Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Un espace vectoriel $(E, +, \cdot)$ sur $\mathbb{R}$ est un ensemble muni d'une addition interne et d'une multiplication externe vérifiant 8 axiomes. Un sous-espace vectoriel $F \subset E$ doit contenir le vecteur nul $0_E$ et être stable par combinaison linéaire : $\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2, \forall (u, v) \in F^2, \alpha u + \beta v \in F$.
Une famille $(e_1, ..., e_n)$ est une base si elle est libre et génératrice. La dimension est le nombre de vecteurs d'une base.
Pour une application linéaire $f : E \to F$ :
$\ker(f) = {x \in E / f(x) = 0_F}$
$\text{Im}(f) = {f(x) / x \in E}$
Théorème du rang : $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f))$.
Méthodes à maîtriser
Montrer qu'un ensemble est un SEV : Vérifier $0_E \in F$ puis la stabilité par combinaison linéaire.
Montrer qu'une famille est une base : Si $\dim(E)=n$, montrer que la famille est libre (ou génératrice) et possède $n$ éléments.
Déterminer le noyau : Résoudre l'équation $f(x) = 0_E$ en posant $x = (x_1, ..., x_n)$.
Déterminer l'image : Chercher l'image des vecteurs de la base canonique.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Soit $F = {(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 / x + y = 0}$. $F$ est un SEV car $0+0=0$ et pour $u, v \in F$, $\alpha u + \beta v$ vérifie la même condition.
Exemple 2 : Soit $f(x, y) = (x+y, x-y)$. $\ker(f) : x+y=0$ et $x-y=0 \implies x=y=0$. $\ker(f) = {(0,0)}$, donc $f$ est injective.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier que le vecteur nul appartient à l'ensemble.
Confondre "famille libre" et "base" (oublier de vérifier le nombre d'éléments ou le caractère générateur).
Appliquer le théorème du rang sur une application qui n'est pas linéaire.
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.
Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ tel que $\dim(\ker(f)) = 0$. Alors :
❓ Questions fréquentes
Est-ce que l'ensemble des vecteurs (x, y) tels que x+y=1 est un sous-espace vectoriel ?
Non, car le vecteur nul $(0, 0)$ ne vérifie pas l'équation $0+0=1$. Un sous-espace vectoriel doit impérativement contenir le vecteur nul.
💡 À retenir : Si $0_E \notin F$, alors $F$ n'est pas un SEV.
Kifach n7seb la dimension dial wahed l'espace vectoriel ?
9elleb 3la une base (أساس) ديال هاد الفضاء.
7seb ch7al men vecteur kayn f had l'base.
Dak l'3adad howa la dimension.
💡 À retenir : La dimension est le nombre de vecteurs dans n'importe quelle base.
Quelle est la différence entre une application linéaire et un endomorphisme ?
Une application linéaire est une fonction $f: E \to F$ entre deux espaces vectoriels. Un endomorphisme est un cas particulier où l'espace de départ et d'arrivée sont les mêmes ($f: E \to E$).
💡 À retenir : Endomorphisme = Application linéaire de $E$ dans $E$.
Chno hiya l'image d'une application linéaire ?
L'image $\text{Im}(f)$ est l'ensemble de tous les vecteurs $y$ dans l'espace d'arrivée qui ont au moins un antécédent $x$ dans l'espace de départ tel que $f(x) = y$.
💡 À retenir : $\text{Im}(f) = \text{vect}(f(e_1), ..., f(e_n))$ où $(e_i)$ est une base de $E$.
Est-ce qu'une famille libre est toujours une base ?
Non. Une famille libre est une base seulement si elle est aussi génératrice de l'espace. Si la dimension de l'espace est $n$, une famille libre de $n$ vecteurs est automatiquement une base.
💡 À retenir : Libre + Génératrice = Base.
Kifach nbiyen belli wahed l'application f hiya linéaire ?
Khassk tbeyen جوج شروط:
$f(u+v) = f(u) + f(v)$ (additivité).
$f(\alpha u) = \alpha f(u)$ (homogénéité).
💡 À retenir : $f(\alpha u + \beta v) = \alpha f(u) + \beta f(v)$.
Qu'est-ce que le rang d'une application linéaire ?
C'est la dimension de l'image de l'application. Il mesure la "taille" de l'espace atteint par l'application.
💡 À retenir : $\text{rg}(f) = \dim(\text{Im}(f))$.
Si ker(f) = {0}, que peut-on dire de f ?
Si le noyau est réduit au vecteur nul, alors l'application linéaire $f$ est injective.
💡 À retenir : $f$ est injective $\iff \ker(f) = {0}$.
Est-ce que l'union de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel ?
En général, non. Par exemple, deux droites vectorielles distinctes dans $\mathbb{R}^2$ ne forment pas un SEV par leur union, car la somme de deux vecteurs (un sur chaque droite) n'est pas forcément dans l'union.
💡 À retenir : L'union n'est un SEV que si l'un est inclus dans l'autre.
Comment déterminer la matrice d'une application linéaire ?
Choisir une base $(e_1, ..., e_n)$ au départ et $(f_1, ..., f_m)$ à l'arrivée.
Calculer les images $f(e_j)$ pour chaque $j$.
Exprimer chaque $f(e_j)$ comme combinaison linéaire des $f_i$.
Les coefficients forment les colonnes de la matrice.
💡 À retenir : Colonne $j$ = coordonnées de $f(e_j)$.
Est-ce qu'un isomorphisme conserve la dimension ?
Oui, par définition, un isomorphisme est une application linéaire bijective. Pour qu'une telle application existe, il faut que $\dim(E) = \dim(F)$.
💡 À retenir : Deux espaces sont isomorphes s'ils ont la même dimension.
Si dim(E) = 3 et dim(ker(f)) = 1, quel est le rang de f ?
D'après le théorème du rang : $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \text{rg}(f)$.
Donc $3 = 1 + \text{rg}(f)$, ce qui donne $\text{rg}(f) = 2$.
💡 À retenir : $\text{rg}(f) = \dim(E) - \dim(\ker(f))$.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soit $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y, z) = (x+y, y+z)$.
Un espace vectoriel (E,+,⋅) sur R est un ensemble muni d'une addition interne et d'une multiplication externe vérifiant 8 axiomes. Un sous-espace vectoriel F⊂E doit contenir le vecteur nul 0E et être stable par combinaison linéaire : ∀(α,β)∈R2,∀(u,v)∈F2,αu+βv∈F.
Une famille (e1,...,en) est une base si elle est libre et génératrice. La dimension est le nombre de vecteurs d'une base.
Pour une application linéaire f:E→F :
ker(f)={x∈E/f(x)=0F}
Im(f)={f(x)/x∈E}
Théorème du rang : dim(E)=dim(ker(f))+dim(Im(f)).
Méthodes à maîtriser
Montrer qu'un ensemble est un SEV : Vérifier 0E∈F puis la stabilité par combinaison linéaire.
Montrer qu'une famille est une base : Si dim(E)=n, montrer que la famille est libre (ou génératrice) et possède n éléments.
Déterminer le noyau : Résoudre l'équation f(x)=0E en posant x=(x1,...,xn).
Déterminer l'image : Chercher l'image des vecteurs de la base canonique.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Soit F={(x,y,z)∈R3/x+y=0}. F est un SEV car 0+0=0 et pour u,v∈F, αu+βv vérifie la même condition.
Exemple 2 : Soit f(x,y)=(x+y,x−y). ker(f):x+y=0 et x−y=0⟹x=y=0. ker(f)={(0,0)}, donc f est injective.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier que le vecteur nul appartient à l'ensemble.
Confondre "famille libre" et "base" (oublier de vérifier le nombre d'éléments ou le caractère générateur).
Appliquer le théorème du rang sur une application qui n'est pas linéaire.
Soit f un endomorphisme de R3 tel que dim(ker(f))=0. Alors :
f n'est pas injective.
rg(f)=0.
Non, car le vecteur nul (0,0) ne vérifie pas l'équation 0+0=1. Un sous-espace vectoriel doit impérativement contenir le vecteur nul.
💡 À retenir : Si 0E∈/F, alors F n'est pas un SEV.
Une application linéaire est une fonction f:E→F entre deux espaces vectoriels. Un endomorphisme est un cas particulier où l'espace de départ et d'arrivée sont les mêmes (f:E→E).
💡 À retenir : Endomorphisme = Application linéaire de E dans E.
L'image Im(f) est l'ensemble de tous les vecteurs y dans l'espace d'arrivée qui ont au moins un antécédent x dans l'espace de départ tel que f(x)=y.
💡 À retenir : Im(f)=vect(f(e1),...,f(en)) où (ei) est une base de E.
Non. Une famille libre est une base seulement si elle est aussi génératrice de l'espace. Si la dimension de l'espace est n, une famille libre de n vecteurs est automatiquement une base.
💡 À retenir : Libre + Génératrice = Base.
Khassk tbeyen جوج شروط:
f(u+v)=f(u)+f(v) (additivité).
f(αu)=αf(u) (homogénéité).
💡 À retenir : f(αu+βv)=αf(u)+βf(v).
C'est la dimension de l'image de l'application. Il mesure la "taille" de l'espace atteint par l'application.
💡 À retenir : rg(f)=dim(Im(f)).
Si le noyau est réduit au vecteur nul, alors l'application linéaire f est injective.
💡 À retenir : f est injective ⟺ker(f)={0}.
En général, non. Par exemple, deux droites vectorielles distinctes dans R2 ne forment pas un SEV par leur union, car la somme de deux vecteurs (un sur chaque droite) n'est pas forcément dans l'union.
💡 À retenir : L'union n'est un SEV que si l'un est inclus dans l'autre.
Choisir une base (e1,...,en) au départ et (f1,...,fm) à l'arrivée.
Calculer les images f(ej) pour chaque j.
Exprimer chaque f(ej) comme combinaison linéaire des fi.
Les coefficients forment les colonnes de la matrice.
💡 À retenir : Colonne j = coordonnées de f(ej).
Oui, par définition, un isomorphisme est une application linéaire bijective. Pour qu'une telle application existe, il faut que dim(E)=dim(F).
💡 À retenir : Deux espaces sont isomorphes s'ils ont la même dimension.
D'après le théorème du rang : dim(E)=dim(ker(f))+rg(f).
Donc 3=1+rg(f), ce qui donne rg(f)=2.
💡 À retenir : rg(f)=dim(E)−dim(ker(f)).
Exercice 1
Soit f:R3→R2 définie par f(x,y,z)=(x+y,y+z).
Montrer que f est une application linéaire.
Déterminer une base de ker(f).
Déterminer le rang de f.
Exercice 2
Soit E=R2. On considère les vecteurs u1=(1,2) et u2=(2,1).
Montrer que B=(u1,u2) est une base de R2.
Soit v=(3,3). Déterminer les coordonnées de v dans la base B.
Exercice 3
Soit F={P∈R2[X]/P(1)=0}.
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R2[X].