Mathématiques · 1ère Année Bac — Lettres & Sciences Humaines

دراسة وتمثيل الدوال مادة الرياضيات أولى باك آداب وعلوم انسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Pour étudier une fonction $f$ , on suit les étapes :

Domaine de définition $D_f$ : L'ensemble des $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.
Parité : Si $f(-x) = f(x)$ , la fonction est paire (symétrique par rapport à l'axe des ordonnées). Si $f(-x) = -f(x)$ , elle est impaire (symétrique par rapport à l'origine).
Variations : On utilise la dérivée $f'(x)$ . Si $f'(x) > 0$ , $f$ est croissante. Si $f'(x) < 0$ , $f$ est décroissante.
Extremums : Si $f'$ s'annule en changeant de signe, on a un extremum.

Méthodes à maîtriser

Calculer les limites aux bornes de $D_f$ pour trouver les asymptotes.
Dresser le tableau de variations complet avec les signes de $f'$ et les valeurs de $f$ .
Tracer la courbe en plaçant d'abord les points particuliers (intersections avec les axes) et les tangentes horizontales.

Exemples corrigés

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

$D_f = \mathbb{R}$ .
$f'(x) = 2x - 4$ .
$f'(x) = 0 \iff x = 2$ .
Tableau : $f$ décroît sur $]-\infty, 2]$ et croît sur $[2, +\infty[$ . Minimum en $x=2$ est $f(2) = -1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de calculer les limites aux bornes du domaine.
Se tromper dans le signe de la dérivée.
Ne pas placer les points d'intersection avec les axes $(Ox)$ et $(Oy)$ lors du tracé.

L'essentiel du cours

Pour étudier une fonction $f$, on suit les étapes :

Domaine de définition $D_f$ : L'ensemble des $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.
Parité : Si $f(-x) = f(x)$, la fonction est paire (symétrique par rapport à l'axe des ordonnées). Si $f(-x) = -f(x)$, elle est impaire (symétrique par rapport à l'origine).
Variations : On utilise la dérivée $f'(x)$. Si $f'(x) > 0$, $f$ est croissante. Si $f'(x) < 0$, $f$ est décroissante.
Extremums : Si $f'$ s'annule en changeant de signe, on a un extremum.

Méthodes à maîtriser

Calculer les limites aux bornes de $D_f$ pour trouver les asymptotes.
Dresser le tableau de variations complet avec les signes de $f'$ et les valeurs de $f$.
Tracer la courbe en plaçant d'abord les points particuliers (intersections avec les axes) et les tangentes horizontales.

Exemples corrigés

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

$D_f = \mathbb{R}$.
$f'(x) = 2x - 4$.
$f'(x) = 0 \iff x = 2$.
Tableau : $f$ décroît sur $]-\infty, 2]$ et croît sur $[2, +\infty[$. Minimum en $x=2$ est $f(2) = -1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de calculer les limites aux bornes du domaine.
Se tromper dans le signe de la dérivée.
Ne pas placer les points d'intersection avec les axes $(Ox)$ et $(Oy)$ lors du tracé.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 دراسة وتمثيل الدوال مادة الرياضيات أولى باك آداب وعلوم انسانية

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Quel est le domaine de définition de $f(x) = \frac{1}{x-2}$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment tracer la courbe si je n'ai pas de points ?

Tu dois calculer les images de quelques points simples (comme $x=0, x=1, x=-1$ ) et les placer dans ton repère. Utilise aussi les extremums trouvés dans le tableau de variations.

💡 À retenir : Plus tu as de points, plus ton tracé sera précis.

Tu dois calculer les images de quelques points simples (comme $x=0, x=1, x=-1$) et les placer dans ton repère. Utilise aussi les extremums trouvés dans le tableau de variations.

💡 À retenir : Plus tu as de points, plus ton tracé sera précis.

Kifach n3ref wach la fonction pair wla impair?

Calcule $f(-x)$ en remplaçant chaque $x$ par $(-x)$ .
Si tu trouves $f(-x) = f(x)$ , elle est paire.
Si tu trouves $f(-x) = -f(x)$ , elle est impaire.

💡 À retenir : Si tu ne trouves ni l'un ni l'autre, la fonction n'a pas de parité particulière.

Calcule $f(-x)$ en remplaçant chaque $x$ par $(-x)$.
Si tu trouves $f(-x) = f(x)$, elle est paire.
Si tu trouves $f(-x) = -f(x)$, elle est impaire.

💡 À retenir : Si tu ne trouves ni l'un ni l'autre, la fonction n'a pas de parité particulière.

Chno hiya l'utilité dyal l'asymptote f l'examen?

L'asymptote t'aide à savoir comment la courbe se comporte quand $x$ devient très grand ou très petit. Elle te donne la direction vers laquelle la courbe "s'approche" sans jamais la toucher.

💡 À retenir : Une asymptote horizontale $y=b$ signifie que la courbe se stabilise vers la valeur $b$ à l'infini.

L'asymptote t'aide à savoir comment la courbe se comporte quand $x$ devient très grand ou très petit. Elle te donne la direction vers laquelle la courbe "s'approche" sans jamais la toucher.

💡 À retenir : Une asymptote horizontale $y=b$ signifie que la courbe se stabilise vers la valeur $b$ à l'infini.

Kifach n7seb no9at ta9ato3 m3a l'axe des abscisses?

Pour trouver les points d'intersection avec l'axe des abscisses $(Ox)$ , tu dois résoudre l'équation $f(x) = 0$ . Les solutions $x_1, x_2...$ donnent les points $(x_1, 0), (x_2, 0)$ .

💡 À retenir : L'intersection avec l'axe des ordonnées $(Oy)$ est toujours le point $(0, f(0))$ .

Pour trouver les points d'intersection avec l'axe des abscisses $(Ox)$, tu dois résoudre l'équation $f(x) = 0$. Les solutions $x_1, x_2...$ donnent les points $(x_1, 0), (x_2, 0)$.

💡 À retenir : L'intersection avec l'axe des ordonnées $(Oy)$ est toujours le point $(0, f(0))$.

Pourquoi on calcule la dérivée pour étudier une fonction ?

La dérivée $f'(x)$ indique le sens de variation. Le signe de $f'(x)$ te dit si la courbe monte ou descend, ce qui est indispensable pour tracer le graphique.

💡 À retenir : $f'(x) > 0$ signifie que la fonction est croissante.

La dérivée $f'(x)$ indique le sens de variation. Le signe de $f'(x)$ te dit si la courbe monte ou descend, ce qui est indispensable pour tracer le graphique.

💡 À retenir : $f'(x) > 0$ signifie que la fonction est croissante.

Est-ce qu'on doit toujours calculer les limites aux bornes ?

Oui, c'est obligatoire. Les limites aux bornes de $D_f$ permettent de savoir si la courbe a des asymptotes ou si elle tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ .

💡 À retenir : Sans les limites, tu ne peux pas savoir d'où vient la courbe et où elle va.

Oui, c'est obligatoire. Les limites aux bornes de $D_f$ permettent de savoir si la courbe a des asymptotes ou si elle tend vers $+\infty$ ou $-\infty$.

💡 À retenir : Sans les limites, tu ne peux pas savoir d'où vient la courbe et où elle va.

Comment savoir si un point est un extremum ?

Un point est un extremum si la dérivée $f'(x)$ s'annule en changeant de signe. Si elle passe de moins à plus, c'est un minimum. Si elle passe de plus à moins, c'est un maximum.

💡 À retenir : Un extremum est une "bosse" ou un "creux" sur la courbe.

Un point est un extremum si la dérivée $f'(x)$ s'annule en changeant de signe. Si elle passe de moins à plus, c'est un minimum. Si elle passe de plus à moins, c'est un maximum.

💡 À retenir : Un extremum est une "bosse" ou un "creux" sur la courbe.

Est-ce que le domaine de définition est toujours mathbb{R} ?

Non, pas du tout. Si tu as une fraction, le dénominateur doit être différent de zéro. Si tu as une racine carrée, ce qui est dedans doit être positif.

💡 À retenir : Toujours vérifier les contraintes avant de commencer.

Quelle est la différence entre une asymptote verticale et horizontale ?

Une asymptote verticale $x=a$ se produit quand la limite en $a$ est infinie. Une asymptote horizontale $y=b$ se produit quand la limite en $\pm\infty$ est égale à $b$ .

💡 À retenir : L'une concerne les valeurs interdites, l'autre le comportement à l'infini.

Une asymptote verticale $x=a$ se produit quand la limite en $a$ est infinie. Une asymptote horizontale $y=b$ se produit quand la limite en $\pm\infty$ est égale à $b$.

💡 À retenir : L'une concerne les valeurs interdites, l'autre le comportement à l'infini.

Est-ce que la dérivée est toujours nécessaire ?

Pour les fonctions du second degré (paraboles), tu peux utiliser le sommet $-b/2a$ . Mais pour les autres fonctions, la dérivée est l'outil principal et indispensable.

💡 À retenir : La dérivée est la clé pour comprendre les variations.

Pour les fonctions du second degré (paraboles), tu peux utiliser le sommet $-b/2a$. Mais pour les autres fonctions, la dérivée est l'outil principal et indispensable.

💡 À retenir : La dérivée est la clé pour comprendre les variations.

Comment justifier le tracé de la courbe ?

Tu dois mentionner les points d'intersection, les extremums, et les asymptotes. Si la courbe est symétrique, précise-le aussi pour justifier ton tracé.