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Fonctions de plusieurs variables : Calcul différentiel

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $f: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ .

Dérivées partielles : $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+he_i)-f(a)}{h}$ .
Gradient : $\nabla f(a) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)$ .
Différentielle : $df_a(h) = \langle \nabla f(a), h \rangle$ .
Matrice Hessienne : $H_f(a) = \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) \right)_{i,j}$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer le gradient pour trouver les points critiques ( $\nabla f = 0$ ).
Utiliser la matrice Hessienne pour déterminer la nature d'un point critique (définie positive/négative).
Appliquer la règle de la chaîne pour les changements de variables.

Exemples corrigés

Soit $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x$ . $\nabla f = (2x-2, 2y)$ . Point critique : $(1,0)$ . $H_f = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Valeurs propres $>0$ , donc minimum local.

Erreurs fréquentes

Oublier que la différentielle est une application linéaire.
Confondre le gradient (vecteur) avec la différentielle (forme linéaire).
Négliger la continuité des dérivées secondes pour appliquer le théorème de Schwarz.

L'essentiel du cours

Soit $f: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$.

Dérivées partielles : $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+he_i)-f(a)}{h}$.
Gradient : $\nabla f(a) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)$.
Différentielle : $df_a(h) = \langle \nabla f(a), h \rangle$.
Matrice Hessienne : $H_f(a) = \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) \right)_{i,j}$.

Méthodes à maîtriser

Calculer le gradient pour trouver les points critiques ($\nabla f = 0$).
Utiliser la matrice Hessienne pour déterminer la nature d'un point critique (définie positive/négative).
Appliquer la règle de la chaîne pour les changements de variables.

Exemples corrigés

Soit $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x$. $\nabla f = (2x-2, 2y)$. Point critique : $(1,0)$. $H_f = \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Valeurs propres $>0$, donc minimum local.

Erreurs fréquentes

Oublier que la différentielle est une application linéaire.
Confondre le gradient (vecteur) avec la différentielle (forme linéaire).
Négliger la continuité des dérivées secondes pour appliquer le théorème de Schwarz.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Fonctions de plusieurs variables : Calcul différentiel

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Soit $f(x,y) = x^2 + y^2$ . Quel est le gradient en $(1,1)$ ?

Soit $f(x,y) = x^2 + y^2$. Quel est le gradient en $(1,1)$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l'gradient f wahed l'no9ta ?

Tu calcules la dérivée partielle par rapport à $x$ en considérant $y$ comme une constante.
Tu calcules la dérivée partielle par rapport à $y$ en considérant $x$ comme une constante.
Tu écris le vecteur $\nabla f(x,y) = \begin{pmatrix} \partial f / \partial x \\ \partial f / \partial y \end{pmatrix}$ .
Tu remplaces $x$ et $y$ par les coordonnées de ton point.

💡 À retenir : Le gradient est toujours un vecteur, pas un scalaire.

Tu calcules la dérivée partielle par rapport à $x$ en considérant $y$ comme une constante.
Tu calcules la dérivée partielle par rapport à $y$ en considérant $x$ comme une constante.
Tu écris le vecteur $\nabla f(x,y) = \begin{pmatrix} \partial f / \partial x \ \partial f / \partial y \end{pmatrix}$.
Tu remplaces $x$ et $y$ par les coordonnées de ton point.

💡 À retenir : Le gradient est toujours un vecteur, pas un scalaire.

Chno hiya l'matrice Hessienne o imta kankhedmo biha ?

C'est la matrice carrée des dérivées partielles d'ordre 2.
On l'utilise pour caractériser la nature d'un point critique (minimum, maximum ou point selle).
Si les valeurs propres sont toutes positives, c'est un minimum. Si négatives, un maximum.

💡 À retenir : La matrice Hessienne est symétrique si $f$ est de classe $C^2$ .

C'est la matrice carrée des dérivées partielles d'ordre 2.
On l'utilise pour caractériser la nature d'un point critique (minimum, maximum ou point selle).
Si les valeurs propres sont toutes positives, c'est un minimum. Si négatives, un maximum.

💡 À retenir : La matrice Hessienne est symétrique si $f$ est de classe $C^2$.

Kifach n3ref wach l'point critique max aw min ?

Tu calcules les valeurs propres de la matrice Hessienne au point critique.
Si toutes les valeurs propres sont $>0$ , c'est un minimum local.
Si toutes les valeurs propres sont $<0$ , c'est un maximum local.
Si elles sont de signes opposés, c'est un point selle (point col).

💡 À retenir : Si une valeur propre est nulle, le test est non concluant.

Tu calcules les valeurs propres de la matrice Hessienne au point critique.
Si toutes les valeurs propres sont $>0$, c'est un minimum local.
Si toutes les valeurs propres sont $<0$, c'est un maximum local.
Si elles sont de signes opposés, c'est un point selle (point col).

💡 À retenir : Si une valeur propre est nulle, le test est non concluant.

Qu'est-ce qu'une fonction de classe C^1 ?

Une fonction est de classe $C^1$ si ses dérivées partielles existent et sont continues sur son domaine de définition. C'est une condition nécessaire pour que la fonction soit différentiable.

La différentielle est-elle la même chose que la dérivée ?

Pour une variable, oui. Pour plusieurs variables, la différentielle est une application linéaire qui approxime la fonction localement, tandis que la dérivée partielle n'est qu'une variation selon un axe.

Comment calculer la dérivée directionnelle selon un vecteur v ?

Il suffit de faire le produit scalaire du gradient par le vecteur unitaire $u = v/\|v\|$ . La formule est $D_v f(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle$ .

Il suffit de faire le produit scalaire du gradient par le vecteur unitaire $u = v/|v|$. La formule est $D_v f(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle$.

Le théorème de Schwarz, c'est quoi ?

Il stipule que si $f$ est de classe $C^2$ , alors les dérivées croisées sont égales : $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ .

Il stipule que si $f$ est de classe $C^2$, alors les dérivées croisées sont égales : $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$.

Est-ce que nabla f = 0 garantit un extremum ?

Non, cela garantit seulement un point critique. Il peut s'agir d'un point selle (comme pour $f(x,y) = x^2 - y^2$ en $(0,0)$ ).

Non, cela garantit seulement un point critique. Il peut s'agir d'un point selle (comme pour $f(x,y) = x^2 - y^2$ en $(0,0)$).

Peut-on calculer la différentielle d'une fonction composée ?

Oui, en utilisant la règle de la chaîne : $d(f \circ g)_a = df_{g(a)} \circ dg_a$ . En termes matriciels, c'est le produit des matrices Jacobiennes.

Oui, en utilisant la règle de la chaîne : $d(f \circ g)a = df{g(a)} \circ dg_a$. En termes matriciels, c'est le produit des matrices Jacobiennes.

Pourquoi on étudie les points critiques ?

Parce que les extremums locaux d'une fonction dérivable se trouvent nécessairement parmi les points critiques. C'est la base de l'optimisation.

Quelle est la différence entre gradient et dérivée partielle ?

La dérivée partielle est une mesure de variation selon un axe précis. Le gradient est le vecteur qui regroupe toutes ces variations et pointe vers la direction de plus forte croissance.

Comment savoir si une matrice est définie positive ?

Une matrice est définie positive si toutes ses valeurs propres sont strictement positives, ou si tous ses mineurs principaux sont strictement positifs (critère de Sylvester).