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Fonctions d'une variable réelle : Continuité, dérivabilité et développements limités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Continuité : $f$ est continue en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ .
Dérivabilité : $f$ est dérivable en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0) \in \mathbb{R}$ .
Développements Limités (DL) : Au voisinage de $0$ , $f(x) = P_n(x) + o(x^n)$ où $P_n$ est un polynôme de degré $n$ .
Formule de Taylor-Young : Si $f$ est $n$ fois dérivable en $a$ , alors $f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + o((x-a)^n)$ .

Méthodes à maîtriser

Étude de la continuité par les limites (gauche/droite).
Utilisation du TVI pour démontrer l'existence de racines.
Calcul de DL en $0$ par composition, produit ou division de DL usuels.
Recherche d'asymptotes via $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ et $\lim_{x \to \infty} (f(x)-ax)$ .

Exemples corrigés

DL de $\ln(1+x)$ en $0$ à l'ordre 2 : $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$ .
TVI : Soit $f(x) = x^3 + x - 1$ . $f(0)=-1$ et $f(1)=1$ . Comme $f$ est continue et strictement croissante, il existe un unique $\alpha \in ]0,1[$ tel que $f(\alpha)=0$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le reste $o(x^n)$ dans les DL.
Confondre continuité et dérivabilité (la dérivabilité implique la continuité, mais l'inverse est faux).
Ne pas vérifier les conditions d'application du TVI (continuité et monotonie).

L'essentiel du cours

Continuité : $f$ est continue en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
Dérivabilité : $f$ est dérivable en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0) \in \mathbb{R}$.
Développements Limités (DL) : Au voisinage de $0$, $f(x) = P_n(x) + o(x^n)$ où $P_n$ est un polynôme de degré $n$.
Formule de Taylor-Young : Si $f$ est $n$ fois dérivable en $a$, alors $f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + o((x-a)^n)$.

Méthodes à maîtriser

Étude de la continuité par les limites (gauche/droite).
Utilisation du TVI pour démontrer l'existence de racines.
Calcul de DL en $0$ par composition, produit ou division de DL usuels.
Recherche d'asymptotes via $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ et $\lim_{x \to \infty} (f(x)-ax)$.

Exemples corrigés

DL de $\ln(1+x)$ en $0$ à l'ordre 2 : $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$.
TVI : Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. $f(0)=-1$ et $f(1)=1$. Comme $f$ est continue et strictement croissante, il existe un unique $\alpha \in ]0,1[$ tel que $f(\alpha)=0$.

Erreurs fréquentes

Oublier le reste $o(x^n)$ dans les DL.
Confondre continuité et dérivabilité (la dérivabilité implique la continuité, mais l'inverse est faux).
Ne pas vérifier les conditions d'application du TVI (continuité et monotonie).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Fonctions d'une variable réelle : Continuité, dérivabilité et développements limités

1/4

Quel est le DL de $\cos(x)$ en 0 à l'ordre 2 ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach fonction dérivable f chi noqta?

Calcule la limite du taux d'accroissement : $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ .
Si la limite est un nombre réel fini, la fonction est dérivable.
Si la limite est $\pm \infty$ , la fonction n'est pas dérivable (point anguleux ou tangente verticale).

💡 À retenir : La dérivabilité est une limite locale.

Calcule la limite du taux d'accroissement : $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.
Si la limite est un nombre réel fini, la fonction est dérivable.
Si la limite est $\pm \infty$, la fonction n'est pas dérivable (point anguleux ou tangente verticale).

💡 À retenir : La dérivabilité est une limite locale.

Chno hiya l-farq bin DL o Taylor?

Le DL est une approximation locale au voisinage d'un point (souvent 0).
La formule de Taylor est une généralisation qui permet d'écrire une fonction comme une somme infinie (série) ou un polynôme avec un reste précis.

💡 À retenir : Le DL est un outil pratique pour calculer des limites complexes.

Kifach n7seb DL dyal e^x cdot sin(x)?

Écris le DL de $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$ .
Écris le DL de $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \approx x + o(x^2)$ .
Multiplie les deux polynômes en gardant seulement les termes de degré $\leq 2$ .

💡 À retenir : On ne garde que les puissances inférieures ou égales à l'ordre demandé.

Écris le DL de $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$.
Écris le DL de $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \approx x + o(x^2)$.
Multiplie les deux polynômes en gardant seulement les termes de degré $\leq 2$.

💡 À retenir : On ne garde que les puissances inférieures ou égales à l'ordre demandé.

Est-ce que toute fonction continue est dérivable ?

Non. La fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0 (la limite à gauche est -1, à droite est 1).

💡 À retenir : Continuité $\neq$ Dérivabilité.

Non. La fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0 (la limite à gauche est -1, à droite est 1).

💡 À retenir : Continuité $\neq$ Dérivabilité.

Comment utiliser le TVI pour prouver qu'une équation a une solution ?

Vérifier que $f$ est continue sur $[a, b]$ .
Calculer $f(a)$ et $f(b)$ .
Vérifier que $0$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ .
Conclure par le TVI.

💡 À retenir : Si $f$ est strictement monotone, la solution est unique.

Vérifier que $f$ est continue sur $[a, b]$.
Calculer $f(a)$ et $f(b)$.
Vérifier que $0$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$.
Conclure par le TVI.

💡 À retenir : Si $f$ est strictement monotone, la solution est unique.

Qu'est-ce qu'une asymptote oblique ?

C'est une droite d'équation $y = ax + b$ vers laquelle la courbe se rapproche quand $x \to \pm \infty$ .

$a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ .
$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - ax)$ .

💡 À retenir : Si $a=0$ , c'est une asymptote horizontale.

C'est une droite d'équation $y = ax + b$ vers laquelle la courbe se rapproche quand $x \to \pm \infty$.

$a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$.
$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - ax)$.

💡 À retenir : Si $a=0$, c'est une asymptote horizontale.

Pourquoi le reste o(x^n) est important ?

Il représente l'erreur commise en remplaçant la fonction par son polynôme. Il indique que cette erreur devient négligeable devant $x^n$ quand $x$ tend vers 0.

💡 À retenir : Sans le $o(x^n)$ , l'approximation est mathématiquement fausse.

Il représente l'erreur commise en remplaçant la fonction par son polynôme. Il indique que cette erreur devient négligeable devant $x^n$ quand $x$ tend vers 0.

💡 À retenir : Sans le $o(x^n)$, l'approximation est mathématiquement fausse.

Comment étudier la concavité ?

Calculer la dérivée seconde $f''(x)$ .
Si $f''(x) > 0$ , la fonction est convexe (tournée vers le haut).
Si $f''(x) < 0$ , la fonction est concave (tournée vers le bas).

💡 À retenir : Le changement de signe de $f''$ indique un point d'inflexion.

Calculer la dérivée seconde $f''(x)$.
Si $f''(x) > 0$, la fonction est convexe (tournée vers le haut).
Si $f''(x) < 0$, la fonction est concave (tournée vers le bas).

💡 À retenir : Le changement de signe de $f''$ indique un point d'inflexion.

Peut-on faire un DL d'une fonction non dérivable ?

Non, le DL nécessite que la fonction soit $n$ fois dérivable au point considéré.

💡 À retenir : La régularité est une condition sine qua non.

Non, le DL nécessite que la fonction soit $n$ fois dérivable au point considéré.

💡 À retenir : La régularité est une condition sine qua non.

Quelle est la différence entre o(x^2) et O(x^2) ?

$o(x^2)$ signifie que le terme est négligeable devant $x^2$ . $O(x^2)$ signifie que le terme est dominé par $x^2$ (il est de l'ordre de $x^2$ ).

💡 À retenir : $o$ est plus fort que $O$ .

$o(x^2)$ signifie que le terme est négligeable devant $x^2$. $O(x^2)$ signifie que le terme est dominé par $x^2$ (il est de l'ordre de $x^2$).

💡 À retenir : $o$ est plus fort que $O$.

Comment lever une indétermination 0/0 avec les DL ?

Faire le DL du numérateur et du dénominateur au même ordre $n$ .
Simplifier par la plus petite puissance de $x$ .
Calculer la limite du rapport des polynômes obtenus.

💡 À retenir : C'est la méthode la plus puissante pour les limites.

Faire le DL du numérateur et du dénominateur au même ordre $n$.
Simplifier par la plus petite puissance de $x$.
Calculer la limite du rapport des polynômes obtenus.

💡 À retenir : C'est la méthode la plus puissante pour les limites.

Le théorème de Rolle est-il utile pour les dérivées ?

Oui, il garantit l'existence d'au moins un point où la tangente est horizontale si $f(a)=f(b)$ .

💡 À retenir : C'est un cas particulier du théorème des accroissements finis.

Oui, il garantit l'existence d'au moins un point où la tangente est horizontale si $f(a)=f(b)$.

💡 À retenir : C'est un cas particulier du théorème des accroissements finis.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 2$ .

Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Déterminer le DL de $f$ en $0$ à l'ordre 3.
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $]0, 2[$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Déterminer le DL de $f$ en $0$ à l'ordre 3.
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $]0, 2[$.

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Exercice 2

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3}$ .

Exercice 2

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^3}$.

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Exercice 3

Soit $f(x) = \sqrt{1+x}$ . Donner le DL à l'ordre 2 en 0.

Exercice 3

Soit $f(x) = \sqrt{1+x}$. Donner le DL à l'ordre 2 en 0.

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