la pulsation $\omega_{-180}$ où la phase vaut $-180^\circ$ .
Calcule le gain $G_{dB}(\omega_{-180})$ .
La marge de gain est $MG = -G_{dB}(\omega_{-180})$ .

💡 À retenir : La marge de gain doit être positive pour la stabilité.

Identifie la pulsation $\omega_{-180}$ où la phase vaut $-180^\circ$.
Calcule le gain $G_{dB}(\omega_{-180})$.
La marge de gain est $MG = -G_{dB}(\omega_{-180})$.

💡 À retenir : La marge de gain doit être positive pour la stabilité.

Pourquoi le correcteur P seul ne suffit pas souvent ?

Parce qu'il existe un compromis entre précision et stabilité. Si on augmente $K_p$ pour réduire l'erreur, le système devient oscillant et finit par devenir instable.

💡 À retenir : Le correcteur P est limité par la stabilité.

Parce qu'il existe un compromis entre précision et stabilité. Si on augmente $K_p$ pour réduire l'erreur, le système devient oscillant et finit par devenir instable.

💡 À retenir : Le correcteur P est limité par la stabilité.

Le correcteur PI est-il suffisant pour la plupart des systèmes ?

Oui, dans beaucoup d'applications industrielles (température, niveau), le PI est suffisant car il annule l'erreur statique sans la complexité du D.

💡 À retenir : Le PI est le standard industriel.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un système asservi a une fonction de transfert en boucle ouverte $FTBO(p) = \frac{10}{p(0,1p + 1)}$ .

Calculer l'erreur statique pour une entrée échelon.
On ajoute un correcteur proportionnel $K$ . Quelle valeur de $K$ permet d'avoir une erreur statique $\epsilon_s = 0,05$ ?

Exercice 1

Un système asservi a une fonction de transfert en boucle ouverte $FTBO(p) = \frac{10}{p(0,1p + 1)}$.

Calculer l'erreur statique pour une entrée échelon.
On ajoute un correcteur proportionnel $K$. Quelle valeur de $K$ permet d'avoir une erreur statique $\epsilon_s = 0,05$ ?

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Exercice 2

Soit un système $G(p) = \frac{1}{(1+p)^3}$ . On veut ajouter un correcteur $C(p) = K(1 + T_d p)$ . Expliquer qualitativement l'effet de $T_d$ sur la stabilité.

Exercice 2

Soit un système $G(p) = \frac{1}{(1+p)^3}$. On veut ajouter un correcteur $C(p) = K(1 + T_d p)$. Expliquer qualitativement l'effet de $T_d$ sur la stabilité.

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Exercice 3

Un système a une marge de phase de $10^\circ$ . Est-il stable ? Proposer une solution.

Exercice 3

Un système a une marge de phase de $10^\circ$. Est-il stable ? Proposer une solution.

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