Microéconomie · Université — Licence — Économie & gestion (FSJES)

La théorie de la production : la fonction de production

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La fonction de production exprime la relation technique entre les quantités d'inputs (L, K) et le volume maximal de production ( $Q$ ).

Court terme : $Q = f(L, \bar{K})$ . Un facteur est fixe.
Long terme : $Q = f(L, K)$ . Tous les facteurs sont variables.
Productivité moyenne : $PM_L = \frac{Q}{L}$
Productivité marginale : $Pm_L = \frac{\Delta Q}{\Delta L} = \frac{dQ}{dL}$
TMST : $TMST_{L/K} = \frac{Pm_L}{Pm_K} = -\frac{dK}{dL}$

Méthodes à maîtriser

Calcul des productivités : Dériver la fonction par rapport au facteur concerné.
Détermination du TMST : Calculer le rapport des productivités marginales.
Analyse des rendements d'échelle : Si $f(\lambda L, \lambda K) = \lambda^n f(L, K)$ $f (λ L, λ K) = λ^{n} f (L, K)$ , alors :
- $n=1$ : Rendements constants.
- $n>1$ : Rendements croissants.
- $n<1$ : Rendements décroissants.

Exemples corrigés

Soit $Q = 10L^{0.5}K^{0.5}$ .

$Pm_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = 5L^{-0.5}K^{0.5} = 5\sqrt{\frac{K}{L}}$
Rendements d'échelle : $10(\lambda L)^{0.5}(\lambda K)^{0.5} = 10 \lambda^{0.5+0.5} L^{0.5}K^{0.5} = \lambda^1 Q$ . Rendements constants.

Erreurs fréquentes

Confondre $PM$ (moyenne) et $Pm$ (marginale).
Oublier que le TMST est toujours positif (en valeur absolue).
Appliquer les rendements d'échelle à une fonction de court terme (impossible).

L'essentiel du cours

La fonction de production exprime la relation technique entre les quantités d'inputs (L, K) et le volume maximal de production ($Q$).

Court terme : $Q = f(L, \bar{K})$. Un facteur est fixe.
Long terme : $Q = f(L, K)$. Tous les facteurs sont variables.
Productivité moyenne : $PM_L = \frac{Q}{L}$
Productivité marginale : $Pm_L = \frac{\Delta Q}{\Delta L} = \frac{dQ}{dL}$
TMST : $TMST_{L/K} = \frac{Pm_L}{Pm_K} = -\frac{dK}{dL}$

Méthodes à maîtriser

Calcul des productivités : Dériver la fonction par rapport au facteur concerné.
Détermination du TMST : Calculer le rapport des productivités marginales.
Analyse des rendements d'échelle : Si $f(\lambda L, \lambda K) = \lambda^n f(L, K)$, alors :
- $n=1$ : Rendements constants.
- $n>1$ : Rendements croissants.
- $n<1$ : Rendements décroissants.

Exemples corrigés

Soit $Q = 10L^{0.5}K^{0.5}$.

$Pm_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = 5L^{-0.5}K^{0.5} = 5\sqrt{\frac{K}{L}}$
Rendements d'échelle : $10(\lambda L)^{0.5}(\lambda K)^{0.5} = 10 \lambda^{0.5+0.5} L^{0.5}K^{0.5} = \lambda^1 Q$. Rendements constants.

Erreurs fréquentes

Confondre $PM$ (moyenne) et $Pm$ (marginale).
Oublier que le TMST est toujours positif (en valeur absolue).
Appliquer les rendements d'échelle à une fonction de court terme (impossible).

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🎯 La théorie de la production : la fonction de production

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La productivité marginale est définie comme :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre la productivité marginale et moyenne ?

La productivité moyenne ( $PM$ ) mesure l'efficacité globale : c'est la production totale divisée par la quantité de facteur utilisée.
La productivité marginale ( $Pm$ ) mesure l'efficacité de la dernière unité ajoutée : c'est l'accroissement de la production dû à une unité supplémentaire de facteur.

💡 À retenir : La $Pm$ est la dérivée de la fonction de production, tandis que la $PM$ est son ratio.

La productivité moyenne ($PM$) mesure l'efficacité globale : c'est la production totale divisée par la quantité de facteur utilisée.
La productivité marginale ($Pm$) mesure l'efficacité de la dernière unité ajoutée : c'est l'accroissement de la production dû à une unité supplémentaire de facteur.

💡 À retenir : La $Pm$ est la dérivée de la fonction de production, tandis que la $PM$ est son ratio.

Kifach n7seb TMST ila 3tani fonction Cobb-Douglas Q = AL^alpha K^beta ?

7seb $Pm_L$ (dérivée par rapport à $L$ ).
7seb $Pm_K$ (dérivée par rapport à $K$ ).
Diri $TMST = \frac{Pm_L}{Pm_K}$ .
Simplifie l'expression.

💡 À retenir : Pour $Q = AL^\alpha K^\beta$ , le $TMST = \frac{\alpha K}{\beta L}$ .

7seb $Pm_L$ (dérivée par rapport à $L$).
7seb $Pm_K$ (dérivée par rapport à $K$).
Diri $TMST = \frac{Pm_L}{Pm_K}$.
Simplifie l'expression.

💡 À retenir : Pour $Q = AL^\alpha K^\beta$, le $TMST = \frac{\alpha K}{\beta L}$.

Est-ce que la productivité marginale peut être négative ?

Oui, dans la phase 3 de la production, l'ajout d'un facteur supplémentaire peut encombrer le processus productif et faire baisser la production totale.

💡 À retenir : Une $Pm < 0$ signifie que l'entreprise utilise trop de facteurs par rapport à sa capacité technique.

Oui, dans la phase 3 de la production, l'ajout d'un facteur supplémentaire peut encombrer le processus productif et faire baisser la production totale.

💡 À retenir : Une $Pm < 0$ signifie que l'entreprise utilise trop de facteurs par rapport à sa capacité technique.

Chno hiya "Loi des rendements décroissants" exactement ?

C'est une loi de court terme : si on augmente un facteur variable (ex: travail) tout en gardant un facteur fixe (ex: capital), la productivité marginale finit par diminuer.

💡 À retenir : C'est le phénomène de saturation du facteur fixe.

Comment savoir si les rendements d'échelle sont croissants ou décroissants ?

Il faut multiplier $L$ et $K$ par un coefficient $\lambda$ et voir comment $Q$ évolue.

Si $Q_{new} = \lambda^n Q_{old}$ :
$n > 1 \rightarrow$ Croissants.
$n = 1 \rightarrow$ Constants.
$n < 1 \rightarrow$ Décroissants.

💡 À retenir : Pour Cobb-Douglas, il suffit de regarder la somme des exposants $\alpha + \beta$ .

Il faut multiplier $L$ et $K$ par un coefficient $\lambda$ et voir comment $Q$ évolue.

Si $Q_{new} = \lambda^n Q_{old}$ :
$n > 1 \rightarrow$ Croissants.
$n = 1 \rightarrow$ Constants.
$n < 1 \rightarrow$ Décroissants.

💡 À retenir : Pour Cobb-Douglas, il suffit de regarder la somme des exposants $\alpha + \beta$.

Wach l'isoquante kikon dima 3ndou nefss chkel ?

Non, sa forme dépend de la substituabilité des facteurs.

Cobb-Douglas : convexe.
Facteurs parfaits substituts : droite.
Facteurs complémentaires (Leontief) : en forme de L.

💡 À retenir : La convexité traduit la loi du TMST décroissant.

Pourquoi le TMST est-il décroissant le long d'une isoquante ?

Parce que plus on remplace le capital par le travail, plus le travail devient abondant et donc moins efficace, alors que le capital devient rare et donc plus précieux.

💡 À retenir : C'est ce qui donne la forme convexe à l'isoquante.

Kifach n3ref wach l'entreprise f'court terme wla long terme ?

Regarde la fonction de production :

Si elle contient un seul facteur variable (ex: $Q = f(L)$ ), c'est le court terme.
Si elle contient deux facteurs variables (ex: $Q = f(L, K)$ ), c'est le long terme.

💡 À retenir : Le court terme est défini par la présence d'au moins un facteur fixe.

Regarde la fonction de production :

Si elle contient un seul facteur variable (ex: $Q = f(L)$), c'est le court terme.
Si elle contient deux facteurs variables (ex: $Q = f(L, K)$), c'est le long terme.

💡 À retenir : Le court terme est défini par la présence d'au moins un facteur fixe.

Est-ce que la productivité marginale est toujours égale à la productivité moyenne au maximum ?

Oui, mathématiquement, quand la courbe de $PM$ atteint son maximum, elle coupe la courbe de $Pm$ .

💡 À retenir : $Pm = PM$ au point où $PM$ est maximale.

Oui, mathématiquement, quand la courbe de $PM$ atteint son maximum, elle coupe la courbe de $Pm$.

💡 À retenir : $Pm = PM$ au point où $PM$ est maximale.

Chno l'far9 bin rendement factoriel et rendement d'échelle ?

Rendement factoriel : on change un seul facteur (court terme).
Rendement d'échelle : on change tous les facteurs dans la même proportion (long terme).

💡 À retenir : Ne jamais confondre l'échelle (taille de l'entreprise) et l'intensité factorielle.

Est-ce que la fonction de production est toujours croissante ?

Normalement oui, dans la zone économiquement rationnelle. Mais elle peut devenir décroissante si l'ajout de facteurs nuit à l'organisation.

💡 À retenir : Une entreprise rationnelle ne produit jamais là où la $Pm$ est négative.

Normalement oui, dans la zone économiquement rationnelle. Mais elle peut devenir décroissante si l'ajout de facteurs nuit à l'organisation.

💡 À retenir : Une entreprise rationnelle ne produit jamais là où la $Pm$ est négative.

Comment interpréter le TMST = 2 ?

Cela signifie que pour maintenir le même niveau de production, si l'entreprise réduit le capital de 2 unités, elle doit augmenter le travail de 1 unité.