Mathématiques · Écoles d'ingénieurs — INSEA

Analyse numérique

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

L'analyse numérique permet de résoudre des problèmes mathématiques complexes par des méthodes approchées.

Résolution d'équations non linéaires : Recherche de $x$ tel que $f(x)=0$ . Méthode de Newton : $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ .
Interpolation polynomiale : Trouver un polynôme $P$ de degré $n$ passant par $n+1$ points $(x_i, y_i)$ . Formule de Lagrange : $P(x) = \sum_{i=0}^n y_i L_i(x)$ .
Intégration numérique :
- Trapèzes : $\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))$ .
- Simpson : $\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{6}(f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b))$ .

Méthodes à maîtriser

Vérifier la convergence de la méthode de Newton (condition $f'(x) \neq 0$ ).
Construire le polynôme de Lagrange pour 3 points.
Appliquer la règle des trapèzes sur un intervalle subdivisé.

Exemples corrigés

Newton : Pour $f(x) = x^2 - 2$ , $x_0 = 1.5$ . $x_1 = 1.5 - \frac{2.25-2}{3} = 1.416$ .
Trapèzes : $\int_0^1 x^2 dx \approx \frac{1-0}{2}(0^2 + 1^2) = 0.5$ (valeur exacte $1/3 \approx 0.33$ ).

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier si $f'(x_n) = 0$ dans Newton.
Confondre la formule de Simpson avec celle des trapèzes.
Négliger la précision demandée (nombre de décimales).

L'essentiel du cours

L'analyse numérique permet de résoudre des problèmes mathématiques complexes par des méthodes approchées.

Résolution d'équations non linéaires : Recherche de $x$ tel que $f(x)=0$. Méthode de Newton : $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.
Interpolation polynomiale : Trouver un polynôme $P$ de degré $n$ passant par $n+1$ points $(x_i, y_i)$. Formule de Lagrange : $P(x) = \sum_{i=0}^n y_i L_i(x)$.
Intégration numérique :
- Trapèzes : $\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))$.
- Simpson : $\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{6}(f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b))$.

Méthodes à maîtriser

Vérifier la convergence de la méthode de Newton (condition $f'(x) \neq 0$).
Construire le polynôme de Lagrange pour 3 points.
Appliquer la règle des trapèzes sur un intervalle subdivisé.

Exemples corrigés

Newton : Pour $f(x) = x^2 - 2$, $x_0 = 1.5$. $x_1 = 1.5 - \frac{2.25-2}{3} = 1.416$.
Trapèzes : $\int_0^1 x^2 dx \approx \frac{1-0}{2}(0^2 + 1^2) = 0.5$ (valeur exacte $1/3 \approx 0.33$).

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier si $f'(x_n) = 0$ dans Newton.
Confondre la formule de Simpson avec celle des trapèzes.
Négliger la précision demandée (nombre de décimales).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Analyse numérique

1/4

La méthode de Newton pour $f(x)=0$ est dite quadratique si :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si la méthode de Newton va converger ?

La fonction $f$ doit être de classe $C^2$ sur l'intervalle.
La dérivée $f'(x)$ ne doit pas s'annuler au voisinage de la racine.
Le choix de la valeur initiale $x_0$ doit être suffisamment proche de la racine réelle.

💡 À retenir : Si $f'(x_0)$ est proche de 0, la méthode diverge ou oscille.

La fonction $f$ doit être de classe $C^2$ sur l'intervalle.
La dérivée $f'(x)$ ne doit pas s'annuler au voisinage de la racine.
Le choix de la valeur initiale $x_0$ doit être suffisamment proche de la racine réelle.

💡 À retenir : Si $f'(x_0)$ est proche de 0, la méthode diverge ou oscille.

Kifach n-hsb l-khta (erreur) f-l-méthode des trapèzes ?

L'erreur est donnée par la formule $|E| = \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max |f''(x)|$ .
Il faut calculer la dérivée seconde de la fonction.
Chercher le maximum de cette dérivée sur l'intervalle $[a, b]$ .

💡 À retenir : Plus le nombre de subdivisions $n$ est grand, plus l'erreur diminue.

L'erreur est donnée par la formule $|E| = \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max |f''(x)|$.
Il faut calculer la dérivée seconde de la fonction.
Chercher le maximum de cette dérivée sur l'intervalle $[a, b]$.

💡 À retenir : Plus le nombre de subdivisions $n$ est grand, plus l'erreur diminue.

Chno hiya l-farq bin l-interpolation et l'approximation ?

L'interpolation : Le polynôme passe exactement par tous les points donnés.
L'approximation : Le polynôme cherche à suivre la tendance des points sans forcément passer par eux (ex: méthode des moindres carrés).

💡 À retenir : L'interpolation est précise aux points, mais peut osciller entre eux.

Est-ce que la méthode de Simpson est toujours meilleure que celle des trapèzes ?

Oui, car elle utilise une approximation parabolique (degré 2) au lieu d'une linéaire (degré 1). Elle est exacte pour les polynômes de degré jusqu'à 3.

💡 À retenir : Simpson demande une fonction plus régulière ( $C^4$ ).

Oui, car elle utilise une approximation parabolique (degré 2) au lieu d'une linéaire (degré 1). Elle est exacte pour les polynômes de degré jusqu'à 3.

💡 À retenir : Simpson demande une fonction plus régulière ($C^4$).

Kifach n-khtar x0 f-Newton ?

Utilise le théorème des valeurs intermédiaires pour localiser la racine.
Choisis une valeur où $f(x)$ change de signe.
Si $f(x_0) \cdot f''(x_0) > 0$ , la convergence est plus rapide.

💡 À retenir : Un bon $x_0$ divise le temps de calcul par deux.

Utilise le théorème des valeurs intermédiaires pour localiser la racine.
Choisis une valeur où $f(x)$ change de signe.
Si $f(x_0) \cdot f''(x_0) > 0$, la convergence est plus rapide.

💡 À retenir : Un bon $x_0$ divise le temps de calcul par deux.

Pourquoi on utilise l'analyse numérique au lieu des formules exactes ?

Certaines équations n'ont pas de solution analytique (ex: $x = \cos(x)$ ).
Les ordinateurs travaillent plus vite avec des calculs itératifs simples.
Gestion des données expérimentales discrètes.

💡 À retenir : L'analyse numérique est le pont entre la théorie et l'informatique.

Certaines équations n'ont pas de solution analytique (ex: $x = \cos(x)$).
Les ordinateurs travaillent plus vite avec des calculs itératifs simples.
Gestion des données expérimentales discrètes.

💡 À retenir : L'analyse numérique est le pont entre la théorie et l'informatique.

Est-ce que le polynôme de Lagrange est unique ?

Oui, pour $n+1$ points distincts, il existe un unique polynôme de degré au plus $n$ qui passe par ces points.

💡 À retenir : L'unicité est garantie par le système de Vandermonde.

Oui, pour $n+1$ points distincts, il existe un unique polynôme de degré au plus $n$ qui passe par ces points.

💡 À retenir : L'unicité est garantie par le système de Vandermonde.

Chno hiya l-condition d-stabilité f-l-calcul numérique ?

C'est la capacité de l'algorithme à ne pas amplifier les erreurs d'arrondi lors des calculs successifs.

💡 À retenir : Un algorithme instable donne un résultat faux même avec des données précises.

Est-ce que je peux utiliser Simpson pour n'importe quelle fonction ?

Non, elle nécessite une fonction dérivable quatre fois et un nombre pair de subdivisions.

💡 À retenir : Vérifie toujours les conditions de régularité avant de choisir la méthode.

Kifach n-hsb l-polynôme de Lagrange ila kano 3 points ?

Utilise la formule $P(x) = y_0 L_0(x) + y_1 L_1(x) + y_2 L_2(x)$ .
Calcule chaque $L_i(x)$ en utilisant les produits des $(x-x_j)/(x_i-x_j)$ .
Développe et simplifie.

💡 À retenir : Sois très rigoureux avec les signes lors du développement.

Utilise la formule $P(x) = y_0 L_0(x) + y_1 L_1(x) + y_2 L_2(x)$.
Calcule chaque $L_i(x)$ en utilisant les produits des $(x-x_j)/(x_i-x_j)$.
Développe et simplifie.

💡 À retenir : Sois très rigoureux avec les signes lors du développement.

Est-ce que le pivot de Gauss est toujours possible ?

Oui, à condition que la matrice du système soit inversible (déterminant non nul).

💡 À retenir : Si un pivot est nul, il faut permuter les lignes.

Chno hiya l-vitesse de convergence f-Newton ?

La méthode de Newton possède une convergence quadratique, ce qui signifie que le nombre de chiffres exacts double à chaque itération.

💡 À retenir : C'est l'une des méthodes les plus rapides, mais elle est exigeante.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = x^3 - x - 1$ .

Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in [1, 2]$ .
Appliquer deux itérations de la méthode de Newton avec $x_0 = 1.5$ .

Exercice 1

Soit $f(x) = x^3 - x - 1$.

Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in [1, 2]$.
Appliquer deux itérations de la méthode de Newton avec $x_0 = 1.5$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Interpoler la fonction $f(x) = \ln(x)$ aux points $x_0=1, x_1=2, x_2=3$ par un polynôme de Lagrange $P(x)$ .

Exercice 2

Interpoler la fonction $f(x) = \ln(x)$ aux points $x_0=1, x_1=2, x_2=3$ par un polynôme de Lagrange $P(x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer une valeur approchée de $I = \int_0^1 e^x dx$ par la méthode des trapèzes avec $n=2$ subdivisions.

Exercice 3

Calculer une valeur approchée de $I = \int_0^1 e^x dx$ par la méthode des trapèzes avec $n=2$ subdivisions.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Espaces vectoriels et applications linéaires Réduction des endomorphismes Espaces préhilbertiens réels Analyse réelle : Suites et séries numériques Fonctions d'une variable réelle : Continuité, dérivabilité et développements limités Calcul intégral et équations différentielles Fonctions de plusieurs variables : Calcul différentiel Intégrales multiples et curvilignes Probabilités et variables aléatoires Statistique descriptive et inférentielle Processus stochastiques Recherche opérationnelle : Programmation linéaire