Mathématiques · Écoles d'ingénieurs — INSEA

Statistique descriptive et inférentielle

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La statistique descriptive résume les données (moyenne $\bar{x}$ , variance $V(X) = \frac{1}{N}\sum n_i(x_i - \bar{x})^2$ ). L'inférence statistique permet d'estimer des paramètres d'une population à partir d'un échantillon. Pour une moyenne, l'intervalle de confiance au seuil de $95\%$ est donné par $I = [\bar{x} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer les paramètres de position (moyenne, médiane) et de dispersion (écart-type).
Construire un tableau de fréquences cumulées.
Estimer une moyenne ou une proportion par un intervalle de confiance.

Exemples corrigés

Soit une série : 2, 4, 4, 6.

Moyenne : $\bar{x} = \frac{2+4+4+6}{4} = 4$ .
Variance : $V = \frac{1}{4}((2-4)^2 + 2(4-4)^2 + (6-4)^2) = \frac{4+0+4}{4} = 2$ .
Écart-type : $\sigma = \sqrt{2} \approx 1.41$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de diviser par $N$ dans la variance.
Confondre l'écart-type de l'échantillon avec celui de la population.
Utiliser la mauvaise valeur critique pour l'intervalle de confiance (ex: 1.96 pour 95%).

L'essentiel du cours

La statistique descriptive résume les données (moyenne $\bar{x}$, variance $V(X) = \frac{1}{N}\sum n_i(x_i - \bar{x})^2$). L'inférence statistique permet d'estimer des paramètres d'une population à partir d'un échantillon. Pour une moyenne, l'intervalle de confiance au seuil de $95%$ est donné par $I = [\bar{x} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$.

Méthodes à maîtriser

Calculer les paramètres de position (moyenne, médiane) et de dispersion (écart-type).
Construire un tableau de fréquences cumulées.
Estimer une moyenne ou une proportion par un intervalle de confiance.

Exemples corrigés

Soit une série : 2, 4, 4, 6.

Moyenne : $\bar{x} = \frac{2+4+4+6}{4} = 4$.
Variance : $V = \frac{1}{4}((2-4)^2 + 2(4-4)^2 + (6-4)^2) = \frac{4+0+4}{4} = 2$.
Écart-type : $\sigma = \sqrt{2} \approx 1.41$.

Erreurs fréquentes

Oublier de diviser par $N$ dans la variance.
Confondre l'écart-type de l'échantillon avec celui de la population.
Utiliser la mauvaise valeur critique pour l'intervalle de confiance (ex: 1.96 pour 95%).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Statistique descriptive et inférentielle

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La variance d'une série constante (toutes les valeurs sont égales) est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l-mediane ila kan l-hassis l-ijmali fard?

Rتب les valeurs par ordre croissant.
Si l'effectif total $N$ est impair, la médiane est la valeur située à la position $\frac{N+1}{2}$ .

💡 À retenir : La médiane partage la série en deux effectifs égaux.

Rتب les valeurs par ordre croissant.
Si l'effectif total $N$ est impair, la médiane est la valeur située à la position $\frac{N+1}{2}$.

💡 À retenir : La médiane partage la série en deux effectifs égaux.

Quelle est la différence entre statistique descriptive et inférentielle ?

La descriptive décrit les données observées (moyenne, écart-type).
L'inférentielle utilise ces données pour généraliser à toute une population.

💡 À retenir : Descriptive = constat, Inférentielle = prédiction.

Chno hiya l-far9 bin l-moyenne o l-mediane?

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes (outliers).
La médiane est plus robuste car elle dépend de la position centrale.

💡 À retenir : Si la série a des valeurs très grandes, la médiane est plus représentative.

Comment calculer l'écart-type sur une calculatrice ?

Utilise le mode "STAT".
Entre tes données $x_i$ et leurs effectifs $n_i$ .
Sélectionne $\sigma_x$ (ou $s_x$ pour échantillon).

💡 À retenir : Vérifie toujours si tu dois utiliser l'écart-type de population ou d'échantillon.

Utilise le mode "STAT".
Entre tes données $x_i$ et leurs effectifs $n_i$.
Sélectionne $\sigma_x$ (ou $s_x$ pour échantillon).

💡 À retenir : Vérifie toujours si tu dois utiliser l'écart-type de population ou d'échantillon.

Est-ce que la variance peut être négative ?

Non, car elle est une somme de carrés divisée par un effectif.

💡 À retenir : Une variance négative indique une erreur de calcul.

Wach l-moyenne dima katkon f l-wasat?

Pas forcément, elle est attirée par les valeurs très grandes ou très petites.

💡 À retenir : Dans une distribution symétrique, moyenne = médiane.

Comment interpréter un intervalle de confiance à 95% ?

Cela signifie que si on répète l'échantillonnage 100 fois, 95 intervalles contiendront la vraie moyenne.

💡 À retenir : C'est une mesure de fiabilité de l'estimation.

Quelle est la formule de la variance simplifiée ?

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ .

💡 À retenir : Cette formule est souvent plus rapide pour les calculs manuels.

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.

💡 À retenir : Cette formule est souvent plus rapide pour les calculs manuels.

Comment trouver le mode dans un tableau ?

C'est la valeur du caractère qui possède le plus grand effectif.

💡 À retenir : Il peut y avoir plusieurs modes (série bimodale).

Pourquoi divise-t-on par sqrt{n} dans l'intervalle de confiance ?

Parce que l'erreur standard diminue quand la taille de l'échantillon augmente.

💡 À retenir : Plus l'échantillon est grand, plus l'estimation est précise.

Est-ce que l'écart-type a la même unité que la moyenne ?

Oui, contrairement à la variance qui est au carré.

💡 À retenir : L'écart-type est une mesure de dispersion dans la même unité que les données.

Comment calculer la fréquence cumulée ?

Calcule les fréquences $f_i = n_i / N$ .
Additionne les fréquences au fur et à mesure.

💡 À retenir : La dernière fréquence cumulée doit toujours être égale à 1.

Calcule les fréquences $f_i = n_i / N$.
Additionne les fréquences au fur et à mesure.

💡 À retenir : La dernière fréquence cumulée doit toujours être égale à 1.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit une série statistique de 100 étudiants : les notes sont réparties ainsi : [0,5[: 20, [5,10[: 30, [10,15[: 40, [15,20[: 10.

Calculer la moyenne.
Calculer la variance.

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Exercice 2

Une usine produit des pièces. Un échantillon de 64 pièces donne une moyenne de diamètre de 10mm avec un écart-type de 0.8mm. Donner l'intervalle de confiance à 95%.

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Exercice 3

Démontrer que $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ .

Exercice 3

Démontrer que $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.

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