Mathématiques · 1ère Année Bac — Lettres & Sciences Humaines

التعداد مادة الرياضيات أولى باكالوريا آداب وعلوم انسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le dénombrement permet de compter le nombre de possibilités d'une expérience aléatoire.

Le principe multiplicatif : Si une expérience se déroule en deux étapes, la première ayant $n$ choix et la deuxième $m$ choix, le nombre total est $n \times m$ .
Arrangements : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ . L'ordre compte.
Combinaisons : Le nombre de choix de $p$ éléments parmi $n$ est $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ . L'ordre ne compte pas.
Propriétés : $C_n^0 = 1$ , $C_n^1 = n$ , $C_n^n = 1$ et $C_n^p = C_n^{n-p}$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier si l'ordre est important (Arrangement) ou non (Combinaison).
Distinguer le tirage simultané (Combinaison) du tirage successif sans remise (Arrangement) et avec remise (Puissance).
Utiliser la calculatrice pour $n!$ , $A_n^p$ et $C_n^p$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 2 boules parmi 5 simultanément : $C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ .
Exemple 2 : Nombre de façons de choisir un président et un secrétaire parmi 10 personnes : $A_{10}^2 = 10 \times 9 = 90$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Rappelez-vous, "Combinaison" = "Comité" (l'ordre ne compte pas).
Oublier que $0! = 1$ .
Utiliser la mauvaise formule pour le tirage avec remise ( $n^p$ ).

L'essentiel du cours

Le dénombrement permet de compter le nombre de possibilités d'une expérience aléatoire.

Le principe multiplicatif : Si une expérience se déroule en deux étapes, la première ayant $n$ choix et la deuxième $m$ choix, le nombre total est $n \times m$.
Arrangements : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$. L'ordre compte.
Combinaisons : Le nombre de choix de $p$ éléments parmi $n$ est $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$. L'ordre ne compte pas.
Propriétés : $C_n^0 = 1$, $C_n^1 = n$, $C_n^n = 1$ et $C_n^p = C_n^{n-p}$.

Méthodes à maîtriser

Identifier si l'ordre est important (Arrangement) ou non (Combinaison).
Distinguer le tirage simultané (Combinaison) du tirage successif sans remise (Arrangement) et avec remise (Puissance).
Utiliser la calculatrice pour $n!$, $A_n^p$ et $C_n^p$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 2 boules parmi 5 simultanément : $C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
Exemple 2 : Nombre de façons de choisir un président et un secrétaire parmi 10 personnes : $A_{10}^2 = 10 \times 9 = 90$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Rappelez-vous, "Combinaison" = "Comité" (l'ordre ne compte pas).
Oublier que $0! = 1$.
Utiliser la mauvaise formule pour le tirage avec remise ($n^p$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 التعداد مادة الرياضيات أولى باكالوريا آداب وعلوم انسانية

1/4

Combien vaut $C_4^2$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach nst3mel An^p wla Cn^p ?

Pose-toi la question : "Est-ce que l'ordre des éléments choisis change le résultat ?"
Si oui (ex: podium, président/secrétaire), utilise $A_n^p$ .
Si non (ex: un groupe de 3 élèves, tirage simultané), utilise $C_n^p$ .

💡 À retenir : L'ordre est la clé : si l'ordre compte, c'est un arrangement. Sinon, c'est une combinaison.

Pose-toi la question : "Est-ce que l'ordre des éléments choisis change le résultat ?"
Si oui (ex: podium, président/secrétaire), utilise $A_n^p$.
Si non (ex: un groupe de 3 élèves, tirage simultané), utilise $C_n^p$.

💡 À retenir : L'ordre est la clé : si l'ordre compte, c'est un arrangement. Sinon, c'est une combinaison.

Chno hiya "s7b ta2ni" f l2imtihan ?

"S7b ta2ni" (tirage simultané) signifie que tu tires plusieurs objets en même temps. Comme tu ne peux pas distinguer l'ordre, on utilise toujours les combinaisons ( $C_n^p$ ).

💡 À retenir : Simultané = Combinaison ( $C_n^p$ ).

"S7b ta2ni" (tirage simultané) signifie que tu tires plusieurs objets en même temps. Comme tu ne peux pas distinguer l'ordre, on utilise toujours les combinaisons ($C_n^p$).

💡 À retenir : Simultané = Combinaison ($C_n^p$).

Wach Cn^p katkon dima kbira 3la An^p ?

Non, c'est l'inverse. $A_n^p$ est toujours plus grand ou égal à $C_n^p$ car dans $A_n^p$ on compte toutes les permutations des éléments choisis.

💡 À retenir : $A_n^p = p! \times C_n^p$ .

Non, c'est l'inverse. $A_n^p$ est toujours plus grand ou égal à $C_n^p$ car dans $A_n^p$ on compte toutes les permutations des éléments choisis.

💡 À retenir : $A_n^p = p! \times C_n^p$.

Comment calculer 5! ?

Il suffit de multiplier tous les entiers de 5 jusqu'à 1 : $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ .

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$ .

Il suffit de multiplier tous les entiers de 5 jusqu'à 1 : $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$.

Est-ce que Cn^p = Cp^n ?

Non, c'est faux. La formule correcte est $C_n^p = C_n^{n-p}$ . Par exemple, $C_5^2 = C_5^3 = 10$ .

💡 À retenir : On peut simplifier le calcul en utilisant la symétrie.

Non, c'est faux. La formule correcte est $C_n^p = C_n^{n-p}$. Par exemple, $C_5^2 = C_5^3 = 10$.

💡 À retenir : On peut simplifier le calcul en utilisant la symétrie.

Si on tire avec remise, quelle formule utiliser ?

Pour un tirage avec remise de $p$ objets parmi $n$ , le nombre de possibilités est $n^p$ .

💡 À retenir : Avec remise = Puissance ( $n^p$ ).

Pour un tirage avec remise de $p$ objets parmi $n$, le nombre de possibilités est $n^p$.

💡 À retenir : Avec remise = Puissance ($n^p$).

Wach momkin p tkon kber mn n f Cn^p ?

Non, c'est impossible. On ne peut pas choisir 5 boules dans un sac qui n'en contient que 3. Dans ce cas, $C_n^p = 0$ .

💡 À retenir : Toujours $p \leq n$ .

Non, c'est impossible. On ne peut pas choisir 5 boules dans un sac qui n'en contient que 3. Dans ce cas, $C_n^p = 0$.

💡 À retenir : Toujours $p \leq n$.

Comment justifier le choix de la formule dans l'examen ?

Précise le type de tirage (simultané, successif avec/sans remise).
Indique si l'ordre est pris en compte.
Donne la formule utilisée ( $C_n^p$ ou $A_n^p$ ou $n^p$ ).

💡 À retenir : La justification est aussi importante que le résultat.

Précise le type de tirage (simultané, successif avec/sans remise).
Indique si l'ordre est pris en compte.
Donne la formule utilisée ($C_n^p$ ou $A_n^p$ ou $n^p$).

💡 À retenir : La justification est aussi importante que le résultat.

Est-ce que Cn^0 est toujours égal à 1 ?

Oui, choisir 0 élément parmi $n$ ne peut se faire que d'une seule manière : ne rien choisir.

💡 À retenir : $C_n^0 = 1$ et $C_n^n = 1$ .

Oui, choisir 0 élément parmi $n$ ne peut se faire que d'une seule manière : ne rien choisir.

💡 À retenir : $C_n^0 = 1$ et $C_n^n = 1$.

Pourquoi on divise par p! dans Cn^p ?

On divise par $p!$ pour éliminer l'ordre. Comme $A_n^p$ compte les ordres, et qu'il y a $p!$ façons d'ordonner $p$ éléments, on divise pour ne garder que les groupes.

💡 À retenir : $C_n^p = \frac{A_n^p}{p!}$ .

On divise par $p!$ pour éliminer l'ordre. Comme $A_n^p$ compte les ordres, et qu'il y a $p!$ façons d'ordonner $p$ éléments, on divise pour ne garder que les groupes.

💡 À retenir : $C_n^p = \frac{A_n^p}{p!}$.

Est-ce que le résultat d'un dénombrement peut être négatif ?

Non, le nombre de possibilités est toujours un entier naturel positif ou nul.

💡 À retenir : Si tu trouves un nombre négatif, vérifie ton calcul.

Est-ce que l'ordre des questions dans l'exercice de dénombrement est important ?

Oui, souvent les questions sont liées. Réussir la première aide à comprendre la logique pour les suivantes.

💡 À retenir : Procède étape par étape.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un sac contient 8 boules : 5 rouges et 3 bleues. On tire simultanément 3 boules du sac.

Quel est le nombre total de tirages possibles ?
Quel est le nombre de tirages contenant 3 boules rouges ?
Quel est le nombre de tirages contenant 2 boules rouges et 1 bleue ?

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Exercice 2

On veut former un bureau composé d'un président et d'un secrétaire choisis parmi 10 personnes.

Combien de bureaux différents peut-on former ?
Si on ajoute une condition : le président doit être une femme (il y a 4 femmes et 6 hommes), combien de bureaux sont possibles ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Un code de cadenas est composé de 3 chiffres choisis parmi {0, 1, 2, 3, 4}.

Combien de codes peut-on former si les chiffres peuvent se répéter ?
Combien de codes peut-on former si les chiffres ne peuvent pas se répéter ?

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